Wariacje permutacje kombinacje itp - Notatki - Rachunek prawdopodobieństwa, Notatki'z Rachunek prawdopodobieństwa. Opole University
Aleksy
Aleksy22 March 2013

Wariacje permutacje kombinacje itp - Notatki - Rachunek prawdopodobieństwa, Notatki'z Rachunek prawdopodobieństwa. Opole University

PDF (98.7 KB)
2 strony
511Liczba odwiedzin
Opis
Notatki obejmują tematy z obszaru rachunku prawdopodobieństwa: wariacje permutacje kombinacje.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
QPrint

1

WARIACJE

bez powtórzeń z powtórzeniami

Wariacją k- elementową bez powtórzeń zbioru

n- elementowego (k≤n) nazywamy każdy k-

wyrazowy ciąg różnowartościowy, którego

wyrazami są elementy danego zbioru

Wariację k- elementową z powtórzeniami

zbioru n- elementowego nazywamy każdy k-

wyrazowy ciąg, którego wyrazami są

elementy danego zbioru

Liczba wszystkich różnych k- elementowych

wariacji bez powtórzeń zbioru

n- elementowego jest równa:

( ) +∈≤−= Nknnkgdziekn n

V kn ,, !

!

Liczba wszystkich różnych k- elementowych

wariacji z powtórzeniami zbioru

n- elementowego jest równa:

+∈= NkngdzienV kkn ,

PERMUTACJE

bez powtórzeń z powtórzeniami

Permutacją bez powtórzeń zbioru

n- elementowego A= {a1,a2,…, an}

nazywamy każdy n- wyrazowy ciąg

utworzony z wszystkich elementów tego

zbioru, czyli każde uporządkowanie

elementów zbioru A.

Dany jest zbiór A= {a1,a2,…, ak}. Permutacją

n- elementową z powtórzeniami zbioru

A, w której element a1 występuje n1 razy,

element a2 występuje n2 razy, …, element ak

występuje nk razy, przy czym

n1+ n2+…+ nk= n, nazywamy każdy

n- wyrazowy ciąg, w którym element ai

występuje ni razy dla i=1,2,…,k

Liczba wszystkich różnych permutacji bez

powtórzeń zbioru n- elementowego jest

równa:

+∈= NngdzienPn !

Liczba wszystkich różnych n- elementowych

permutacji z powtórzeniami opisanych wyżej

jest równa:

elementupowtórzeńliczban

kiNngdzie

nnn

n P

i

i

k

nnn

n k

=∈

⋅⋅⋅ =

+ ,...,2,1,

!...!!

!

21

,...,, 21

KOMBINACJE

bez powtórzeń z powtórzeniami

Kombinacją k- elementową bez powtórzeń

zbioru n- elementowego (k≤n) nazywamy

każdy podzbiór k- elementowy tego zbioru

Kombinacją k- elementową z powtórzeniami

zbioru n- elementowego A= {a1,a2,…, an}

nazywamy każdy ciąg (k1,k2,…, kn) taki, że

k1+ k2+…+ kn=k, gdzie ki=N dla i=1,2,…,n

Oznacz to, że w danej kombinacji występuje

k1 elementów a1, k2 elementów a2, …,

kn elementów an

Liczba wszystkich różnych kombinacji

k- elementowych bez powtórzeń zbioru

n- elementowego jest równa:

( ) nkgdzieknk n

k

n C kn ≤−⋅=

 =

!!

!

Liczba wszystkich różnych kombinacji

k- elementowych z powtórzeniami zbioru

n- elementowego jest równa:

+∈ 

 −+= 

 − −+= Nkngdzie

k

kn

n

kn C kn ,

1

1

1

2

SCHEMAT BERNOULLIEGO

Próba

Bernoulliego

Próbą Bernoulliego wzywamy doświadczenie losowe, w którym możliwe

są tylko dwa wyniki, będące zdarzeniami przeciwnymi. Jeden z wyników

nazywa się sukcesem, drugi porażką.

Schemat

Bernoulliego

▪ Schematem N prób Bernoulliego nazywamy doświadczenie losowe

polegające na N- krotnym powtórzeniu ustaleniu próby Bernoulliego, przy

założeniu, że wynik każdej próby nie zależy od wyników próby

poprzednich o nie wpływa na wyniki prób następnych.

▪ Prawdopodobieństwo tego, że w schemacie Bernoulliego o N próbach

sukces otrzyma się dokładnie k razy (0≤k≤N) jest równe:

( )

porazkibprawdopodoq

sukcesubprawdopodop

qpiqpgdzie

qp k

N kP kNkN

− −

=+>> ⋅⋅

 = −

10,0:

Najbardziej

prawdopodobna

liczba

sukcesów

Jeżeli w schemacie N prób Bernoulliego liczba (N+1)p:

- nie jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów

jest największa liczba całkowita mniejsza od (N+1)p,

- jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobne liczby sukcesów są

równe: (N+1)p-1 i (N+1)p

DRZEWO STOCHASTYCZNE

Drzewem stochastycznym nazywamy graf ilustrujący przebieg wieloetapowego

doświadczenia losowego. Wierzchołkom drzewa stochastycznego podporządkowane są

wyniki poszczególnych etapów doświadczenia, a krawędziom prawdopodobieństwa

uzyskania tych wyników. Suma prawdopodobieństw podporządkowanych krawędziom

wychodzącym z tego samego wierzchołka jest równa 1.

B, B`- dwa możliwe wyniki w pierwszym

etapie doświadczenie

A, A`- dwa możliwe wyniki w drugim

etapie doświadczenia

p1- prawdopodobieństwo otrzymania

wyniku B w pierwszym etapie

p2- prawdopodobieństwo otrzymania

wyniku B` w pierwszym etapie

p3- prawdopodobieństwo otrzymania

wyniku A w drugim etapie

p4- prawdopodobieństwo otrzymania

wyniku A` w drugim etapie

p1+ p1=1 q1+ q1=1 q3+ q4=1

Gałąź drzewa stochastycznego- ciąg krawędzi prowadzących od początku drzewa do jednego

z ostatnich jego wierzchołków

▪ Reguła iloczynów- prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowane przez jedną gałąź drzewa

jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom, z których

składa się rozważana gałąź. Reguła wynika ze wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu

▪ Reguła sum- prawdopodobieństwo danego zdarzenia opisane przez kilka gałęzi jest równe

sumie prawdopodobieństw otrzymanych regułą iloczynów dla tych gałęzi.

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome