Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I - Notatki - Fizyka, Notatki'z Fizyka. Warsaw University of Technology
alien85
alien8514 March 2013

Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I - Notatki - Fizyka, Notatki'z Fizyka. Warsaw University of Technology

PDF (479.3 KB)
9 strona
519Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z fizyki: kinetyczna teoria gazów i termodynamika.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 9
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Wyk³ad 16

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 16

16. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I

16.1 Prawo gazów doskonałych

Gaz doskonały: • objętość cząsteczek gazu jest o wiele mniejsza niż objętość zajmowana przez gaz, • zasięg sił działających między dwoma cząstkami jest o wiele mniejszy niż średnia odległość międzycząsteczkowa. W wyprowadzeniu prawa gazów doskonałych będziemy traktować cząsteczki gazu jako N małych, twardych kulek zamkniętych w pudełku o objętości V. Kulki są twarde tzn. będą zderzały się sprężyście ze ściankami naczynia. Rozważmy jedną cząsteczkę, która zderza się z lewą ścianką naczynia (rysunek).

x

y

-vx

vx

Średnia siła jaką cząsteczka wywiera na ściankę w czasie ∆t wynosi

t p

F x d

d =

Zmiana pędu spowodowana zderzeniem ze ścianką wynosi

px = mvx - ( - mvx) = 2mvx Ponieważ czas pomiędzy kolejnymi zderzeniami z tą ścianką wynosi

t = 2l/vx gdzie l jest odległością między ściankami, to

l m

l m

F x

x

x 2

2 )2( v

v

v ==

jest średnią siłą działającą na ściankę (na jedną cząstkę).

16-1

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Dla N cząstek całkowita siła wynosi

l m

NF x 2v

=

gdzie 2xv jest to v uśrednione po wszystkich cząsteczkach (średnia kwadratu). Dzieląc obie strony równania przez pole powierzchni ścianki S otrzymujemy ciśnienie

2 x

V m

N Sl

m NP xx

22 vv ==

czyli 2xNmpV v= (16.1) Jak widać iloczyn pV jest stały tak długo jak długo jest stała energia kinetyczna cząstek (prawo Boyle'a - Mariotta). Zauważmy, że

2222 zyx vvvv ++=

Ponadto, ponieważ cząstki zderzają się w taki sam sposób ze wszystkimi sześcioma ściankami naczynia więc

222 zyx vvv ==

więc

3 ,3

2 222 vvvv == xx czyli

Teraz otrzymujemy równanie wyrażone przez v,a nie przez vx

3

2vNmpV = (16.2)

Ponieważ Nm = M (masa gazu), oraz M/V = ρ więc równanie powyższe można przepi- sać w postaci

ρ

ρ pp kwsr 3,

3 2

..

2

=== vvv czyli (16.3)

16.2 Temperatura

Zdefiniujmy temperaturę bezwzględną jako wielkość wprost proporcjonalną do średniej energii kinetycznej cząstek

16-2

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

23

2 2vm k

T   

  = (16.4)

gdzie k jest stałą Boltzmana k = 1.38·10-23 J/K. Eliminując 2v z równań (16.2) i (16.4) otrzymujemy

pV = NkT

lub pV = nRT (16.5) gdzie n jest liczbą moli (R = kNAV). Przypomnijmy, że stała Avogadra NAv = 6.023·1023 1/mol, określa liczbę cząsteczek w jednym molu. Wyrażenie (16.5) przedstawia równanie stanu gazu doskonałego.

Równanie stanu gazu doskonałego zostało sformułowane w XIX w. przez Clapeyro- na na podstawie trzech praw empirycznych odkrytych wcześniej przez innych badaczy: • Prawo Boyle'a-Mariotte'a stwierdza, że w stałej temperaturze iloczyn ciśnienia i ob-

jętości danej masy gazu jest stały pV = const. • Prawo Charlesa mówi, że przy stałej objętości gazu stosunek ciśnienia i temperatury

danej masy gazu jest stały p/T = const. • Prawo Gay-Lussaca stwierdza, że dla stałego ciśnienia stosunek objętości do tempe-

ratury danej masy gazu jest stały V/T = const.

16.2.1 Termometry

Aby zmierzyć temperaturę trzeba wyznaczyć energię kinetyczną cząsteczek gazu co jest bardzo trudne. Ale możemy się posłużyć równaniem stanu gazu doskonałego. Łatwo jest zmierzyć iloczyn pV np. dla układu o stałym ciśnieniu.

16.3 Ekwipartycja energii

16.3.1 Zerowa zasada termodynamiki

Jeżeli dwa ciała o różnych temperaturach zetkniemy ze sobą (i odizolujemy od in- nych) to po dostatecznie długim czasie ich temperatury wyrównają się. Powiemy, że te ciała są w równowadze termicznej ze sobą. Jeżeli ciała 1 i 2 są w równowadze termicznej i ciała 2 i 3 są w równowadze termicznej to ciała 1 i 3 są w tej samej równowadze termicznej. To jest zerowa zasada termodynamiki. Z zasad dynamiki Newtona można pokazać, że średnie energie kinetyczne ruchu postępowego (na cząsteczkę) dla dwu kontaktujących się gazów są równe.

16.3.2 Ekwipartycja energii

Wiemy już, że w równowadze termodynamicznej energie kinetyczne ruchu postę- powego wszystkich cząsteczek są równe. Ale co z ruchem obrotowym i drganiami? Czy cząsteczka może gromadzić energię w innej postaci niż energia ruchu postępowego?

16-3

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Jeżeli tylko cząstka nie ma kształtu kuli (1 atomowa) a ma pewną strukturę wewnętrzną to może wirować i drgać. Np. dwuatomowa w kształcie hantli zacznie się obracać po zderzeniu. Na podstawie mechaniki statystycznej można pokazać, że gdy liczba punk- tów materialnych jest bardzo duża i obowiązuje mechanika Newtonowska to dostępna energia rozkłada się w równych porcjach na wszystkie niezależne sposoby, w jakie czą- steczka może ją absorbować. Każdy z tych sposobów absorpcji energii nazywa się stop- niem swobodyi jest równy liczbie niezależnych współrzędnych potrzebnych do określe- nie położenia ciała w przestrzeni. Innymi słowy: średnia energia kinetyczna na każdy stopień swobody jest taka sama dla wszystkich cząsteczek. Ten wynik nazywamy zasadą ekwipartycji energii. Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego (z równania definiującego T) wynosi

kTm 2 3

2 1 2 =v

Odpowiada to trzem stopniom swobody (współrzędne x, y, z). Stąd średnia energia na stopień swobody wynosi (1/2)kT na cząsteczkę (zależy tylko odT). Dla cząstek obracających się potrzeba 3 dodatkowych współrzędnych do opisania ruchu (obrót względem trzech osi) więc mamy dodatkowe 3 stopnie swobody. O ile dla N cząsteczek nie obracających się całkowita energia (wewnętrzna) U będzie energią kinetyczną ruchu postępowego U = 3/2(NkT) to dla cząstek, które mogą obracać się swobodnie we wszystkich kierunkach (wieloatomowe)

U = (3/2)(NkT) + (3/2)(NkT) = 3NkT Natomiast dla cząstki dwuatomowej (gładkiej)

U = 3/2(NkT) + (2/2)(NkT) = (5/2)(NkT) bo nie ma obrotu wokół osi hantli. Zwróćmy uwagę, że mówimy tu o energii "ukrytej" (wewnętrznej) cząstek a nie o ener- gii makroskopowej (związanej z ruchem masy). O tej energii mówiliśmy przy zasadzie zachowania energii (energia indywidualnych cząstek nie zawarta w energii kinetycznej czy potencjalnej ciała jako całości). Energię wewnętrzną oznacza się zazwyczaj przez U i takie oznaczenie będziemy dalej stosować.

16.4 Pierwsza zasada termodynamiki

To jest po prostu inna wersja zasady zachowania energii, w której mamy rozdzieloną energię ciała na część makroskopową i mikroskopową. Makroskopowa to energia ruchu masy (energia mechaniczna). Mikroskopowa to "ukryta" energia cząstek (energia we- wnętrzna).

Gdy dwa układy (ciała) o różnych temperaturach zetkniemy ze sobą to ciepło ∆Q przepływa z ciała cieplejszego do chłodniejszego. Zgodnie z zasadą zachowania energii, ciepło pobrane przez układ musi być równe wzrostowi energii wewnętrznej układu plus pracy wykonanej przez układ nad otoczeniem zewnętrznym czyli

16-4

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Q = ∆U + ∆W (16.6a) To jest sformułowanie I zasady termodynamiki. Zasada ta pracuje "w obie strony" tzn., gdy nad układem zostanie wykonana praca to układ może oddawać ciepło. To równanie bardzo często przybiera postać dU = dQ – dW (16.6b) Jeżeli rozpatrujemy układ jak na rysunku poniżej

F V

dl

S

dW = Fdl = (F/S)(Sdl) = pdV (16.7) i wtedy

dU = dQpdV

16.5 Ciepło właściwe

Ciepło właściwe definiujemy jako dQ/dTna gram lub mol substancji (ciepło wago- we lub molowe).

16.5.1 Ciepło właściwe przy stałej objętości

Ponieważ dV = 0 więc dU = dQ a stąd

cv = dQ/dT = dU/dT Dla gazu jednoatomowego (dla jednego mola) U = (3/2)NAVkT = (3/2)RT. Zatem

cv = (3/2)R Dla cząsteczki dwuatomowej spodziewamy się więc

cv = (5/2)R a dla wieloatomowej

cv = 3R

Niedoskonałością modelu opartego na mechanice klasycznej jest to, że przewiduje cie- pło właściwe niezależne od temperatury, a badania pokazują, że jest to prawdziwe tylko dla gazów jednoatomowych. Dla pozostałych cv rośnie z temperaturą.

16-5

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Na rysunku poniżej przedstawiono cV dla wodoru (H2) w funkcji temperatury (w skali logarytmicznej).

10 100 1000 10000

2

4

6

8

(3/2) R

(5/2) R

(7/2) R

C v c

al /m

ol K

Temperatra (K)

W temperaturach niższych od 100 K, cv = (3/2)R co wskazuje, że w tak niskich tempera- turach nie ma rotacyjnych stopni swobody. Rotacja staje się możliwa dopiero w tempe- raturach wyższych (cv = (5/2)R). Ale w temperaturach powyżej 2000 K, cv osiąga war- tość (7/2)R. Wytłumaczenie tych zjawisk nie jest możliwe na gruncie mechaniki klasycznej. Dopie- ro mechanika kwantowa daje wyjaśnienie tych zmian. Gdyby cząstka miała moment pędu to musiał by on być równy co najmniej Lmin = h/2π ≈ 10-34 kg m2 s-1 (analogia do modelu Bohra atomu wodoru). Energia kinetyczna ruchu obrotowego dana jest wyraże- niem

I LIErot 22

22

== ω

Dla cząsteczki H2 m=1.67·10-27 kg, a R ≈ 5·10-11 m, więc I = 2mR2 ≈ 8.3·10-48 kg m2. Ponieważ na jeden stopień swobody przypada energia kT/2 więc

kT/2 = L2/2I czyli

T = L2/kI Stąd dla Lmin otrzymujemy Tmin ≈ 90 K. Dla niższych temperatur energia jest za mała aby wzbudzić rotacje co wymaga pewnej minimalnej energii. Podobnie jest dla ruchu drgającego, który także jest skwantowany. Edrg,min = hv. Dla typowej cząsteczkowej częstotliwości drgań 1014 Hz (zakres widzial- ny) otrzymujemy energię drgań ≈ 6·10-20 J co odpowiada temperaturze około 4000 K. Tak więc z zasady ekwipartycji energii wynika, że w tak wysokich temperaturach śred- nia energia drgań Edrg = kT/2. Oprócz energii kinetycznej tego ruchu istnieje jeszcze je- go energia potencjalna. Zatem średnia energia wewnętrzna na cząsteczkę wynosi

U = Eśr,kin,post + Eśr,kin,rot + Eśr,kin,drg + Eśr,pot,drg

U = (3/2)kT + (2/2)kT + (1/2)kT + (1/2)kT = (7/2)kT

16-6

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

la 1 mola

U = (7/2)RT więc cv = (7/2)R

16.5.2 Ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu

Z I zasady termodynamiki mamy

dQ = dU + pdV

onieważ U zależy tylko od T więc mamy dU = cvdT więc

dQ = cvdT + pdV

la gazu doskonałego (1 mola) dV = RdT/p, więc

dQ = cvdT + RdT skąd

dQ/dT = cv + R Ostatecznie więc

cp = cv + R

olowe ciepła właściwe różnych rodzajów gazów doskonałych (teoretyczne) są zesta-

Typ gazu cv cp cp/cv

D

P

D

M wione w tabeli poniżej.

Jednoatomowy rotacja

drgania ń)

(3/2)R (5/2)R Dwuatomowy + Dwuatomowy + rotacja + Wieloatomowy + rotacja (bez drga

(5/2)R (7/2)R (6/2)R

(7/2)R (9/2)R (8/2)R

5/3 7/5 9/7 4/3

16.6 Rozprężanie izotermiczne

Działanie silnika opiera się o rozprężanie zapalonej mieszanki gazowej. Zw

ym trzeba utrzymywać stałą temperaturę ścian cylindra,

U = 0, a stąd dQ = dW

ykle dwa przypadki • rozprężanie izotermiczne • rozprężanie adiabatyczne Przy rozprężaniu izotermiczn czyli tłok musi poruszać się wolno, żeby gaz mógł pozostawać w równowadze termicz- nej ze ściankami cylindra. Ponieważ T = const. więc d

 

  

 ==

 

  ==∆=∆ ∫∫∫

1

2

1

lnddd 22

1

2

1 V VNkT

v V VNkTV

V NkTVpWQ

VV

V

V

V

(16.8)

16-7

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

16.7 Rozpr

Zwykle w silnikach tłok porusza się bardzo szybko więc nie ma dość czasu na prze- i cylindra. Wtedy dQ = 0 i otrzymujemy

ożemy to przepisać w postaci

cvdT + pdV = 0

Z równania stanu gazu doskonałego otrzymujemy różniczkując

pdV + Vdp = RdT

ężanie adiabatyczne

pływ ciepła pomiędzy gazem, a ścianam

dU + pdV = 0 M

na 1 mol.

Stąd obliczmy dT i wstawiamy do poprzedniego równania

0dd =+  

   + p

R VcVp

R Rc vv

p i otrzymujemy

0d =+ 

 

+ Vp RR

cv dd pVVp

Zastępujemy teraz cv + R = c

0dd =pV

gdzie γ = cp/cv. Całkując to równanie otrzymamy

+ pV

γ

.constlnln =+ pVγ

kowania.

0dd =+∫ ∫ p p

V V

gdzie const. oznacza stałą cał Mamy więc

ln(pVγ) = const.

pVγ = const. (16.9)

γ

czyli

żna zapisać: co mo p1V1γ = p2V

16-8

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Przykład 1 Silnik benzynowy ma stopień sprężu peratury azów wydechowych do temperatury spalania?

la gazu doskonałego /

otrzymujemy

T2/T1 = (V1/V2)γ-1

owietrze jest głównie dwuatomowe więc γ = 1.4. Stąd otrzymujemy T2/T1 = 0.415

9 tzn. V2/V1 = 9. Jaki jest stosunek tem g

p1V1γ = p2V2γ więc p2/p1 = (V1γ/V2γ) D

p2/p1 = (V1T2) (V2T1) Porównują te równania

P

16-9

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome