Środki ciężkości - Notatki - Mechanika, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
dlugie_nogi
dlugie_nogi15 March 2013

Środki ciężkości - Notatki - Mechanika, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (681.7 KB)
15 strona
627Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z mechaniki: środki ciężkości i środek masy.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 15
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

4.1. Środek ciężkości i środek masy Rozpatrzmy układ n punktów materialnych o masach mk (k = 1, 2, . . . , n), na które działają siły ciężkości Gk (rys. 4.1). Niech położenie tych punktów względem punktu odniesienia O określają wektory wodzące rk, jak na rysunku. Wiadomo, że siły ciężkości poszczególnych punktów są równe iloczynowi masy przez przyśpieszenie ziemskie, Gk = mk g, i są skierowane do środka kuli ziemskiej. Ponieważ wymiary układów materialnych rozpatrywanych w zastosowaniach technicznych są pomijalnie małe w porównaniu z promieniem kuli ziemskiej, siły ciężkości możemy uważać za siły równoległe. Punkt C położenia wypadkowej sił ciężkości G nazywamy środkiem ciężkości układu lub ciała materialnego. Punkt ten nie zależy od obrotu układu lub ciała materialnego. Skoro siły ciężkości są siłami równoległymi, to do określenia położenia środka ciężkości C możemy wykorzystać wzory wyprowadzone w p. 3.9.1 na środek układu sił równoległych. Wektor wodzący rC środka ciężkości C układu punktów materialnych zgodnie ze wzorem (3.54) będzie wyrażał związek:

r r

C

k k k

n

G

G = = ∑

1 . (4.1)

Współrzędne środka ciężkości C w prostokątnym układzie współrzędnych otrzymamy ze wzorów (3.55):

x x G

G y

y G

G z

z G

GC k k

k

n

C

k k k

n

C

k k k

n

= = == = ∑ ∑ ∑

1 1, , =1 . (4.2)

We wzorach (4.1) i (4.2) G jest ciężarem całkowitym układu materialnego:

G G k k

n

= = ∑

1

.

W przypadku ciała materialnego o ciągłym rozmieszczeniu masy, jakim jest bryła, dzielimy je myślowo na n małych elementów o masach ∆mk i ciężarach ∆Gk (rys. 4.2). Po podstawieniu do wzorów (4.1) i (4.2) ∆Gk zamiast Gk otrzymamy wzory na przybliżone położenie środka ciężkości bryły:

r r

C

k k k

n

G

G = = ∑ ∆

1 , (4.3)

docsity.com

x x G

G y

y G

G z

z G

GC k k

k

n

C

k k k

n

C

k k k

n

= = == = = ∑ ∑ ∑∆ ∆

1 1, , ∆

1 . (4.4)

m1

Gn

GkG2

G1

rn

O

rC

y

x

m2

r2 rk

mk z

mn

Cr1

G

Rys. 4.1. Siły ciężkości jako siły równoległe

z

y

x

O

∆mk rk

C

G

Gk

rC

Rys. 4.2. Wyznaczanie środka ciężkości dowolnej bryły

Dokładny wzór na promień wodzący rC środka ciężkości C otrzymamy, biorąc granicę sumy występującej we wzorze (4.3) przy liczbie elementów n dążącej do nieskończoności i ich wymiarach dążących do zera. Wtedy w miejsce sumy otrzymamy całkę rozciągniętą na całą bryłę. Zatem wektor wodzący środka ciężkości C

r r r

C

n k k k

n

G

lim G

G

dG

G = = →∞

= ∑ ∫∆

1 . (4.5)

Z kolei współrzędne prostokątne środka ciężkości bryły są określone wzorami:

x xdG

G

ydG

G z

zdG

GC G G

C G= = =

∫ ∫ , y ,C

∫ . (4.6)

Załóżmy obecnie, że pole sił ciężkości jest polem jednorodnym, czyli przyśpieszenie ziemskie nie ulega zmianie, tzn. g = const w całym rozpatrywanym układzie materialnym. Możemy wtedy zapisać:

G g m i dG g dm= = , gdzie m jest masą całego układu lub ciała materialnego. Po podstawieniu tych zależności do wzorów (4.5) i (4.6) i po skróceniu przez g otrzymamy wzory:

docsity.com

r r

C m

dm

m = ∫

, (4.7)

x xdm

m

ydm

m z

zdm

mC m m

C m= = =

∫ ∫ , y ,C

∫ . (4.8)

Określają one położenie środka masy bryły. W przypadku układu punktów materialnych środek masy będzie określony przez analogiczne wzory, z tym że miejsce całek zajmą sumy:

r r

C

k k k

n

m

m = = ∑

1 , (4.9)

x x m

m y

y m

m z

z m

mC k k

k

n

C

k k k

n

C

k k k

n

= = == = ∑ ∑ ∑

1 1, , =1 . (4.10)

Ze wzorów (4.7−4.10) wynika, że przy przyjętych założeniach w jednorodnym polu sił ciężkości środek masy pokrywa się ze środkiem ciężkości. Z tego względu mówiąc o środku ciężkości, możemy mieć na myśli środek masy i odwrotnie. Trzeba jednak pamiętać, przy jakich założeniach te dwa punkty się pokrywają.

docsity.com

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej Bryłą jednorodną nazywamy ciało materialne, w którym masa jest rozmieszczona równomiernie w całej jego objętości. Dla takich ciał zarówno gęstość, jak i ciężar właściwy są wielkościami stałymi. Jeżeli ciężar właściwy oznaczymy przez γ, a objętość bryły przez V, to całkowity ciężar oraz ciężar elementu objętości bryły możemy wyrazić wzorami:

G V= γ γ, dG = dV . Po podstawieniu tych zależności do wzorów (4.5) oraz (4.6) i skróceniu przez stały czynnik γ otrzymamy:

r r

C V

dV

V = ∫

, (4.11)

x xdV

V

ydV

V z

zdV

VC V V

C V= = =

∫ ∫ , y ,C

∫ . (4.12)

Obszarem całkowania jest tutaj cała objętość bryły V. Z otrzymanych wzorów wynika, że położenie środka ciężkości (środka masy) brył jednorodnych zależy tylko od ich kształtu geometrycznego. W wyznaczaniu środków ciężkości pomocne jest następujące twierdzenie, którego dowód pozostawiamy Czytelnikowi. Jeżeli bryła jednorodna ma płaszczyznę, oś lub środek symetrii, to środek ciężkości tej bryły będzie leżał na płaszczyźnie, osi lub w środku symetrii. Przykład 4.1. Wyznaczyć położenie środka ciężkości jednorodnego ostrosłupa foremnego o podstawie kwadratu o boku b i wysokości h (rys. 4.3). Rozwiązanie. Ponieważ oś z jest osią symetrii, środek ciężkości będzie leżał na tej osi, czyli . Wystarczy zatem wyznaczyć jedną współrzędną z trzeciego wzoru (4.12).

x yC = =C 0 zC

docsity.com

dz

z

b

bz

b

z

y

x

h

O

C

Rys. 4.3. Wyznaczanie środka ciężkości ostrosłupa

z zdV

VC V= ∫

. (a)

W mianowniku tego wzoru występuje objętość ostrosłupa:

V b h= 2

3 . (b)

W celu wyznaczenia całki występującej w liczniku wzoru (a) ostrosłup podzielimy na elementy dV w postaci cienkich płytek kwadratowych, równoległych do podstawy xy, o boku bz i grubości dz. Objętość tak przyjętego elementu

dV b dzz= 2 .

Bok krawędzi elementu znajdziemy z proporcji wynikającej z rysunku:

b b

h z h

z = − , stąd ( )b b

h h zz = − .

docsity.com

Mamy więc:

( ) dzzh h bdV 22

2

−= . (c)

Po podstawieniu wzorów (c) i (b) do (a) i wykonaniu całkowania otrzymamy szukaną współrzędną środka ciężkości:

( ) z

b h

h z z dz

b h h

C

h

=

= ∫

2

2

2

0 2

3 4

.

docsity.com

4.2.2. Środek ciężkości powierzchni jednorodnej Takie bryły, jak cienkie płyty, blachy, powłoki itp., których grubość jest znikomo mała w porównaniu z pozostałymi wymiarami, będziemy nazywali

powierzchniami materialnymi. Jeżeli ciężar jednostki powierzchni jest stały, to powierzchnię taką nazywamy powierzchnią jednorodną. Gdy ciężar jednostki powierzchni oznaczymy przez , powierzchnię całkowitą przez F, a powierzchnię elementarną przez dF (rys. 4.4), to możemy napisać:

γ

F

G F,F

dF= γ γdG = F .

Po i cię

W na to

cię

C

z

y

x

O G

dG

dFF

Rys. 4.4. Wyznaczanie położenia środka ciężkości powierzchni

podstawieniu tych zależności do wzorów (4.6) i po skróceniu licznika mianownika przez otrzymamy wzory na współrzędne środka żkości powierzchni jednorodnej:

γ F const=

. F

zdF

z, F

ydF

y, F

xdF

x FC F

C F

C

∫∫∫ === (4.13)

ystępujące w tych wzorach całki są całkami powierzchniowymi rozciągniętymi całą powierzchnię F. Jeżeli powierzchnia jednorodna jest figurą płaską i leży na płaszczyźnie np. xy,

współrzędna oraz zC = 0

x xdF

F

ydF

FC F= = ∫ ∫

, yC F . (4.14)

Punkt C o współrzędnych określonych wzorami (4.14) nazywamy środkiem żkości figury płaskiej.

docsity.com

4.2.3. Środek ciężkości linii jednorodnej W zastosowaniach technicznych często spotykamy bryły, takie jak druty, pręty, liny itp., których dwa wymiary są znikomo małe w porównaniu z długością. Bryły te nazywamy liniami materialnymi, tzn. przyjmujemy, że cała masa jest rozłożona wzdłuż linii środków przekrojów poprzecznych. Jeżeli ciężar jednostki długości jest stały, to taką linię nazywamy linią jednorodną. Po oznaczeniu ciężaru jednostki długości przez , a długości linii AB (rys. 4.5) przez L ciężar całkowity linii i ciężar elementu długości będą wyrażały wzory:

γ L

y

z

x

O

C dG

G

dL

A

B

Rys. 4.5. Wyznaczanie położenia środka ciężkości linii jednorodnej

G LL= γ γ, dG = L dL . Postępując analogicznie jak w przypadku powierzchni jednorodnej ze wzorów (4.6), otrzymamy wzory na współrzędne środka ciężkości C linii jednorodnej:

x xdL

L

ydL

L z

zdL

LC L L

C L= = =

∫ ∫ , y ,C

∫ , (4.15)

gdzie L jest długością linii.

docsity.com

4.3. Twierdzenia Pappusa-Guldina Do wyznaczania środków ciężkości jednorodnych linii płaskich i jednorodnych figur płaskich stosuje się dwa twierdzenia Pappusa-Guldina. Podamy je bez dowodów, a ich zastosowanie zilustrujemy prostymi przykładami. Zaznajomienie się z dowodami podanych niżej twierdzeń pozostawiamy Czytelnikowi. Pierwsze twierdzenie Pappusa-Guldina

Pole powierzchni F, powstałej przez obrót jednorodnej i płaskiej linii o długości L dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej, jest równe długości linii pomnożonej przez długość okręgu opisanego przy obrocie przez jej środek ciężkości:

F hC L= 2π , (4.16) gdzie jest odległością środka ciężkości linii od osi obrotu. hC Drugietwierdzenie Pappusa-Guldina

Objętość bryły V, powstałej przy obrocie figury płaskiej o polu F dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej figury i nie przecinającej jej, jest równe polu powierzchni figury pomnożonemu przez długość okręgu opisanego przy obrocie przez jej środek ciężkości:

V hC F= 2π , (4.17) przy czym jest tutaj odległością środka ciężkości figury od osi obrotu. hC

docsity.com

Przykład 4.2. Wyznaczyć położenie środka ciężkości jednorodnego łuku ćwiartki koła przedstawionego na rys. 4.6.

xC x

y

C

O

r

yC

Rys. 4.6. Zastosowanie pierwszego twierdzenia Pappusa-Guldina do wyznaczenia środka ciężkości łuku kołowego

Rozwiązanie. Z uwagi na to, że przedstawiony łuk ma oś symetrii, jego środek ciężkości będzie leżał na tej osi. Ponieważ oś symetrii jest dwusieczną kąta prostego zawartego między osią x i y, współrzędne środka ciężkości C będą równe: . Wystarczy zatem wyznaczyć jedną z nich. Wyznaczymy współrzędną , korzystając z pierwszego twierdzenia Pappusa-Guldina. Przy obrocie łuku wokół osi y otrzymamy powierzchnię w postaci połowy kuli o powierzchni

x i yC C Cx yC =

xC

F r= 2 2π . Długość łuku

L r= π 2

.

Po podstawieniu tych wartości do wzoru (4.16) otrzymamy równanie:

2 2 2

2π π πr x rC= ,

stąd

π ==

r2yx CC .

docsity.com

Przykład 4.3. Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej przedstawionej na rys. 4.7.

x

y

O

r

r/2

Rys. 4.7. Zastosowanie drugiego twierdzenia Pappusa-Guldina do wyznaczenia środka ciężkości figury płaskiej

Rozwiązanie. Do wyznaczenia współrzędnych środka ciężkości przedstawionej na rysunku figury płaskiej zastosujemy drugie twierdzenie Pappusa--Guldina. Współrzędną wyznaczymy przez obrócenie figury wokół osi x, a współrzędną przez obrót wokół osi y. Przy obrocie figury wokół osi x otrzymamy bryłę o objętości równej różnicy półkuli o promieniu r i kuli o promie- niu 0,5r.

x i yC C

yC xC

V r r r= − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =

2 3

4 3 2 2

3 3 3

π π π .

Pole figury

F r r= − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =

π π π2 2 2

4 2 2 8 r .

Po podstawieniu obliczonych wartości V i F do wzoru (4.17) otrzymamy:

π π

πr y rC 3 2

2 2

8 = ,

stąd

y rC = 2 π

.

Przy obrocie figury wokół osi y otrzymamy bryłę o objętości

docsity.com

′ =V xC2 Fπ . (a)

Wielkość jest różnicą objętości V′V 1 półkuli o promieniu r i połowy torusa o objętości V2, powstałego z obrotu półkuli o promieniu 0,5r wokół osi y:

′ = −V V V1 2 .

Do obliczenia objętości V2 połowy torusa również zastosujemy drugie twierdzenie Pappusa-Guldina. Do wzoru (4.17) zamiast hC wstawimy 0,5r.

V r r2 2 2 3

2 2 2 2 8

= ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =π

π π r .

Zatem

( )′ = − = −V r r2 3 8

16 3 24

3 2 3π π π π r3 .

Po podstawieniu tej wartości oraz wyliczonej uprzednio powierzchni F do wzoru (a) otrzymamy równanie:

( )16 3 24

2 8

3 2

− =π π

π πr x rC ,

a stąd

( )x rC = −16 3 6π π .

docsity.com

4.4. Momenty statyczne mas Załóżmy, że mamy układ n punktów materialnych o masach mk, których położenie względem dowolnego punktu O określają promienie wodzące rk (rys. 4.1). Rozkład mas tego układu materialnego względem przyjętego punktu O charakteryzują momenty pierwszego rzędu, nazywane momentami statycznymi. Momentem statycznymSukładu punktów materialnych względem dowolnegopunktu O nazywamy sumę iloczynów mas mk przez ich promienie wodzącerk.

S r= = ∑ k k k

n

m 1

. (4.18)

Tak zdefiniowany moment statyczny jest wektorem. Po podstawieniu do tego wzoru wektora rk zapisanego za pomocą współrzędnych prostokątnych:

r i jk k k kx y z k= + + wektor S wyrazi wzór:

S i j= + + = = = ∑ ∑ ∑x m y m z mk k k

n

k k k

n

k k k

n

1 1 1

k

m =1

. (4.19)

Współrzędne tego wektora nazywamy momentami statycznymi względem płaszczyzn yz, zx i xy, które oznaczymy odpowiednio przez S S i Syz zx xy, .

S x m S y m S zyz k k k

n

zx k k k

n

xy k k k

n

= = = = = ∑ ∑ ∑

1 1

, , . (4.20)

Momentem statycznym układu punktów materialnych względem dowolnej płaszczyzny nazywamy sumę iloczynów mas punktów przez ich odległości od tej płaszczyzny.

docsity.com

Aby otrzymać moment statyczny bryły względem punktu, dzielimy bryłę na n elementów o masach mk (rys. 4.2). Jeżeli założymy, że liczba elementów n dąży do nieskończoności, a ich masa do zera, zamiast wzoru (4.18) otrzymamy całkę rozciągniętą na całą masę m. Moment statyczny bryły względem początku układu O wyraża wzór:

S r r= = →∞

= ∑ ∫limn k k k

n

m

m d∆ 1

m

. (4.21)

Z kolei momenty statyczne bryły względem poszczególnych płaszczyzn prostokątnego układu współrzędnych będą dane wzorami:

S xdm S ydm S zdmyz m

zx m

xy m

= = =∫ ∫, , . (4.22) Z porównania wzoru (4.21) ze wzorem (4.7) na promień wodzący rC środka masy (ciężkości) oraz wzorów (4.22) ze wzorami (4.8) na współrzędne środka masy wynika, że całki występujące w licznikach wzorów (4.7) i (4.8) są momentami statycznymi. W pierwszym przypadku jest to moment statyczny względem początku układu współrzędnych O, a w drugim są to momenty statyczne względem płaszczyzn yz, zx i xy. Zatem wzory (4.7) i (4.8) na promień wodzący rC środka masy C i jego współrzędne xC, yC, zC możemy wyrazić za pomocą momentów statycznych:

r SC m = , (4.23)

x S m

S m

z S mC

yz zx C

xy= = =, y ,C . (4.24)

Znając położenie środka masy C bryły lub układu materialnego, odpowiednie momenty statyczne możemy wyznaczyć z powyższych wzorów. Otrzymamy wtedy:

S r= C m , (4.25)

mzS,myS,mxS CxyCzxCyz === . (4.26)

docsity.com

Wzory (4.25) i (4.26) zostały wyprowadzone dla bryły, jednak do analogicznych wzorów dojdziemy, prowadząc podobne rozważania dla układu punktów materialnych. Stąd wynikające z tych wzorów wnioski będą dotyczyły również momentów statycznych układu punktów materialnych. Oto one:

a) Moment statyczny bryły lub układu punktów materialnych względem dowolnego punktu jest równy momentowi statycznemu masy całkowitej skupionej w środku masy (ciężkości) względem tego punktu.

b) Moment statyczny bryły lub układu punktów materialnych względem dowolnej płaszczyzny jest równy momentowi statycznemu masy całkowitej skupionej w środku masy (ciężkości) względem tej płaszczyzny.

c) Moment statyczny bryły lub układu punktów materialnych względem środka masy (ciężkości) jest równy zeru.

d) Moment statyczny bryły lub układu punktów materialnych względem płaszczyzny przechodzącej przez środek masy (ciężkości) jest równy zeru. Analogicznie do momentów statycznych mas (masowych momentów statycznych) wprowadza się pojęcie momentów statycznych objętości brył, powierzchni i linii. Momenty statyczne objętości, powierzchni i linii względem płaszczyzn prostokątnego układu współrzędnych są całkami występującymi odpowiednio w licznikach wzorów (4.12), (4.13) i (4.15). Na szczególną uwagę zasługują momenty statyczne powierzchni figur płaskich względem osi, ponieważ mają duże zastosowanie w wytrzymałości materiałów. Całki występujące w licznikach wzorów są momentami statycznymi figury płaskiej względem osi y i x (rys. 4.8):

S x dF y dFy F F

= =∫ ∫, Sx . (4.27) Po takich oznaczeniach wzory (4.14) na płaskiej można zapisać w następujący sposób

x S FC y= ,

Stąd gdy znamy współrzędne środka cięż statyczne:

S y F,x C= Sy gdzie F jest polem całkowitym powierzchni f

yC

xC

y

xO

C

Rys. 4.8. Wyznaczanie położenia środka

współrzędne środka ciężkości figury :

S F

xyC =

F

. (4.28)

kości, możemy wyznaczyć momenty

xC= , (4.29) igury płaskiej

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome