Zagadnienia ogólne - Notatki - Mechanika - Część 2, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
dlugie_nogi
dlugie_nogi15 March 2013

Zagadnienia ogólne - Notatki - Mechanika - Część 2, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (458.9 KB)
12 strona
594Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z mechaniki: zagadnienia ogólne; praca, praca w zachowawczym polu si, energia potencjalna,
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 12
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
zagadnienia_ogolne cz2.pdf

a

G

B

F

x

O

A

y

v

O

A

M

a) b)

Rys. 7.6. Wyznaczenie si y w lince i pr!dko"ci punktu

Rozwi zanie. Na punkt materialny dzia a si a ci!#ko"ci G, si a w lince F oraz

si a bezw adno"ci (od"rodkowa) aB m!" , gdzie a jest przy"pieszeniem do"rodkowym (rys. 7.6b). Zgodnie z zasad$ d’Alemberta (7.10) suma tych si musi

by% równa zeru:

0"## BFG .

Z rzutu tych si na osie x i y otrzymujemy dwa równania równowagi:

$%

$ & '

! "

!"

( (

0.=GcosFP

,0=ma+sinFP

ky

kx (a)

Z drugiego równania otrzymujemy si ! w lince:

N20 cos60

10

cos

G F

o ""

" .

Po podstawieniu do pierwszego równania (a) wzoru na przy"pieszenie

do"rodkowe:

""

sins

v

AM

v a

22

otrzymamy równanie:

0= sins

v

g

G +sinF

2

! .

St$d pr!dko"% punktu M

sm1,2sin60 cos60

0,39,81 =sin

cos

sg =sinsg

G

F v o

o /"

)

" .

docsity.com

7.1.5. Praca. Praca w zachowawczym polu si . Energia potencjalna

Prac mechaniczn nazywamy energi dostarczon! z zewn!trz za pomoc!

uk"adu si" do rozpatrywanego uk"adu

materialnego w czasie jego ruchu.

Celem ogólnego zdefiniowania

pracy rozpatrzymy ruch punktu

materialnego po torze

krzywoliniowym pod wp"ywem si"y

P. Punkt przy"o#enia A si"y P jest

opisany wektorem wodz!cym r

(rys. 7.7).

Prac! elementarn! si"y P na

przesuni ciu elementarnym ds,

równym przyrostowi promienia

wodz!cego dr, nazywamy iloczyn

skalarny si"y P i przemieszczenia dr:

x

z

y

O

P A

A1

A2

dr

r

Rys. 7.7. Ilustracja do definicji pracy

rP ddL !" (7.15) lub korzystaj!c z definicji iloczynu skalarnego

# $drcosPcosdrPdL " " . (7.16)

Jednostk! pracy w uk"adzie SI jest d#ul równy pracy 1 niutona na przesuni ciu

1 metra:

J = N! m = kg ! m2 ! s–2,

a w uk"adzie technicznym kilogram si"y razy metr:

1 kG !m = 9,81 J.

Mimo oznaczenia pracy elementarnej symbolem powszechnie u#ywanym na

oznaczenie ró#niczki zupe"nej nale#y pami ta$, #e praca elementarna nie jest na

ogó" ró#niczk! zupe"n! #adnej funkcji.

Na podstawie wzorów (7.15) i (7.16) mo#na sformu"owa$ poni#sze wnioski.

a) Prac wykonuje jedynie sk"adowa si"y styczna do toru, a praca sk"adowej

normalnej jest równa zeru.

b) Warto%$ pracy mo#e by$ zarówno dodatnia, jak i ujemna: dla ! " /2 jest

dodatnia, a dla > %/2 ujemna. c) Je#eli na punkt materialny dzia"a uk"ad si" Pk, których suma jest równa

wypadkowej , to praca tej si"y na przesuni ciu elementarnym dr jest

równa sumie prac elementarnych poszczególnych si" na tym przesuni ciu:

W P" " & k k

n

1

docsity.com

rPrPrPrW dddddL n21 !'!!!!'!'!"!" .

d) Praca elementarna si"y P na przesuni ciu wypadkowym jest

równa sumie prac elementarnych tej si"y na przesuni ciach sk"adowych:

& "

" n

1k

kdd rr

n21 dddddL rPrPrPrW !'!!!!'!'!"!" .

Je#eli wektory wyst puj!ce po prawej stronie równania (7.15) przedstawimy za

pomoc! wspó"rz dnych:

,dzdydxd,PPP zyx kjirjjiP ''"''"

to prac elementarn! mo#emy przedstawi$ w postaci:

dzPdyPdxPdL zyx ''" . (7.17)

Je#eli punkt przy"o#enia A si"y P przemie%ci si po krzywej od punktu A1 do

A2, to na podstawie wzoru (7.17) praca wykonana przez si" P b dzie ca"k!

krzywoliniow!:

# $( ( ''"!" 21 21AA A

zyx12 dzPdyPdxPdL A

rP . (7.18)

Wyst puj!ca w powy#szym wzorze si"a mo#e w ogólnym przypadku by$

funkcj! czasu t, po"o#enia w przestrzeni punktu A oraz pr dko%ci tego punktu.

Wspó"rz dne si"y P b d! zatem funkcjami czasu, zmiennych x, y, z oraz ich

pochodnych wzgl dem czasu. Wtedy we wzorze (7.18) mo#emy podstawi$:

dt dt

dz dz,dt

dt

dy dy,dt

dt

dx dx """

i zamiast ca"ki krzywoliniowej otrzymamy ca"k oznaczon! w granicach

ca"kowania od t1 do t2

( )* +

, -

. ''"

2

1

t

t

zyx dt dt

dz P

dt

dy P

dt

dx PL . (7.19)

Ze wzgl du na zastosowania bardzo wa#ny jest przypadek, gdy si"a P jest

jedynie funkcj! po"o#enia (miejsca):

# $rPP " ,

a jej wspó"rz dne s! wzi tymi ze znakiem minus pochodnymi cz!stkowymi funkcji

U wzgl dem wspó"rz dnych x, y, z:

docsity.com

. z

U P,

y

U P,

x

U P zyx /

/ 0"

/ /

0" / /

0" (7.20)

Wyka#emy, #e funkcja skalarna U(x, y, z) ma sens fizyczny energii. Praca

elementarna si"y o wspó"rz dnych (7.20)

)) *

+ ,, -

.

/ /

' / /

' / /

0"!)) *

+ ,, -

.

/ /

' / /

' / /

0"!" dz z

U dy

y

U dx

x

U d

z

U

y

U

x

U ddL rkjirP .

Wyra#enie wyst puj!ce w nawiasie po prawej stronie powy#szego równania jest

ró#niczk! zupe"n! funkcji U:

dz z

U dy

y

U dx

x

U dU

/ /

' / /

' / /

" . (7.21)

Z matematyki wiadomo, #e ca"ka krzywoliniowa z ró#niczki zupe"nej jest równa

ró#nicy warto%ci ko&cowej i pocz!tkowej zró#niczkowanej funkcji. Zatem prac

wykonan! przez si" P na jej przemieszczeniu z punktu A1 do A2 wyra#a wzór:

# $ .UUUUdUL 2112 AA

12

21

0"00"0" ( (7.22)

Widzimy, #e praca wykonana przez si" opisan! wzorem (7.20) na

przemieszczeniu jej z po"o#enia pocz!tkowego do ko&cowego jest równa ubytkowi

funkcji U. Funkcj t nazywamy potencja!em albo energi potencjaln , si" P

spe"niaj!c! warunek (7.20) si! potencjaln lub zachowawcz!, a pole si" polem

potencjalnym lub zachowawczym.

Potencja" w okre%lonym punkcie przestrzeni jest równy pracy, któr! wykonuj!

si"y potencjalne przy przemieszczaniu punktu materialnego z danego punktu do

punktu, w którym potencja" jest równy zeru. Poniewa# punkt ten mo#e by$ obrany

dowolnie, potencja" jest okre%lony z dok"adno%ci! do dowolnej sta"ej C. Wnika to z

tego, #e funkcja:

CUU '"1

równie# spe"nia zale#no%ci (7.20) i (7.22).

Ze wzoru (7.22) wynikaj! dwie wa#ne w"asno%ci si" potencjalnych.

a) Praca si"y potencjalnej nie zale#y od toru jej punktu przy"o#enia, lecz jedynie

od po"o#enia tego punktu w chwilach pocz!tkowej i ko&cowej.

b) Praca wykonana przez si" potencjaln! jest równa ubytkowi energii

potencjalnej wynikaj!cemu z przemieszczania si punktu przy"o#enia si"y. Wynika

st!d równie#, #e praca po torze zamkni tym jest równa zeru.

docsity.com

7.1.6. Przyk ady si potencjalnych

Si y spr!"ysto#ci

Wyka emy obecnie, e si!y odkszta!cenia spr" ystego s# si!ami potencjalnymi.

W tym celu rozpatrzymy spr" yn" $rubow#, której koniec A jest unieruchomiony,

a koniec B mo e si" przemieszcza% wzd!u osi Ox (rys. 7.8). Za!o ymy, e w

chwili, gdy spr" yna nie jest napi"ta, koniec B pokrywa si" z punktem O.

x

A O B x

P

Rys. 7.8. Przyk!ad si!y spr" ystej wykonuj#cej prac"

Je eli wyd!u ymy spr" yn" o warto$% x, to zgodnie z prawem Hooke’a b"dzie

ona dzia!a% na punkt B si!# P proporcjonaln# do wyd!u enia:

iP xk ! , gdzie wspó!czynnik proporcjonalno$ci k jest nazywany sta ! spr"#yny, a znak

minus oznacza, e si!a P jest skierowana przeciwnie do kierunku odkszta!cenia

spr" yny.

Z powy szego wzoru wynika, e wspó!rz"dna si!y P jest funkcj# tylko

wspó!rz"dnej x:

xkP ! ,

zatem potencja! U musi spe!nia% równanie:

xkP dx

dU

x

U ! !!

" "

.

Po sca!kowaniu tego równania w granicach od O do x1 otrzymujemy wzór na

potencja! si!y spr" ystej:

2

1

x

0

xk 2

1 xkU

1

!! # . (7.23)

Prac" si!y spr" ystej na sko&czonym przesuni"ciu, np. od 0 do x, mo na

obliczy% ze wzoru (7.22), przy czym dla x = 0 energia potencjalna U1 = 0. Zatem

2

1212 xk 2

1 UL ! ! . (7.24)

docsity.com

Si y ci!"ko#ci

Je eli rozpatrzymy ograniczony obszar przestrzeni w pobli u powierzchni

Ziemi o ma!ych wymiarach w porównaniu z promieniem Ziemi, to mo na przyj#%,

e na ka dy punkt materialny o masie m znajduj#cy si" w tej przestrzeni dzia!a

sta!a si!a ci" ko$ci:

G = mg,

gdzie g jest przy$pieszeniem ziemskim. Przy takim za!o eniu pole si! jest

jednorodnym polem si! ci" ko$ci. Gdy w takim polu si! przyjmiemy uk!ad

wspó!rz"dnych x, y, z o osi z skierowanej pionowo w gór", to zgodnie z rys. 7.9

wspó!rz"dne si!y ci" ko$ci G opisuj# zale no$ci:

.mgG,0GG zyx !!! (7.25)

Ze wzoru (7.20) wiadomo, e wspó!rz"dne si! potencjalnych s# równe

pochodnym cz#stkowym potencja!u U wzgl"dem wspó!rz"dnych wzi"tych ze

znakiem minus:

mg z

U G,0

y

U G,0

x

U G zyx !"

" !!

" "

!! " "

! . (7.26)

Z powy szych równa& wynika, e potencja! U jest jedynie funkcj# zmiennej z. Po

podstawieniu trzeciego równania (7.26) do wzoru (7.21) otrzymujemy ró niczk"

potencja!u pola si! ci" ko$ci:

,dzmgdU !

a po sca!kowaniu tego równania potencja! si! ci" ko$ci

CzgmU $! , (7.27) gdzie C jest dowoln# sta!#.

Ze wzoru (7.27) wynika, e dla z = const potencja! U jest równie sta!y. Zatem

w przypadku si! ci" ko$ci wszystkie punkty ka dej p!aszczyzny poziomej maj#

tak# sam# warto$% potencja!u. Powierzchnie, których punkty maj# te same warto$ci

potencja!u, nazywaj# si" powierzchniami ekwipotencjalnymi.

Praca si!y ci" ko$ci na dowolnym krzywoliniowym torze jest zgodnie ze wzorem (7.22) równa ró nicy potencja!ów w po!o eniu pocz#tkowym i ko&cowym:

% & hgmzzgmUUL 212112 ! ! ! , (7.28)

gdzie h jest ró nic# wysoko$ci (rys. 7.9).

docsity.com

x

y

z

O

A1

A2

G h

A

Rys. 7.9. Praca si!y ci" ko$ci

x

z

y

r

P

A

M O

m

Rys. 7.10. Si!a wzajemnego przyci#gania

Si y wzajemnego przyci$gania

Wyka emy, e si!a, z jak# nieruchomy punkt materialny o masie M dzia!a na

dowolny punkt materialny o masie m, jest si!# potencjaln#. Zgodnie z prawem

powszechnego ci# enia (1.2) punkt M dzia!a na punkt m i odwrotnie z si!# P o

warto$ci

2r

Mm kP ! , (7.29)

gdzie k jest sta!# grawitacji, a r jest odleg!o$ci# masy m od nieruchomej masy M.

Je eli mas" M umie$cimy w pocz#tku uk!adu wspó!rz"dnych x, y, z, a mas" m

w punkcie A o wektorze wodz#cym r (rys. 7.10), to si!" P mo na opisa%wzorem:

r1P 2r

Mm k ! , (7.30)

gdzie 1r jest wektorem jednostkowym o kierunku wektora r.

Gdy wspó!rz"dne wektora wodz#cego r oznaczymy przez x, y, z, to

wspó!rz"dne si!y P b"d# nast"puj#ce:

r

z

r

Mm kP,

r

y

r

Mm kP,

r

x

r

Mm kP

2z2y2x ! ! ! . (7.31)

'atwo wykaza%, e potencja!em omawianego pola si! jest funkcja

% &U x k Mm r

C k Mm

x y z C, y, z ! $ !

$ $ $

2 2 2 . (7.32)

docsity.com

przy czym C jest dowoln# sta!#. Aby si!a P by!a potencjalna, jej wspó!rz"dne

(7.31) musz# spe!nia% wzory (7.20). Po zró niczkowaniu funkcji (7.32) wzgl"dem

x otrzymamy:

% & x23

2 3

222

P r

x

r

Mm k

r

kMmx

zyx

x2

2

1 kMm

x

U !!!

$$ ' (

) * +

, !

" "

.

Post"puj#c podobnie w odniesieniu do y i z, otrzymamy:

z2y2 P

r

z

r

Mm k

z

U ,P

r

y

r

Mm k

y

U !!

" "

!! " "

.

Prac" wykonan# przez si!" P na przemieszczenie masy m z po!o enia 1 do 2

zgodnie ze wzorem (7.22) i po uwzgl"dnieniu równania (7.32) zapiszemy w

nast"puj#cej postaci:

'' (

) ** +

, ! !

12

2112 r

1

r

1 kMmUUL . (7.33)

docsity.com

7.1.7. Moc i sprawno ! Z technicznego punktu widzenia interesuje nas cz sto nie tylko warto!" pracy,

ale równie# czas, w jakim zosta$a ona wykonana. W tym celu wprowadzono

poj cie mocy.

Moc chwilow nazywamy stosunek pracy elementarnej dL do czasu dt.

td

Ld N . (7.34)

Po podstawieniu do tego wzoru pracy elementarnej zdefiniowanej wzorem

(7.15) otrzymujemy wzór na moc si$y P.

vP rP

! !

td

d N . (7.35)

Zatem moc si!y jest równa iloczynowi skalarnemu si!y P i pr"dko#ci v jej punktu

przy!o$enia. Ze wzoru (7.34) widzimy, #e mi dzy prac% elementarn% dL i moc% N istnieje

prosty zwi%zek:

.dtNLd

Je#eli si$a P w chwili t1 znajduje si w punkcie A1, a w chwili t2 w punkcie A2

(rys. 7.6), to praca L12 wykonana przez t si$ przy przemieszczeniu si po torze od

A1 do A2 b dzie równa ca$ce z mocy w granicach od t1 do t2:

" 2

1

t

t

12 NdtL . (7.36)

Gdy na uk$ad materialny dzia$a uk$ad n si$, to moc tego uk$adu jest równa sumie

mocy poszczególnych si$:

#

n

1k

kNN . (7.37)

Podstawow% jednostk% mocy w uk$adzie SI jest wat (w skrócie W). Jest to moc

si$y, która prac jednego d#ula wykonuje w ci%gu jednej sekundy:

1 W = J ! s–1.

W praktyce na okre!lenie mocy silników i maszyn s% u#ywane wi ksze

jednostki $ kilowaty (kW) i megawaty (MW):! 1 kW = 1000 W,

docsity.com

1 MW = 1000 kW = 1 000 000 W.

W technicznym uk$adzie jednostek podstawow% jednostk% mocy jest kilogram

si$y razy metr na sekund :

1 kG ! m ! s–1.

Praktyczn% jednostk% mocy w tym uk$adzie jest ko& mechaniczny KM:

1 KM = 75 kG ! m ! s–1.

Mi dzy jednostkami mocy w uk$adzie technicznym i w uk$adzie SI istniej%

zale#no!ci:

1 kG ! m ! s–1 = 9,81 W, 1 KM = 75 !9,81 W = 0,736 kW, 1 W = 0,102 kG ! m ! s–1, 1 kW = 102 kG ! m ! s–1 = 1,36 KM.

Do oceny stanu silnika czy maszyny wykorzystuje si poj"cie sprawno#ci

mechanicznej. Wiadomo, #e cz !" mocy dostarczonej do silnika (maszyny) jest

tracona na pokonanie oporów istniej%cych w samym silniku (maszynie), a tylko

cz !" jest zamieniana na moc u#yteczn%.

Sprawno!ci% mechaniczn% nazywamy stosunek mocy u#ytecznej Nu (lub pracy

Lu) do mocy w$o#onej Nw (lub pracy Lw):

w

u

w

u

L

L

N

N ' . (7.38)

Sprawno!" jest liczb% bezwymiarow% spe$niaj%c% nierówno!": .1'0 %%

docsity.com

7.1.8. Moc uk adu si dzia aj!cych na bry " sztywn!

W poprzednim punkcie zdefiniowali my moc si!y P dzia!aj"cej na punkt

materialny. Obecnie obliczymy moc uk!adu n si! zewn#trznych Pk, gdzie

k = 1, 2, .... , n, przy!o$onych odpowiednio w punktach A1, A2, .... , An bry!y

sztywnej, poruszaj"cej si# znanym ruchem wzgl#dem nieruchomego uk!adu

wspó!rz#dnych x, y, z (rys. 7.11). W dowolnym punkcie (biegunie redukcji)

umie cimy ruchomy uk!ad wspó!rz#dnych

O x , y , z poruszaj cy si! razem z bry" .

Uk"ad si" Pk reprezentuj wektor g"ówny W i moment g"ówny umieszczone

w biegunie redukcji , a ruch bry"y jest okre#lony za pomoc pr!dko#ci

bieguna i pr!dko#ci k towej !.

M O

O v O

O

x

MOz

x

z y

y

O

O

W

kr

!

vO Pk

Ak

vk

Rys. 7.11. Wyznaczenie mocy uk"adu si" dzia"aj cych na bry"! sztywn

Zgodnie z definicj moc Nk si"y Pk

kkkN vP "# .

Pr!dko#$ dowolnego punktu Ak zgodnie ze wzorem (5.29) mo%emy zapisa$

w nast!puj cy sposób:

kOk r vv $%# .

Po podstawieniu tego wzoru do wzoru na moc Nk si"y Pk oraz wykorzystaniu

w"asno#ci iloczynu mieszanego (2.31) otrzymujemy:

& ' & ' & 'kkOkkOkkOkkN Pr vPr PvPr vP $ "%"# $"%"# $%"# .

docsity.com

Moc uk"adu si" dzia"aj cych na bry"! sztywn otrzymamy po zsumowaniu (

zgodnie ze wzorem (7.37) ( mocy poszczególnych si":

& ') * k n

1k

k

n

1k

kO

n

1k

kkOk

n

1k

kNN Pr PvPr vP ++++ ##

#

#

$ "%"#$ "%"## .

Ostatecznie

MvW "%"# OON . (7.39)

Zgodnie z zale%no#ciami (3.25) i (3.26) w powy%szym wzorze W jest wektorem

g"ównym, a momentem g"ównym uk"adu si" zewn!trznych zredukowanych

do bieguna redukcji .

M O

O Wzór (7.39) mo%na wyrazi$ s"ownie:

Moc uk adu si zewn!trznych dzia aj"cych na bry ! sztywn" jest równa sumie

iloczynu skalarnego wektora g ównego i pr!dko#ci dowolnego biegunaredukcji

oraz iloczynu skalarnego momentu g ównego zredukowanego do tego$ bieguna

i pr!dko#ci k"towej.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome