Macierze - Notatki - Algebra, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics
Irena85
Irena8524 March 2013

Macierze - Notatki - Algebra, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics

PDF (87.1 KB)
1 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu algebry: macierze.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Macierze i wyznaczniki Definicja macierzy

Macierzą wymiaru m×n nazywamy wartość odwzorowania, którego

dziedziną jest iloczyn kartezjański {1,2,...,m}×{1,2,...,n} a wartości są

z pewnego zbioru (ciała) K : {1,2,...,m}×{1,2,...,n}→a ij ∈K

Def.Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nm× nazywamy

wartość odwzorowania det: KW nm

×

zbioru macierzy stopnia n, które

spełnia warunki : 1.jednorodność ni Ka ∈∀ ∀λ∈K

det(a 1 ,...,λa i ,...,a n )=λ(a 1 ,...,a i ,...a n ) 2.addytywność

:, nii Kba ∈∀ det ),...,,...,( 1 nii abaa + =det ),...,,...,( 1 ni aaa +det ),...,,...,( 1 ni aba

3. n ji Kaa

ji

∈ ≠

∀ , det ),...,,...,...,( 1 nji aaaa =-det ),...,,...,,...,( 1 nij aaaa

4.detE=det  

 

100 010 001

=1 E- macierz jednostkowa

Własności:1.detA=detA T wszystkie własności sformułowane dla

kolumn są prawdziwe dla wierszy.2.det(0 nm× )=0 z własności 1.

3.PomnoŜyć wyznacznik przez liczbę, znaczy pomnoŜyć 1 kolumnę

macierzy przez tę liczbę.4.Zamiana miejscami dwóch kolumn

macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.5.Macierz o dwóch

identycznych kolumnach ma wyznacznik równy 0 lub macierz o

dwóch kolumnach proporcjonalnych ma wyznacznik równy zero.

det ),...,,...,,...,( 1 nki aaaa =-det ),...,,...,( ,...,1 nik aaaa detA=0 6.Macierz o

kolumnie zerowej ma wyznacznik równy 0 det ),...,0,...,( 1 naa =det

)),...,(,...,( 1 nii aaaa −+ = det ),...,( 1 naa +(-1)det ),...,( 1 naa =0 7.JeŜeli w

macierzy jedna kolumna jest kombinacją liniową pozostałych kolumn,

to wyznacznik macierzy równa się zero det ),...,,,,...,( 1 1

11 ni

k

kki aaaaa + ≠

− ∑α =

det ),...,,...,( 111 naaa α +det ),...,,...,( 221 naaa α +...+det ),...,,...,( 1 nnn aaa α =0

8.Wyznacznik macierzy nie zmieni wartości, Jeśli do jego dowolnej

kolumny dodamy kombinację liniową pozostałych.

9.Wyznacznik macierzy jest równy 0⇔, gdy kolumny tej macierzy są liniowo zaleŜne. 10.(twierdzenie Cauchy’ego)-Wyznacznik iloczynu

macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników macierzy.

det(A*B)=(detA)*(detB) jeśli AB#BA det(AB)=det(BA)

Def. minoraMinorem M ij elementu a ij macierzy A nazywamy

wyznacznik macierzy, którą otrzymamy usuwając z macierzy A i-ty wiersz i j-tą kolumnę.

Def.Dopełnieniem algebraicznym A ij elementu a ij macierzy A

nazywamy liczbę określoną wzorem A ij :=(-1) ji+ M ij

Def.Macierz kwadrat. A nazywamy macierzą nieosobliwą jeśli jej

wyzn. jest róŜny od 0; jeśli detA=0, to A nazywamy macierzą osobli.

Def.JeŜeli macierze A,B∈ W nn×

oraz AB=BA=E to macierz B

nazywamy odwrotną do macierzy A i oznaczamy ją symbolem A 1− . Def.Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym

ciałem K. Odwzorowanie f:U→V spełniające warunki:

1.∀a,b∈U f(a+b)=f(a)+f(b) - addytywność odwzorowania

2.∀λ∈K ∀a∈U :f(λa)=λf(a) - jednorodność odwzorowania – nazywamy przekształceniem liniowym przestrzeni U w V

(1.i 2.)⇔ ∀λ 1 ,λ 2 ∈K ∀a,b∈U f(λ 1 a+λ 2 b)=λ 1 f(a)+λ 2 f(b)

Jeśli V=R to przekształcenie nazywamy formą liniową. F(U) podprzestrzeń liniowa przestrzeni V.

Def. rzędu macierzy.Rzędem niezerowej macierzyA=( a 1 ,a 2 ,...

,a n ) nazywamy ilość liniowo niezaleŜnych wierszy bądź kolumn

tych macierzy.Uwaga 1: Rzęd.macierzy A nazyw. największy stopień

jej minora róŜnego od 0.Uwaga 2: DimL=( a 1 ,a 2 ,...,a n )=r(A)

Własności rzędu macierzy:1.r(A)=0⇔ A=0 2.r(A)=r(A T )

3.r(A)≤min(m,n) jeśli A∈ W nm×

4.Rząd macierzy nie zmieni się jeśli dokonamy na kolumnach tej

macierzy operacji, które nie zmienią wartości wyznacznika. W

szczególności rząd macierzy nie zmieni się jeśli usuniemy z niej

kolumnę zerową, lub z dwóch kolumn proporcjonaln. usuniemy jedną.

Przestrzeń metryczna i unormowana

Odwzorowanie d:A 2 →R , gdzie A≠0 spełniające warunki :

1.∀a,b∈A d(a,b)=0⇔ a=b 2.∀a,b∈A d(a,b)=d(b,a) – symetria

3.∀a,b∈A d(a,b)≤d(a,c)+d(c,b)-nierówność trójkątna – nazywamy metryką w zbiorze A. Wartość tego odwzorowania na parze

elementów (a,b)nazywamy odległością elementów a i b.

∀a,b∈A d(a,b)≥0 d(a,b)= 2

1 [ d(a,b)+d(b,a)]≥

2

1 d(a,a)=0

Def.Przekształcenie f:A→A gdzie (A,°) przestrzeń metryczna,

spełniające warunek:∀a,b∈A d(f(a),f(b))=d(a,b) nazywamy izometrią.

Def.Przekształcenie f:A→A gdzie (A,°) przestrzeń metryczna,

spełniające warunek: ∃λ∈(0,1) ∀a,b∈A d(f(a),f(b))≤λd(a,b) nazywamy przekształceniem zwęŜającym lub kontrakcją.

Przestrzeń unormowana Niech V (przestrzeń liniowa) nad ciałem R.

Funkcjonał (odwzorowanie) ||•||:V→R spełniająca warunki:

1.∀v∈V ||v||=0 ⇔ v=0 2.∀λ∈R ∀v∈V ||λv||=|λ|*||v||

3.∀v 1 ,v 2 ∈V ||v 1 +v 2 ||≤||v 1 ||+||v 2 || nazywamy normą w

przestrzeni V, a przestrzeń liniową z określoną normą nazywamy

przestrzenią unormowaną.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome