Podstawowe wiadomości - Notatki - Mechanika - Część 2, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
guns_pistols
guns_pistols15 March 2013

Podstawowe wiadomości - Notatki - Mechanika - Część 2, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (469.2 KB)
13 strona
901Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach omawiane zostają zagadnienia z fizyki: podstawowe wiadomości; iloczyny złożone trzech wektorów, moment wektora względem punktu, moment wektora względem osi.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 13
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
podstawowe_wiadomosci cz2.pdf

Wyra enie po prawej stronie tego równania jest rozwini!ciem wyznacznika

.

kji

c

zyx

zyx

bbb

aaa (2.28)

W celu obliczenia wspó"rz!dnych iloczynu wektorowego nale y

wektor c zapisany analitycznie:

c c cx y, , z

kc i j ! !c c cx y z podstawi# do równania (2.27).

Z porównania wyrazów przy tych samych wersorach otrzymamy:

" # " " # $%

$ &

'

(

(

(

.babac

,babac

,babac

xyyxz

zxxzy

yzzyx

# (2.29)

docsity.com

2.3.3. Iloczyny z o!one trzech wektorów

W poprzednich dwóch punktach omówili my iloczyn skalarny oraz iloczyn

wektorowy dwóch wektorów. Wektory te mog!y by" w szczególno ci sum# kilku

wektorów. Obecnie podamy okre lenia iloczynów podwójnych z!o$onych z trzech

wektorów. B%dzie to iloczyn mieszany trzech wektorów oraz podwójny iloczyn

wektorowy trzech wektorów. Ograniczymy si% przy tym tylko do okre lenia tych

iloczynów oraz podania podstawowych zale$no ci niezb%dnych do przekszta!ce&

wzorów wektorowych w dalszych rozdzia!ach. Dowody na podane ni$ej

przekszta!cenia mo$na znale'" w literaturze [6, 9, 11].

Iloczynem mieszanym trzech wektorów a, b i c nazywamy iloczyn skalarny

jednego z tych wektorów, np. wektora a, przez wektor b%d#cy iloczynem

wektorowym dwóch pozosta!ych:

!.cba "# (2.30)

Z podanej definicji wynika, $e iloczyn mieszany jest skalarem.

W interpretacji geometrycznej iloczyn mieszany jest równy liczbowo obj%to ci

równoleg!o cianu zbudowanego na wektorach a, b i c. Z podanej interpretacji

geometrycznej wynika, $e gdy wektory te le$# w jednej p!aszczy'nie, to iloczyn

mieszany jest równy zeru.

Warto " iloczynu mieszanego nie ulega zmianie, je$eli w iloczynie tym

b%dziemy zmienia" cyklicznie kolejno " wyrazów:

! ! !.bacacbcba "#$"#$"# (2.31)

Je$eli wektory wyst%puj#ce w iloczynie mieszanym przedstawimy analitycznie:

,ccc

,bbb

,aaa

zyx

zyx

zyx

kjic

kjib

kjia

%%$

%%$

%%$

to iloczyn mieszany mo$na zapisa" w postaci wyznacznika utworzonego ze

wspó!rz%dnych wektorów:

! .cba

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

$"# (2.32)

docsity.com

Podwójny iloczyn wektorowy trzech wektorów a, b i c jest wektorem

powsta!ym w wyniku wektorowego pomno$enia wektora a przez iloczyn

wektorowy wektora b i c:

!.cba "" (2.33)

Powy$szy wzór mo$na rozwin#" do postaci bardziej przydatnej do

przekszta!ce& wzorów wektorowych:

! ! !.baccabcba #&#$"" (2.34)

docsity.com

2.4. Moment wektora wzgl dem punktu

Momentem wektoraawzgl dem punktu (bieguna) O nazywamy iloczyn

wektorowy wektora rA = OA o pocz tku w punkcie O i ko!cu w pocz tku wektora

a przez wektor a (rys. 2.10). Moment wektora wzgl"dem punktu b"dziemy

oznacza# w nast"puj cy sposób:

! .AO araM "# (2.35)

Z podanej definicji wynika, $e moment wektora wzgl"dem punktu ma

w%asno&ci wynikaj ce z omówionego w p. 2.3.2 iloczynu wektorowego. Zatem

wektor MO(a) jest wektorem prostopad%ym do p%aszczyzny okre&lonej przez

wektory rA i a i ma zwrot zgodny z regu% &ruby prawoskr"tnej. Albo inaczej, jego

zwrot jego jest taki, $e dla obserwatora patrz cego z ko!ca wektora momentu

wektor a wywo%uje obrót wokó% bieguna O w kierunku przeciwnym do ruchu

wskazówek zegara.

Moment wektora wzgl"dem punktu jest równy zeru, gdy wektor a = 0 lub wektory

rA i a s równoleg%e, albo linia dzia%ania wektora a przechodzi przez punkt O.

Obecnie zastanówmy si", jak zmieni si" moment wektora wzgl"dem punktu,

gdy wektor a przesuniemy wzd%u$ linii jego dzia%ania. W tym celu obliczmy

moment wektora przy%o$onego w punkcie $a $A , ró$ni cego si" od wektora a tylko punktem przy%o$enia, wzgl"dem punktu O (rys. 2.10). Z definicji momentu

wektora wzgl"dem punktu mamy:

! .AO araM $"#$ $

Na podstawie rys. 2.10 mo$emy napisa#:

r r AA$ # % $A A .

Po podstawieniu tej zale$no&ci do wzoru na moment wektora wzgl"dem punktu

otrzymamy:

! !M a r AA a r a AA aO A A$ # % $ " $ # " % $" $.

Poniewa$ $ #a a , a iloczyn wektorowy dwóch wektorów le$ cych na jednej prostej jest równy zeru:

AA a$" # 0 , otrzymujemy:

! !M a r a M aO A O$ # " # .

docsity.com

Z otrzymanej zale$no&ci wynika, $e moment wektora a wzgl"dem punktu O nie

ulegnie zmianie, gdy wektor przesuniemy wzd%u$ linii jego dzia%ania, czyli jest on

wektorem przesuwnym. Warto&# momentu MO(a) b"dzie zale$a%a od po%o$enia

linii dzia%ania wektora, jego modu%u oraz punktu, wzgl"dem którego liczymy

moment.

Odleg%o&# punktu O od linii dzia%ania wektora a, oznaczonej na rys. 2.10 przez

h, b"dziemy nazywa# ramieniem wektora.

Gdy wektor a przesuniemy do punktu A $$ (rys. 2.10), to moment tego wektora:

! .O aAOaM "$$#

Z tego wzoru wynika, $e modu% momentu jest równy iloczynowi modu%u wektora

przez jego rami":

! !M O Oa M a# # .a h (2.36)

Moment wektora wzgl"dem punktu mo$na wyrazi# za pomoc wspó%rz"dnych

wektora a danych w prostok tnym uk%adzie wspó%rz"dnych (rys. 2.11). Je$eli

wektory rA i a zapiszemy za pomoc ich wspó%rz"dnych:

,aaa,zyx zyxA kjiakjir %%#%%#

rA

MO(a)

A&

A$

rA

a

a$

h

0 A

.

Rys. 2.10. Moment wektora wzgl"dem

punktu

a

rA

Mo(a)

z

y

x

0

A

Rys. 2. 11. Moment wektora wzgl"dem

pocz tku uk%adu wspó%rz"dnych

to moment wektora a wzgl"dem pocz tku uk%adu wspó%rz"dnych O na podstawie

wzorów (2.28) i (2.27) wyra$a zale$no&#:

docsity.com

! ##"# zyx

AO

aaa

zyx

kji

araM

! ! ! .yaxaxazazaya xyzxyz kji '%'%'# (2.37)

Po zapisaniu momentu w postaci:

! kjiaM y OzOOxO MMM %%#

i podstawieniu do wzoru (2.37) otrzymamy wzory na wspó%rz"dne wektora MO(a):

( )

( *

+

'#

'#

'#

.yaxaM

,xazaM

,zayaM

xyOz

zxOy

yzOx

(2.38)

docsity.com

2.5. Moment wektora wzgl dem osi

Zajmiemy si obecnie zdefiniowaniem wielko!ci b d"cej miar" dzia#ania

obrotowego wektora wzgl dem osi. Wielko!$ t nazywamy momentem wektora

wzgl dem osi. W tym celu przyjmiemy, %e dany jest dowolny wektor a oraz o! l,

której kierunek jest okre!lony przez wektor jednostkowy el (rys. 2.12).

Momentem wektoraawzgl dem osi l nazywamy rzutnat o!momentutego

wektora wzgl dem dowolnego punktu O tej osi:

! !" # ! .cosMRzMM OOlll $%%% aaMa (2.39)

OA&

l

el

a

A

O

O rA

MO(a)

$

'

Mlel

Rys. 2.12. Moment wektora wzgl dem osi

Na podstawie wzoru (2.15) moment wektora wzgl dem osi mo%emy

przedstawi$ w postaci iloczynu skalarnego momentu wektora wzgl dem punktu i

wersora osi:

! lOlM eaM '% .

Poniewa% moment wektora wzgl dem punktu jest równy iloczynowi

wektorowemu:

! araM (% AO ,

moment wektora wzgl dem osi mo%na zapisa$ w postaci iloczynu mieszanego:

! lAlM ear '(% . (2.40)

docsity.com

Tak zdefiniowany moment wektora wzgl dem osi jest skalarem. Definicja ta

jest wystarczaj"ca, poniewa% wektor ! llM ea jest skierowany wzd#u% osi l, przeto do jego opisu wystarczy podanie tylko jego warto!ci.

Aby podana na wst pie definicja momentu wzgl dem osi by#a jednoznaczna,

nale%y wykaza$, %e rzut na o! l momentu wektora a wzgl dem punktu O le%"cego

na tej osi nie zale%y od po#o%enia punktu O na tej osi. W tym celu obliczymy

moment wektora a wzgl dem innego punktu &O le%"cego na osi l (rys. 2.12) i dokonamy jego rzutu na t o!:

!" # !Rz l O OM a M a e& &% l' . (a)

Na podstawie rys. 2.12 wektor &O A mo%emy przedstawi$ jako sum wektora : &O O ri A

.ArOOAO )&%&

Po podstawieniu tej zale%no!ci do wzoru (a) oraz skorzystaniu z w#asno!ci

iloczynu mieszanego otrzymamy:

!" # !" # ! ! ! ! !

Rz l O l l

l A l l A l

M a O O r a e O O a r a e

O O a e r a e e O O a r a e

A A& % & ) ( ' % & ( ) ( ' %

% & ( ' ) ( ' % ( & ' ) ( ' .

Poniewa% wektory s" równoleg#e, ich iloczyn wektorowy jest równy

zeru: e O

e O Ol i &

Ol ( & % 0 , ostatecznie otrzymujemy:

!" # ! !" #Rz Rzl O A l l OM a r a e M a& % ( ' % ,

czyli rzut na o! momentu wektora wzgl dem punktu na osi nie zale%y od po#o%enia

punktu na osi.

Z definicji momentu wzgl dem osi wynika, %e b dzie on równy zeru, je%eli

moment MO(a) b dzie równy zeru lub jego rzut na o! b dzie równy zeru. B dzie

tak, gdy kierunek wektora a b dzie przecina# o! l lub b dzie do niej równoleg#y.

Z okre!lenia momentu wektora wzgl dem osi mo%emy zauwa%y$, %e rzuty

momentu MO(a) wektora a wzgl dem pocz"tku uk#adu wspó#rz dnych

O (rys. 2.11) na osie prostok"tnego uk#adu wspó#rz dnych s" równocze!nie

momentami tego wektora wzgl dem osi x, y, z. Na podstawie wzorów (2.38)

momenty wektora a wzgl dem osi x, y, z b d" opisane równaniami:

docsity.com

* +

* ,

-

.%%

.%%

.%%

.

,

,

xyOzz

zxOyy

yzOxx

yaxaMM

xazaMM

zayaMM

(2.41)

W oparciu o powy%sze wzory mo%na poda$ drugi sposób obliczania momentu

wektora wzgl dem osi. Na przyk#ad z pierwszego wzoru wynika, %e aby obliczy$

moment wzgl dem osi x, nale%y wektor a zrzutowa$ na p#aszczyzn yz, czyli

p#aszczyzn prostopad#" do osi x, i obliczy$ moment wektora, b d"cego rzutem

wektora na t p#aszczyzn , wzgl dem punktu O, czyli punktu przebicia

p#aszczyzny yz przez o! x. Warto!$ tak obliczonego momentu jest momentem

wektora wzgl dem osi. Podobne wnioski wynikaj" z dwóch pozosta#ych wzorów

(2.41). Na podstawie powy%szego mo%na poda$ drug" definicj momentu wektora

wzgl dem osi.

Momentem wektora a wzgl dem osi l nazywamy modu" momentu wektora

równego rzutowi wektora a na p"aszczyzn prostopad"# do osi l wzgl dem punktu

przebicia p"aszczyzny przez t o!.

Przyk ad 2.1. Dany jest wektor: kjia 1052 .).% , zaczepiony w punkcie A o wspó#rz dnych x = 2, y = 3, z = 5. Obliczy$ momenty tego wektora wzgl dem

ka%dej osi uk#adu wspó#rz dnych.

Rozwi#zanie. Zgodnie z podan" na wst pie definicj" momentu wektora

wzgl dem osi obliczymy najpierw moment wektora wzgl dem pocz"tku O uk#adu

wspó#rz dnych. Wspó#rz dne tego momentu b d" – na podstawie wzorów (2.41) –

szukanymi momentami wektora a wzgl dem osi x, y, z. Poniewa%

kjirOA 532A ))%% ,

na podstawie wzoru (2.37) otrzymujemy:

! .161055 1052

532O kji

kji

aM )).%

..

%

Momenty wektora a wzgl dem osi uk#adu wspó#rz dnych s" wi c nast puj"ce:

.16MM10MM55MM OzzOyyOxx %%%%.%% ,,

Przyk#ad ten mo%na rozwi"za$ z wykorzystaniem drugiej definicji momentu

wektora wzgl dem punktu, podanej wy%ej. Czytelnikowi pozostawiamy

rozwi"zanie przyk#adu t" metod".

docsity.com

2.6. Funkcje wektorowe

Z kursu matematyki znane s okre!lenia funkcji zmiennych niezale"nych oraz

zmiennych zale"nych. Je"eli znamy kszta#t funkcji zmiennej zale"nej f = f(u, v, t),

to znaj c warto!ci liczbowe zmiennych niezale"nych u, v, t, mo"emy wyznaczy$

warto!$ zmiennej zale"nej f.

W analizie wektorowej spotykamy si% z funkcjami, w których zmiennymi

niezale"nymi i zmiennymi zale"nymi mog by$ zarówno skalary, jak i wektory.

Je"eli ka"demu punktowi pewnego obszaru przyporz dkujemy pewn warto!$

liczbow , to ten obszar nazywamy polem skalarnym. Analogicznie, je"eli

ka"demu punktowi pewnego obszaru przyporz dkujemy pewien wektor, to ten

obszar nazywamy polem wektorowym.

Najcz%!ciej spotykamy si% z trzema typami funkcji.

a) Skalar jako funkcja po o!enia. Po przyporz dkowaniu ka"demu punktowi

obszaru funkcji typu

= (r) (2.42)

b%dziemy mówi$ o polu skalarnym. Zmienn zale"n jest tutaj skalar , a zmienn

niezale"n wektor r. Przyk#adami pola skalarnego s : rozk#ad temperatury w

dowolnym o!rodku, rozk#ad ci!nienia hydrostatycznego w nieruchomej cieczy lub

potencja# pola elektrycznego.

b) Wektor jako funkcja po o!enia. W tym przypadku zarówno zmienna zale"na

u, jak i zmienna niezale"na r s wektorami. Funkcj%

u = u(r) (2.43)

nazywamy polem wektorowym. Przyk#adami takiego pola s : pole przy!piesze&

ziemskich, nat%"enie pola elektrostatycznego, rozk#ad pr%dko!ci w cieczy.

c) Wektor jako funkcja skalara. Funkcj% tak mo"emy zapisa$ w nast%puj cy

sposób:

r = r(s). (2.44)

Zmienna zale"na r jest tutaj wektorem, a zmienna niezale"na s skalarem. Je"eli

wektor jest funkcj wielko!ci skalarnej, to jego wspó#rz%dne x, y, z w

prostok tnym uk#adzie wspó#rz%dnych b%d równie" funkcjami tego skalara:

! " ! " ! " ! " .szsysxs kjir ##$ (2.44a)

Zatem ka"d funkcj% mo"na zapisa$ w postaci trzech funkcji skalarnych.

! " ! " ! ".szz,syy,sxx $$$ (2.45)

docsity.com

Gdy za zmienn niezale"n przyjmiemy czas t, to przyk#adami takich funkcji

wektorowych b%d : po#o"enie r(t), pr%dko!$ v(t) i przy!pieszenie poruszaj cego si%

punktu a(t).

docsity.com

2.7. Pochodna funkcji wektorowej

Za ó!my, !e mamy funkcj" wektorow# typu (2.44), w której zmienn#

niezale!n# jest skalar. Przyrostowi zmiennej niezale!nej s b"dzie towarzyszy$

zmiana wektora r(s). Je!eli pocz#tki wszystkich wektorów r(s) przy o!ymy w

jednym punkcie O, to ze zmian# zmiennej niezale!nej s koniec tego wektora

zakre%li w przestrzeni pewn# lini" nazywan# hodografem funkcji wektorowej r(s)

(rys. 2.13). Niech warto%ciom s i s + s odpowiadaj# wektory r(s) i r(s + s), a

wektor r jest przyrostem wektora r(s) #cz#cym ko&ce obu wektorów. Wówczas

pochodn funkcji wektorowej wzgl dem zmiennej niezale!nej nazywamy granic

stosunku przyrostu tej funkcji do przyrostu zmiennej niezale!nej, gdy przyrost

zmiennej niezale!nej d"!y do zera:

! ! .

s

sss

s lim

ds

d

0s "

#"$ %

"

" %

&"

rrrr (2.46)

r(s)

O r(s+"s)

"r

"

"

r

s

A1

A

d

ds

r

hodograf

Rys. 2.13. Ilustracja pchodnej funkcji wektorowej

Iloraz "r/"s jest wektorem o zwrocie i kierunku wektora "r, czyli ma kierunek

ci ciwy. Gdy "s d!"y do zera, to ci ciwa przechodzi w styczn!. Zatem pochodna

wektora jest wektorem stycznym do hodografu.

Z przedstawionego okre#lenia pochodnej funkcji wektorowej wynika, "e z

formalnego punktu widzenia jest ona zdefiniowana podobnie do pochodnej funkcji

skalarnej. Wynika z tego, "e do pochodnych sum i iloczynów dwóch wektorów

mo"na stosowa$ wzory wyprowadzone w analizie funkcji skalarnych. Dla dwóch

funkcji wektorowych a(s) i b(s) s%uszne s! nast puj!ce zale"no#ci:

! , ds

d

ds

d

ds

d ba ba '%' (2.47)

docsity.com

! , ds

d

ds

d

ds

d b ab

a ba ($(%( (2.48)

! . ds

d

ds

d

ds

d b ab

a ba )$)%) (2.49)

W ostatnim wzorze nie wolno zmienia$ kolejno#ci mno"enia, poniewa" iloczyn

wektorowy jest nieprzemienny.

Gdy k(s) jest funkcj! skalarn!, to pochodna iloczynu tej funkcji przez wektor

! . ds

d k

ds

dk k

ds

d a aa $% (2.50)

Je"eli zmienna niezale"na s jest funkcj! innego parametru s(l), to pochodn!

wektora obliczamy podobnie do pochodnej skalarnej funkcji z%o"onej:

!* +

. dl

ds

ds

d

dl

lsd aa % (2.51)

Mamy równie":

.constgdy,0 ds

d %% a

a (2.52)

Gdy funkcja wektorowa jest zapisana analitycznie w prostok!tnym

nieruchomym uk%adzie wspó%rz dnych x, y, z w postaci (2.44a), wtedy jej

pochodn! po wykorzystaniu wzorów na ró"niczkowanie sumy (2.47) i iloczynu

funkcji (2.50) wyra"a wzór:

. ds

d z

ds

d y

ds

d x

ds

dz

ds

dy

ds

dx

ds

d kji kji

r $$$$$%

Poniewa" wersory osi nieruchomego uk%adu wspó%rz dnych s! wektorami sta%ymi,

mamy:

,0 ds

d

ds

d

ds

d %%%

kji

a st!d ostatecznie

. ds

dz

ds

dy

ds

dx

ds

d kji

r $$% (2.52)

Z powy"szego wynika, "e wspó%rz dne pochodnej wektora s! równe pochodnym

odpowiednich wspó%rz dnych tego wektora.

Pochodne wy"szych rz dów funkcji wektorowych obliczamy analogicznie do

funkcji skalarnych.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome