Wzory Cramera - Ćwiczenia - Algebra liniowa, Notatki'z Algebra liniowa. University of Bialystok
blondie85
blondie8515 March 2013

Wzory Cramera - Ćwiczenia - Algebra liniowa, Notatki'z Algebra liniowa. University of Bialystok

PDF (138.9 KB)
3 strony
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu algebry liniowej: wzory Cramera; zadania.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Wzory Cramera w zadaniach

Zadanie 1. Stosuj ↪ac wzory Cramera rozwi ↪aż nad cia lem Q uk lad równań: 2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2 x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3 x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = −3

.

Rozwi ↪azanie. Obliczamy wyznacznik g lówny W naszego uk ladu:

W =

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 11 5 1 1 5 2 2 1 3 2 1 1 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ k2−k1=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 1 11 5 1 0 5 2 2 −1 3 2 1 0 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ w1+w3=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 0 14 7 1 0 5 2 2 1 3 2 1 0 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1) 3+2·(−1)·

∣∣∣∣∣∣ 4 14 7 1 5 2 1 3 4

∣∣∣∣∣∣ w1−4w2, w3−w2= ∣∣∣∣∣∣

0 −6 −1 1 5 2 0 −2 2

∣∣∣∣∣∣ = (−1)2+1·1· ∣∣∣∣ −6 −1−2 2

∣∣∣∣ = −(−12 − 2) = 14. Zatem W = 14 6= 0 i z twierdzenia Cramera uk lad nasz posiada dok ladnie jedno rozwi ↪azanie.

W1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 11 5 1 1 5 2

−3 1 3 2 −3 1 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ w4−w3=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 11 5 1 1 5 2

−3 1 3 2 0 0 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1) 4+4 · 2 ·

∣∣∣∣∣∣ 2 3 11 1 1 5

−3 1 3

∣∣∣∣∣∣ 2 3 1 1

−3 1 = 2 · [6 −

45 + 11− (−33 + 10 + 9)] = 2 · [−28 + 14] = −28. Zatem ze wzorów Cramera x1 = W1W = −28 14 = −2, czyli

x1 = −2.

W2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 2 11 5 1 1 5 2 2 −3 3 2 1 −3 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ w4−w3=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 2 11 5 1 1 5 2 2 −3 3 2

−1 0 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ k4+2k1=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 2 11 9 1 1 5 4 2 −3 3 6

−1 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1) 4+1 · (−1) ·

∣∣∣∣∣∣ 2 11 9 1 5 4

−3 3 6

∣∣∣∣∣∣ k2+k1, k3+2k1= ∣∣∣∣∣∣

2 13 13 1 6 6

−3 0 0

∣∣∣∣∣∣ = 0, bo ostatni wyznacznik ma dwie identyczne kolumny. Zatem ze wzorów Cramera x2 = W2W =

0 14 = 0, czyli x2 = 0.

W3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 2 5 1 1 1 2 2 1 −3 2 1 1 −3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ k2−k1=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 1 2 5 1 0 1 2 2 −1 −3 2 1 0 −3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ w3+w1=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 1 2 5 1 0 1 2 4 0 −1 7 1 0 −3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1) 1+2·1·

∣∣∣∣∣∣ 1 1 2 4 −1 7 1 −3 4

∣∣∣∣∣∣ w2−4w1, w3−w1=

∣∣∣∣∣∣ 1 1 2 0 −5 −1 0 −4 2

∣∣∣∣∣∣ = −(−1)1+1 · 1 · ∣∣∣∣ −5 −1−4 2

∣∣∣∣ = −(−10− 4) = 14. Zatem ze wzorów Cramera: x3 = W3W =

14 14 = 1, czyli x3 = 1.

Podstawiaj ↪ac wyliczone wartości x1 = −2, x2 = 0, x3 = 1 do równania drugiego uzyskamy, że −2 + 0 + 5 + 2x4 = 1, sk ↪ad x4 = −1.

Odp. Uk lad posiada dok ladnie jedno rozwi ↪azanie: x1 = −2, x2 = 0, x3 = 1, x4 = −1.

1

docsity.com

Zadanie 2. Stosuj ↪ac wzory Cramera rozwi ↪aż nad cia lem Q uk lad równań: 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 = 20 x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 11

2x1 + 10x2 + 9x3 + 7x4 = 40 3x1 + 8x2 + 9x3 + 2x4 = 37

.

Rozwi ↪azanie. Obliczamy wyznacznik g lówny W naszego uk ladu:

W =

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 5 4 1 1 3 2 1 2 10 9 7 3 8 9 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ k2−2k1, k3−2k1=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 1 0 1 1 1 0 1 2 6 5 7 3 2 3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ k4−k2=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 1 0 0 1 1 0 0 2 6 5 1 3 2 3 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1) 3+4 · 1 ·

∣∣∣∣∣∣ 2 1 0 1 1 0 3 2 3

∣∣∣∣∣∣ = (−1) · (−1)3+3 · 3 ·

∣∣∣∣ 2 11 1 ∣∣∣∣ = (−3) · (2 − 1) = −3. Zatem W = −3 6= 0 i z twierdzenia Cramera uk lad

nasz ma dok ladnie jedno rozwi ↪azanie.

W1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣ 20 5 4 1 11 3 2 1 40 10 9 7 37 8 9 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ k1−4k2=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 5 4 1

−1 3 2 1 0 10 9 7 5 8 9 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ w4+5w2=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 5 4 1

−1 3 2 1 0 10 9 7 0 23 19 7

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1) 2+1 · (−1) ·

∣∣∣∣∣∣ 5 4 1

10 9 7 23 19 7

∣∣∣∣∣∣ w3−w2= ∣∣∣∣∣∣

5 4 1 10 9 7 13 10 0

∣∣∣∣∣∣ w2−7w1= ∣∣∣∣∣∣

5 4 1 −25 −19 0

13 10 0

∣∣∣∣∣∣ = (−1)1+3 · 1 · ∣∣∣∣ −25 −1913 10

∣∣∣∣ = −250 + 247 = −3. Zatem ze wzorów Cramera: x1 = W1W =

−3 −3 = 1, czyli x1 = 1.

W2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 20 4 1 1 11 2 1 2 40 9 7 3 37 9 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ k2−5k3=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 0 4 1 1 1 2 1 2 −5 9 7 3 −8 9 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ k3−2k1=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 0 0 1 1 1 0 1 2 −5 5 7 3 −8 3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ k1−2k4=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 0 0 1

−1 1 0 1 −12 −5 5 7 −1 −8 3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

(−1)1+4 · 1 ·

∣∣∣∣∣∣ −1 1 0 −12 −5 5 −1 −8 3

∣∣∣∣∣∣ k1+k2= ∣∣∣∣∣∣

0 1 0 −17 −5 5 −9 −8 3

∣∣∣∣∣∣ = −(−1)1+2 · 1 · ∣∣∣∣ −17 5−9 3

∣∣∣∣ = −51 + 45 = −6. Zatem ze wzorów Cramera: x2 = W2W =

−6 −3 = 2, czyli x2 = 2.

W3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 5 20 1 1 3 11 1 2 10 40 7 3 8 37 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ k3−4k2=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 5 0 1 1 3 −1 1 2 10 0 7 3 8 5 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ w4+5w2=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 5 0 1 1 3 −1 1 2 10 0 7 8 23 0 7

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1) 2+3 · (−1) ·

∣∣∣∣∣∣ 2 5 1 2 10 7 8 23 7

∣∣∣∣∣∣ w2−w1, w3−4w1= ∣∣∣∣∣∣

2 5 1 0 5 6 0 3 3

∣∣∣∣∣∣ = (−1)1+1 · 2 · ∣∣∣∣ 5 63 3

∣∣∣∣ = 2 · (15 − 18) = −6. Zatem ze wzorów Cramera: x3 = W3W =

−6 −3 = 2, czyli x3 = 2.

Podstawiaj ↪ac wyliczone wartości x1 = 1, x2 = x3 = 2 do pierwszego równania uzyskamy, że 2 + 10 + 8 + x4 = 20, sk ↪ad x4 = 0.

Odp. Uk lad posiada dok ladnie jedno rozwi ↪azanie: x1 = 1, x2 = x3 = 2, x4 = 0. Zadanie 3. Stosuj ↪ac wzory Cramera rozwi ↪azać nad cia lem C uk lad równań:{

(4− 3i)z + (2 + i)w = 5(1 + i) (2− i)z − (2 + 3i)w = −(1 + i) .

Rozwi ↪azanie. Obliczamy wyznacznik g lówny W naszego uk ladu:

W = ∣∣∣∣ 4− 3i 2 + i2− i −2− 3i

∣∣∣∣ = (4− 3i) · (−2− 3i)− (2− i) · (2 + i) = −8− 12i + 6i + 9 · (−1)− [22− (−1)] = 2

docsity.com

−17−6i−5 = −22−6i. Zatem W = −22−6i 6= 0 i z twierdzenia Cramera uk lad nasz posiada dok ladnie jedno rozwi ↪azanie.

Wz = ∣∣∣∣ 5 + 5i 2 + i−1− i −2− 3i

∣∣∣∣ = (5 + 5i) · (−2 − 3i) − (2 + i) · (−1 − i) = −10 − 15i − 10i − 15 · (−1) + 2 + 2i + i + (−1) = 6− 22i. Zatem ze wzorów Cramera: z = WzW =

6−22i −22−6i =

i·(−22−6i) −22−6i = i, czyli z = i.

Ww = ∣∣∣∣ 4− 3i 5 + 5i2− i −1− i

∣∣∣∣ = (4− 3i) · (−1− i)− (5 + 5i) · (2− i) = −4− 4i + 3i + 3 · (−1)− 10 + 5i− 10i + 5 · (−1) = −22− 6i. Zatem ze wzorów Cramera: w = WwW =

−22−6i −22−6i = 1, czyli w = 1.

Odp. Uk lad posiada dok ladnie jedno rozwi ↪azanie: z = i, w = 1. Zadanie 4. W zależności od wartości parametru a ∈ R rozwi ↪aż nad cia lem R uk lad równań:

x + ay + z = 1 2x + y + z = a x + y + az = a2

Rozwi ↪azanie. Obliczamy najpierw wyznacznik g lówny W naszego uk ladu:

W =

∣∣∣∣∣∣ 1 a 1 2 1 1 1 1 a

∣∣∣∣∣∣ 1 a 2 1 1 1

= a + a + 2 − (1 + 1 + 2a2) = 2a − 2a2 = 2a(1 − a). Zatem W = 0 ⇔ [a =

0 lub a = 1]. Możliwe s ↪a zatem tylko nast ↪epuj ↪ace przypadki: 1. a 6= 0 i a 6= 1. Wtedy W 6= 0, wi ↪ec z twierdzenia Cramera uk lad osiada dok ladnie jedno rozwi ↪azanie.

Wx =

∣∣∣∣∣∣ 1 a 1 a 1 1

a2 1 a

∣∣∣∣∣∣ 1 a a 1

a2 1 = a+a3 +a−a2−1−a3 = −(a2−2a+1) = −(1−a)2. Zatem ze wzorów

Cramera: x = WxW = −(1−a)2 2a(1−a) =

a−1 2a .

Wy =

∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 a 1 1 a2 a

∣∣∣∣∣∣ 1 1 2 a 1 a2

= a2 + 1 + 2a2 − a− a2 − 2a = 2a2 − 3a + 1 = (a− 1)(2a− 1). Zatem ze

wzorów Cramera: y = WyW = (a−1)(2a−1)

2a(1−a) = 1−2a 2a .

Podstawiaj ↪ac wyliczone wartości x i y do równania drugiego otrzymamy, że 2a−2 2a +

1−2a 2a + z = a, sk ↪ad

z = a + 12a . 2. a = 0. Wtedy W = 0 oraz Wx = −1 6= 0, wi ↪ec z twierdzenia Cramera uk lad jest sprzeczny. 3. a = 1. Wtedy uk lad nasz jest równoważny uk ladowi{ z + x + y = 1 z + 2x + y = 1

r2−r1≡ {

z + x + y = 1 x = 0

r1−r2≡ {

z y = 1 x = 0

. Zatem

w tym przypadku uk lad ma nieskończenie wiele rozwi ↪azań: x = 0, y-dowolna liczba rzeczywista, z = 1−y. Odp. Dla a = 0 uk lad jest sprzeczny. Dla a 6= 0 i a 6= 1 uk lad posiada dok ladnie jedno rozwi ↪azanie:

x = a−12a , y = 1−2a 2a , z = a +

1 2a . Natomiast dla a = 1 uk lad ma nieskończenie wiele rozwi ↪azań danych

wzorami: x = 0, y-dowolna liczba rzeczywista, z = 1− y.

3

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome