Analiza równań - Ćwiczenia - Równania różniczkowe zwyczajne, Notatki'z Równania różniczkowe zwyczajne. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Analiza równań - Ćwiczenia - Równania różniczkowe zwyczajne, Notatki'z Równania różniczkowe zwyczajne. University of Bialystok

PDF (118.3 KB)
1 strona
313Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z dziedziny równań różniczkowych zwyczajnych: analiza równań.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Równania ró»niczkowe

Lista 2

Zad 1. Scaªkowa¢ równanie i wydzieli¢ krzyw¡ przechodz¡c¡ przez dany punkt M(x0, y0) rozstrzygn¡¢ uprzednio zagadnienie istnienia i jednoznaczno±ci jego rozwi¡zania oraz okre±li¢ kierunek stycznych i kierunek wypukªo±ci krzywej caªkowej w punkcie M .1

równanie punkty równanie punkty

a) y′ = 2xe−x 2

M(0,−1) h) y′ = 1 2 √

x−1 M(1, 1)

b) y′ = 1 sin x

M(1 2 π, 0) i) y′ = y − 1 M(1, 1)

c) y′ = − 1 x2

M(1, 1), M(−1,−1), M(0, 1) j) y′ = e−x2 M(0, 0) d) y′ = x√

1−x M(0,−1), M(0, 1), M(1, 0) k) y ′ = 1

y M(0, 0)

e) y′ = y M(0, 1) l) y′ = 2 √ y M(−1, 1), M(0, 0)

f) y′ = −y M(0, 1) m) y′ = 3 3 √ y2 M(0, 1), M(0, 0)

g) y′ = −y2 M(0, 0), M(1, 1), n) y′ = √

4y2 − 1 M(0, 1 2 )

Zad 2. Znale¹¢ rozwi¡zanie postaci x = a doª¡czone do rozwi¡zania danego równania ró»- niczkowego

równanie równanie równanie a) y′ = 1

cos2 x c) y′ = 1

2 √

x−1 e) y ′ = 1

x−1 b) y′ = 1

sin2 x d) y′ = ex f) y′ = 1√

2−x2

Zad 3. Znale¹¢ pionowe, poziome i nachylone asymptoty krzywych caªkowych przechodz¡- cych przez dany punkt M(x0, y0) (wykona¢ rysunki).

równanie punkt równanie punkt równanie punkt

a) y′ = −2xe−x2 M(0, 1) d) y′ = x√ x2−1 M(1, 0) g) y

′ = 1 + y2 M(0, 0)

b) y′ = 1 1+x2

M(0, 0) e) y′ = e−x 2

M(0, 0) h) y′ = y M(0, 1)

c) y′ = 2x (x2−1)2 M(0,−1) f) y

′ = 1 cos2 x

M(0, 0) i) y′ = y3 − 1 M(0, 1)

Zad 4. Dokona¢ peªnej analizy równa« ró»niczkowych: 1) okre±li¢ obszar oznaczono±ci rów- nania; 2) obszar istnienia rozwi¡zania zagadnienia Cauchy'ego; 3) obszar istnienia i jedno- znaczno±ci; 4) zaznaczy¢ linie osobliwe; zbada¢ pole kierunków okre±lonych tymi równaniami, tj.: 5) wyznaczy¢ izokliny, narysowa¢ izokliny y′ = 0,±1,∞, 6) wyznaczy¢ obszar wzrostu i malenia rozwi¡zania, 7) znale¹¢ linie linie ekstremów, 8) ustali¢ kierunek wypukªo±ci i zna- le¹¢ linie punktów przegi¦cia; 9) wykona¢ schematyczny szkic rodziny krzywych caªkowych; 10) scaªkowa¢ równanie; 11) zbada¢ zachowanie si¦ krzywych caªkowych w otoczeniu linii osobliwych, na brzegu obszaru okre±lono±ci równania i w niesko«czono±ci.

równanie równanie równanie równanie a) y′ = 0 f) y′ = −x2 k) y′ = 1

1+x2 p) y′ = 1

y

b) y′ = 1 g) y′ = 3 2

√ x l) y′ = − 1

x r) y′ = 2

√ y

c) y′ = −1 h) y′ = −2xe−x2 m) y′ = − 1 x2

s) y′ = 2 √ |y|

d) y′ = −2x i) y′ = e−x2 n) y′ = x√ 1−x2 t) y

′ = 3y 2 3

e) y′ = −y j) y′ = y2 o) y′ = 1 + y2 u) y′ = ey

Zad 5. Znale¹¢ rozwi¡zania równa« caªkowych.

a) y = ∫ x

1 e−y dx, b) y =

∫ x 0 y dx + 1, c) y = 2

∫ x 0

√ y dx, d)

√ y =

∫ x 0 y dx.

1j) zastosowa¢ caªk¦ niewªa±ciw¡ ∫∞ 0

e−x 2 dx = 12

√ π; n) przy obliczaniu caªki zastosowa¢ podstawienie

y = 12 cosh t

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome