Sigma ciała, funkcje mierzalne - Ćwiczenia - Procesy stochastyczne, Notatki'z Procesy stochastyczne. University of Bialystok
panna_ania
panna_ania18 March 2013

Sigma ciała, funkcje mierzalne - Ćwiczenia - Procesy stochastyczne, Notatki'z Procesy stochastyczne. University of Bialystok

PDF (84.0 KB)
1 strona
1Liczba pobrań
860Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu procesów stochastycznych: sigma ciała, funkcje mierzalne.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Procesy stochastyczne Matematyka finansowa, I rok, studia II stopnia

Lista nr 1 σ–ciała, funkcje mierzalne

Z.1 Niech H będzie σ–ciałem podzbiorów pewnego niepustego zbioru X. Udowodnij, że wtedy zachodzi: 1) A,B ∈ H =⇒ A ∩B ∈ H 2) A,B ∈ H =⇒ A ∪B ∈ H 3) A,B ∈ H =⇒ A \B ∈ H 4) A,B ∈ H =⇒ B \ A ∈ H

Z.2 Udowodnij, że nie istnieje nieskończone, przeliczalne σ–ciało podzbiorów pewnego niepustego zbioru X.

Z.3 Niech S będzie rodziną wszystkich takich podzbiorów A ⊆ X, że co najmniej jeden ze zbiorów: A,A′ jest przeliczalny. Udowodnij, że S jest σ–ciałem podzbiorów X.

Z.4 Wyznaczyć σ–ciało podzbiorów zbioru X, generowane przez rodzinę wszystkich jednoelementowych podzbiorów zbioru X.

Z.5 Zbadaj, czy następujące rodziny tworzą σ–ciało podzbiorów pewnego niepustego zbioru X: 1) H = {∅, A,A′, X}, gdzie ∅ 6= A ⊂ X - ustalone 2) H = {∅, A,B,A′, B′, X}, gdzie ∅ 6= A,B ⊂ X - ustalone

Z.6 Wyznacz klasy funkcji f : (X1,H1)(X2,H2) H1 −H2–mierzalnych: 1) H1 = {∅, X1}, H2 = {∅, X2} 2) H1 = {∅, A,A′, X1}, H2 = {∅, X2} 3) H1 = {∅, X1}, H2 = {∅, B,B′, X2} 4) H1 = {∅, A,A′, X1}, H2 = {∅, B,B′, X2} 5) przyjąć w punktach 2),3),4), że X1 = X2 = R, A = (0; +), B = {1}

Z.7 Zbadaj, czy rodzina H = {A ⊆ R : x ∈ A⇐⇒ x± 1 ∈ A} jest σ–ciałem podzbiorów R. Jeżeli tak, opisz klasę funkcji f : RR H–mierzalnych.

Z.8 Zbadaj, czy rodzina F = {A ⊆ R2 : (x, y) ∈ A⇔ x2 + y2 = 1} jest σ–ciałem podzbiorów R2. Jeżeli tak, opisz klasę funkcji f : R2 R F–mierzalnych.

Z.9 Zbadaj, czy rodzina F = {A ⊂ R2 : (x, y) ∈ A⇔ |x| ­ |y|} jest σ–ciałem podzbiorów R2.

Z.10 Definiujemy σ–ciało zbiorów borelowskich R jako najmniejsze σ–ciało zawierające wszystkie zbiory otwarte R lub równoważnie: B(R) = σ

( {(−∞, a) : a ∈ R}

) .

Pokaż, że następujące zbiory są borelowskie: 1) [a, b] 2) [a, b) 3) (a, b] 4) {5}

Z.11 Udowodnij, że jeżeli funkcja f jest H–mierzalna, to H–mierzalne są także funkcje: f + c, f 2, |f |,

|f |, 1

f .

1

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome