Kinematyka - Notatki - Mechanika - Część 3, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
guns_pistols
guns_pistols15 March 2013

Kinematyka - Notatki - Mechanika - Część 3, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (425.5 KB)
11 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach omawiane zostają zagadnienia z fizyki: kinematyka; ruch obrotowy, ruch śrubowy.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 11
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Kinematyka cz3.pdf

5.3.4. Ruch obrotowy

Ruch bry y sztywnej nazywamy obrotowym, je!eli istnieje jedna prosta zwi"zana

z bry ", której punkty w czasie ruchu pozostaj" w spoczynku.

Za ó!my, !e osi" obrotu jest o# .

Dla u atwienia rozwa!a$ przyjmiemy

uk ad wspó rz%dnych zwi"zany z

bry " tak, aby o#

z

z pokrywa a si% z osi" z uk adu nieruchomego oraz aby

jego pocz"tek O znajdowa si% w punkcie O, jak na rys. 5.9.

Poniewa! wersor k = const, co wynika z pokrywania si% osi z osi"

obrotu, jego pochodna wzgl%dem

czasu jest równa zeru. Zatem z

wyra!enia:

z

0 td

d ! "!

k

k

wynika, !e wektor # le!yna osi obrotu. Z osi" obrotu pokrywa si% równie! wektor przy#pieszenia k"towego $. W tej sytuacji wektory te mo!na zapisa& w nast%puj"cy sposób:

x

x

y

y

z=z

O=O

r=r M

#

$

%

%

Rys. 5.9. Ruch obrotowy bry y sztywnej

wokó sta ej osi obrotu

kk!kk ''oraz zz ! ! #! #! . (5.37)

Je!eli k"t mi%dzy osiami sta " x i ruchom" x oznaczymy przez %, to zale!no#& % = %(t) jest równaniem ruchu obrotowego bry y wokó sta ej osi. Mo!na wykaza& [9], !e pochodna wzgl%dem czasu k"ta obrotu % jest modu em pr%dko#ci k"towej, a druga pochodna modu em przy#pieszenia k"towego:

2

2

td

d

td

d ' ,

td

d % !

# !

% !# . (5.38)

Z rysunku 5.9 wida&, !e promie$ wodz"cy punktu M jest równy r ,

poniewa!. Tym samym

r r OO ! !O 0 v a ! !O Oi0 0 . Uwzgl%dniwszy

powy!sze zale!no#ci we wzorach na pr%dko#& (5.32) i przy#pieszenie (5.33) punktu

w ruchu ogólnym, otrzymamy wzory na pr%dko#& i przy#pieszenie dowolnego

punktu bry y w ruchu obrotowym wokó sta ej osi obrotu:

r v "! , (5.39)

docsity.com

& 'r r!a ""( "! . (5.40)

Przy#pieszenie mo!na zapisa& w postaci:

& 'r r!a )( "! r #* 2 . (5.41) Dla ilustracji wektory pr%dko#ci przedstawimy na rys. 5.10.

.

an= #x (#x r)

r=r

as= $x r

#(#.r )

-#2r

v = # x r

a

#

$

O

l

M

)

Rys. 5.10. Sk adowe pr%dko#ci i przy#pieszenia w ruchu obrotowym bry y

Na podstawie wzorów (5.39), (5.40) i (5.41) oraz rys. 5.10 mo!emy

sformu owa& nast%puj"ce wnioski:

a) Pr%dko#& jest prostopad a do p aszczyzny przechodz"cej przez o# obrotu l

i punkt M, czyli jest styczna do okr%gu zakre#lonego przez punkt M.

b) Przy#pieszenie punktu M ma dwie sk adowe: styczn" do toru punktu M,

równ" r!a "!s , nazywan" przy#pieszeniem stycznym, i normaln", równ"

& r a ' ""!n , prostopad " do r v "!i , czyli skierowan" do #rodka krzy- wizny toru punktu M, nazywan" przy#pieszeniem normalnymlubdo#rodkowym.

c) Przy#pieszenie normalne mo!na roz o!y& na sk adow" równoleg " do osi

obrotu & r ' ) i sk adow" skierowan" do obranego punktu O równ" . r #* 2 Gdy punkt odniesienia przyjmiemy w #rodku okr%gu zakre#lonego przez punkt

M, wtedy sk adowa przy#pieszenia normalnego równoleg a do osi obrotu b%dzie

równa zeru, , a przy#pieszenie normalne . W tym & ' 0! ) r ra #*! 2n

docsity.com

przypadku modu y pr%dko#ci, przy#pieszenia stycznego i normalnego wyra!aj"

proste wzory:

ra,r'a,rv 2ns #! ! #! . (5.42)

Przyk"ad 5.4. Ci%!ar A zamocowany do linki nawini%tej na ma y obwód

ko owrotu (rys. 5.11) porusza si% w dó ruchem post%powym prostoliniowym

wed ug równania: , przy czym t

jest wyra!ony w sekundach, a x w

centymetrach. Obliczy& pr%dko#& i

przy#pieszenie punktu M le!"cego na

obwodzie du!ego ko a ko owrotu.

Promienie ko owrotu wynosz": R = 60

cm, r = 20 cm.

x t! 15 2

Rozwi"zanie. Pr%dko#& liniowa

ci%!aru A

v dx

dt t t cm s! 30 /A ! ! )2 15 .

Pr%dko#& k"tow" ko owrotu obliczymy

na podstawie pierwszego wzoru (5.42):

1stA

2

3

r

t30

r

v !!!# * .

v M

aM s

x

#

A

$

R

r

aM

aM n

O

v A

a A Rys. 5.11. Wyznaczenie pr%dko#ci i

przy#pieszenia punktu M w ruchu

b

Pr%dko#& liniowa punktu M

scmt90t r

R 30R

r

t30 RvM /!!!#! .

Przy#pieszenie liniowe ci%!aru A jest pochodn" jego pr%dko#ci wzgl%dem czasu:

a dv

dt cm sA

A! ! 30 2/ .

Przy#pieszenie k"towe ko owrotu obliczymy na podstawie drugiego wzoru (5.42):

2A s 2

3

r

30

r

a '

*!!! .

Przy#pieszenie liniowe punktu M jest sum" wektorow" sk adowej stycznej i nor-

malnej: n

M

s

MM aaa (! .

docsity.com

Warto#ci tych sk adowych obliczymy z drugiego i trzeciego wzoru (5.42):

222

2

2n

M

2s

M scmt135Rt 2

3 Ra,scm90R

2

3 Ra // !+

,

- . /

0 !#!!!$! .

Modu przy#pieszenia punktu M

& ' & 'a a a t t cmMs Mn! ( ! ( ! (2 2 2 4 490 135 45 4 9 / s2 .

docsity.com

5.3.5. Ruch rubowy

W punkcie 5.3.2 wykazano, e pr!dko"# dowolnego punktu M bry$y w ruchu

ogólnym jest sum% dwóch sk$adowych:

a) pr!dko"ci , która jest pr!dko"ci% punktu O (bieguna), v O b) pr!dko"ci wynikaj%cej z ruchu obrotowego bry$y z pr!dko"ci% k%tow%

wokó$ tego bieguna.

r! ! !

Po zmianie bieguna na inny nie zmieni si! pr!dko"# k%towa , zmianie

ulegnie natomiast pr!dko"# bieguna oraz k%t " zawarty pomi!dzy wektorami

(rys. 5.12). W zwi%zku z tym nasuwa si! pytanie, czy istnieje taki biegun

redukcji C, w którym k%t b!dzie równy zeru, czyli wektor v

O ! v O

Oi v!

C b!dzie równoleg$y

do wektora pr!dko"ci k%towej #. Wyka emy, e dla wszystkich

punktów C le %cych na prostej l

wektory te b!d% do siebie

równoleg$e.

Znajdowanie takich punktów

C, dla których w ka dej chwili

czasu wektor vC jest równoleg!y

do wektora , nazywamy

sprowadzaniem ruchu ogólnego

bry!y do ruchu "rubowego.

!

C i, OO

Punkt C le y na prostej l

równoleg$ej do wektora , nazywanejchwilow# osi# ruchu "rubowego. !

O

O

vO #

C

rC

rCrO

#

vC

"

l

Rys. 5.12. Ruch "rubowy bry$y

Dla wyznaczenia pr!dko"ci ruchu "rubowego vC i po$o enia chwilowej osi l

ruchu "rubowego, , za$o ymy, e znane s% wektory r . Pr!dko"#

punktu C zgodnie z równaniem (5.32) mo emy wyrazi# wzorem:

$ r OC !v

COC r!vv !%$ . (5.43)

Po pomno eniu powy szego wzoru skalarnie przez ! otrzymamy:

& ' !r!!v!v ( !%($( COC . (a)

Je eli iloczyn mieszany wyst!puj%cy w tym wzorze przedstawimy zgodnie ze

wzorem (2.31), to zauwa ymy, e jest on równy zeru.

docsity.com

& ' & ' 0CC $!( $( ! !!r!r! .

W tej sytuacji równanie (a) upraszcza si! do postaci

!v!v ($( OC .

Poniewa wektory po lewej stronie tego równania s% równoleg$e, na podstawie

definicji iloczynu skalarnego mo na napisa#:

#Cv !v ($ O . (b)

St%d modu$ pr!dko"ci vC punktu C

!v ($ OCv )#. (5.44)

Pr!dko"# vC punktu C otrzymamy po pomno eniu powy szego wzoru przez

wektor jednostkowy #)# o kierunku osi l

& '!!vv ($ OC )#2 . (5.45)

W celu wyznaczenia wektora porównamy stronami wzory (5.43) i (5.45) na

pr!dko"# v

rC C. Otrzymamy wtedy równanie wektorowe:

& '!!vr!v ($ !% OCO )#2. Po przeniesieniu pr!dko"ci na praw% stron! i sprowadzeniu do wspólnego

mianownika mamy:

v O

$ ! Cr! [ & ' *( !!vO #2 v O ] )#2 lub

$ ! Cr! [ & ' & '!!v!v! (*( OO ] )#2.

W porównaniu ze wzorem (2.34) $atwo zauwa y#, e wyra enie wyst!puj%ce

w nawiasie kwadratowym po prawej stronie tego równania jest rozwini!ciem

podwójnego iloczynu wektorowego. Zatem równanie to mo emy zapisa# w taki

sposób:

$ ! Cr! [ & 'O !! v!! ] )#2 . (5.46)

W powy szym równaniu wektorowym jest tylko jedna niewiadoma rC . &atwo zauwa y#, e rozwi%zanie ogólne tego równania ma posta#:

& 'OC !$ v!r )#2 + + , (5.47) !

docsity.com

gdzie + jest dowoln% wielko"ci% dodatni% lub ujemn%. Wzór ten opisuje po$o enie wszystkich punktów C le %cych na prostej

równoleg$ej do pr!dko"ci k%towej . Jest to wi!c szukane równanie chwilowej osi

l ruchu "rubowego w uk$adzie ruchomym (zwi%zanym z bry$%). W uk$adzie

wspó$rz!dnych równanie to mo emy zapisa# w postaci trzech

równowa nych parametrycznych równa' skalarnych:

!

x y z, ,

, , ,

-

, , ,

.

/

+#% #

#*# $

+#% #

#*# $

+#% #

#*# $

. vv

z

, vv

y

, vv

x

z2

xOyyOx

C

y2

zOxxOz

C

x2

yOzzOy

C

(5.48)

Na rysunku 5.12 widzimy, e po$o enie ka dego punktu C chwilowej osi ruchu

"rubowego w uk$adzie nieruchomym wyznacza promie' wodz%cy r, który mo na

przedstawi# w postaci sumy wektorów . Po uwzgl!dnieniu wzoru (5.47)

wektorowe równanie chwilowej osi ruchu "rubowego w uk$adzie nieruchomym

b!dzie mia$o posta#:

r r O i C

& 'OOCOC !%$ %$ v!rrrr )#2 + + . (5.49) ! Temu równaniu w uk$adzie nieruchomym b!d% odpowiada$y trzy parametryczne

równania. W tym celu wektory wyst!puj%ce w równaniu (5.49) nale y wyrazi#

w uk$adzie wspó$rz!dnych x, y, z:

, , ,

-

, , ,

.

/

+#% #

#*# %$

+#% #

#*# %$

+#% #

#*# %$

. vv

zz

, vv

yy

, vv

xx

z2

xOyyOx

OC

y2

zOxxOz OC

x2

yOzzOy

OC

(5.50)

Wykazali"my tym samym, e ruch ogólny bry$y mo na w dowolnej chwili

sprowadzi# do ruchu "rubowego zdefiniowanego na wst!pie tego punktu. Ruch ten

jest sum% dwóch ruchów prostych:

docsity.com

a) obrotowego z pr!dko"ci% k%tow% # wokó$ chwilowej osi ruchu "rubowego, b) post!powego z pr!dko"ci% vC wzd$u tej osi.

C

M

vc vc

#x CM

v#

l

Rys5.13. Z$o enie ruchu ogólnego bry$y z ruchu obrotowego wokó$ chwilowej osi ruchu

"rubowego i ruchu post!powego wzd$u tej osi

Je eli zamiast dowolnego bieguna O obierzemy biegun redukcji C le !cy na chwilowej osi l ruchu "rubowego (rys. 5.13), to pr#dko"$ v dowolnego punktu M

bry%y b#dzie sum! dwóch wzajemnie prostopad%ych sk%adowych: po-st#powej vC i

obrotowej : CM

CM vv C !" .

Analizuj!cruch "rubowy bry%y, mo emy rozró ni$ dwa przypadki:

a) vC(t) # 0; wtedy najprostszym ruchem bry%y jest chwilowy ruch "rubowy; nie

b#dziemy si# tu nim zajmowa$;

b) vC(t) = 0; wtedy $ jak to wida$ na rys. 5.12 i 5.13 $ ruch bry%y sprowadza si#

do chwilowego obrotu wokó% osi l, któr! b#dziemy nazywa$ chwilow osi obrotu.

docsity.com

5.3.6. Chwilowe osie obrotu Jak ju powiedziano wy ej, je eli ruch !rubowy bry"y sprowadza si# do

przypadku, w którym w ka dej chwili pr#dko!$ vC(t) = 0, to jej ruch chwilowy jest

obrotem wokó" chwilowej osi obrotu. Je eli za"o ymy, e ruch ogólny bry"y

opisuje pr#dko!$ bieguna v O O oraz pr#dko!$ k%towa !, to ze wzoru (5.44)

wynika zale no!$:

v " O #! $ 0 .

Zatem iloczyn skalarny w ka dej chwili ruchu musi by$ równy zeru: v iO

% & % & 0ttO $" v , (5.51)

st%d wniosek, e aby ruch bry"y sprowadza" si# do chwilowych obrotów, wektory

te musz% by$ w ka dej chwili prostopad"e.

Chwilowa o! obrotu zmienia

swoje po"o enie w czasie. Wzorami

okre!laj%cymi po"o enie chwilowej

osi obrotu wzgl#dem ruchomego

uk"adu wspó"rz#dnych (bry"y) s%

wzory (5.47) lub (5.48), a wzgl#dem

uk"adu nieruchomego wzory (5.49)

lub (5.50). Je eli chwilowa o! nie

przemieszcza si# w czasie, to ruch

bry"y jest omówionym ju w p. 5.3.4

ruchem obrotowym wokó" sta"ej osi

obrotu.

Je eli dla dowolnej chwili t

wykre!limy dwie pokrywaj%ce si# chwilowe osie obrotu – l w uk"adzie sta"ym i

w uk"adzie ruchomym (w bryle) ' to po czasie (t osie te przestan% si# pokrywa$, a

chwilowymi osiami obrotu b#d% inne dwie proste l

l

1 i 1l (rys. 5.14).

Przemieszczaj%ce si# w czasie ruchu bry"y chwilowe osie obrotu zakre!l% dwie

powierzchnie prostokre!lne:

Rys. 5.14. Chwilowe osie obrotu. Aksoidy

a) aksoid sta!"), która jest !ladem przemieszczania si# chwilowej osi obrotu

w uk"adzie nieruchomym,

b) aksoid ruchom") , która jest !ladem przemieszczania si# chwilowej osi

obrotu w uk"adzie ruchomym. l

docsity.com

Równania aksoid otrzymamy z równa& chwilowej osi obrotu. W celu

otrzymania aksoidy sta"ej ) nale y do równa& (5.49) lub (5.50) wstawi$ funkcje

czasu:

% & % & % &tit,t OOOO vvrr $$$ (a) wyra one we wspó"rz#dnych uk"adu nieruchomego x, y, z. Podczas zmiany czasu t

chwilowa o! zakre!li powierzchni#, któr% nazwali!my aksoid% sta"% ).

Podobnie otrzymamy równanie aksoidy ruchomej ) . Nale y w tym celu do

równa& (5.47) albo (5.48) podstawi$ dwie z trzech funkcji (a), np.

wyra one w ruchomym uk"adzie wspó"rz#dnych

,v !iO

x y z, , .

W czasie ruchu bry"y obie aksoidy s% do siebie styczne wzd"u chwilowej osi

obrotu l. Poniewa wszystkie punkty le %ce na tej osi maj% pr#dko!$ równ% zeru,

, ruch bry"y mo na rozpatrywa$ jako ruch spowodowany toczeniem si# bez

po!lizgu aksoidy ruchomej ) po aksoidzie nieruchomej ).

0C $v

W zale no!ci od rodzaju ruchu bry"y chwilowe osie obrotu mog% zakre!li$

ró ne powierzchnie (aksoidy):

a) sto kowe (utworzone z prostych przecinaj%cych si# w jednym punkcie),

wtedy ruch chwilowy jest ruchem kulistym,

b) walcowe (utworzone z prostych równoleg"ych), wtedy ruch chwilowy jest

ruchem p"askim,

c) inne.

docsity.com

5.3.7. Ruch kulisty

Ruchem kulistym nazywamy taki ruch bry y, w czasie którego jeden z punktów

z ni! zwi!zanych jest nieruchomy.

av

1r

y

z

z

y

x x

r

M

O = O

Rys. 5.15. Ruch kulisty bry y sztywnej Punkt ten nazywamy !rodkiem ruchu kulistego. Wobec tego pr"dko!# tego

punktu b"dzie stale równa zeru, czyli musi on w ka$dej chwili czasu le$e#

jednocze!nie na aksoidzie ruchomej i nieruchomej. Zatem obie aksoidy w ruchu

kulistym s% tocz%cymi si" po sobie sto$kami o wspólnym wierzcho ku.

Dla uproszczenia rozwa$a& pocz%tki O i O uk adów wspó rz"dnych

ruchomego i nieruchomego x, y, z przyjmiemy w nieruchomym punkcie

bry y (rys. 5.15). Przyj"cie takich uk adów sprawia, $e wektor b"dzie równy

zeru, . W tej sytuacji równe zeru b"d% równie$ pr"dko!# i

przy!pieszenie punktu

x y z, ,

O r

r OO

! !O 0 v O

a O O :

v a

! !O Oi0 0 , (a)

a promie& wodz%cy dowolnego punktu M bry y mo$emy zapisa# tak:

r r! . (b)

Po uwzgl"dnieniu zale$no!ci (a) i (b) we wzorach (5.32) i (5.33) dla ruchu

ogólnego bry y otrzymamy wzory na pr"dko!# v i przy!pieszenie a dowolnego

punktu M bry y w ruchu kulistym:

r v ! , (5.52)

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome