Pochodne funkcji wielu zmiennych - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 1, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok
komik86
komik8615 March 2013

Pochodne funkcji wielu zmiennych - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 1, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok

PDF (86.9 KB)
1 strona
728Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy matematycznej: pochodne funkcji wielu zmiennych.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Analiza matematyczna

Lista 4 (funkcji wielu zmiennych, pochodne)

Zad 1. Wyznaczy¢ i narysowa¢ dziedziny naturalne podanych funkcji

a) f(x, y) = √ x sin y, b) f(x, y) = arcsin

√ y − √ x, c) f(x, y) = ln(

√ x−√y).

Zad 2. Obliczy¢ granice, je±li istniej¡

a) lim(x,y)→(0,0) x

x+y , b) lim(x,y)→(1,−1)

x−1 x+y

, c) lim(x,y)→(0,0) xy

x2+y2 ,

d) lim(x,y)→(0,0) (xy)2

x2+y2 , e) lim(x,y)→(0,0)

x2y x2+y2

, f) lim(x,y)→(0,3) sin(xy)

x ,

g) lim(x,y)→(0,0) xy

x−y , e) lim(x,y)→(1,1) xy−1 x−y , f) lim(x,y)→(2,0)

sin xy2

y2+(x−2)2 .

Zad 3. Wyznaczy¢ zbiór punktów, w których funkcja f : R2 → R jest ci¡gªa, gdy:

a) f(x, y) =

{√ x2 + y2 x ≥ 0

2 x < 0 , b) f(x, y) =

{ xy y ≥ x 2 y < x

.

Zad 4. Obliczy¢ pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du funkcji:

a) f(x, y, z) = x5y10 − x3 sin z + y2ez, b) f(x, y) = arcsin y x ,

c) f(x, y) = x sin(2x+ y), d) f(x, y) = 3 √

2xy, e) f(x, y, z) = xy + zx,

f) f(x, y) = 3xy, g) f(x, y) = y2x, h) f(x, y) = √ x+

√ y + √ x.

Zad 5. Obliczy¢ z denicji pochodne cz¡stkowe funkcji

a) f(x, y) = 3 √ x3 − y3, w punkcie (x0, y0) = (0, 0)

e) f(x, y, z) = x 3+y

x2+y2+z2 , w punkcie (x0, y0, z0) = (0, 0, 0)

Zad 6. Obliczy¢ pochodn¡ kierunkow¡ funkcji

a) f(x, y) = √ x2 + y2, w punkcie (x0, y0) = (0, 0), w kierunku wektora ~v = (

1 2 ,− √

3 2

),

b) f(x, y) = sin x cos y, w punkcie (x0, y0) = (0, π), w kierunku wektora ~v = (−12 , √

3 2

).

Zad 7. Korzystaj¡c z reguªy ró»niczkowania funkcji zªo»onej obliczy¢ pochodne cz¡stkowe wzgl¦dem zmiennych x i y funkcji z = f(u, v), gdzie f(u, v) = euv, u = ln

√ x2 + y2,

v = arctan x y .

Zad 8. Obliczy¢ pochodn¡ kierunkow¡ funkcji

a) f(x, y) = √ x2 + y2, w punkcie (x0, y0) = (0, 0), w kierunku wektora ~v = (

1 2 ,− √

3 2

),

b) f(x, y) = sin x cos y, w punkcie (x0, y0) = (0, π), w kierunku wektora ~v = (−12 , √

3 2

).

Zad 9. Niech ϕ b¦dzie funkcj¡ ró»niczkowaln¡ na R. Pokaza¢, »e funkcja

a) z = yϕ(x2 − y2) speªnia równanie ró»niczkowe 1 x

∂z ∂x

+ 1 y

∂z ∂y

= z y2 ,

b) z = ϕ(x y )− x2 − y2 speªnia równanie ró»niczkowe x ∂z

∂x + y ∂z

∂y = −2(x2 + y2).

Zad 10. Obliczy¢ pochodne cz¡stkowe rz¦du drugiego funkcji:

a) f(x, y, z) = x5y10 − x3 sin z + y2ez, b) f(x, y) = arctan x+y 1−xy ,

c) f(x, y) = sin(2x+ y), d) f(x, y) = 3 √

2xy, e) f(x, y, z) = 3xyz,

f) f(x, y) = √

2xy + y2, g) f(x, y) = ln(x2 + y), h) f(x, y) = arcsin x−y x .

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome