Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta, gęstość - Ćwiczenia - Probabilistyka, Notatki'z Probabilistyka. University of Bialystok
panna_ania
panna_ania15 March 2013

Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta, gęstość - Ćwiczenia - Probabilistyka, Notatki'z Probabilistyka. University of Bialystok

PDF (134.0 KB)
2 strony
819Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu probabilistyki: rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta, gęstość.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

probabilistyka matematyka, II stopień

lista 3

1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y ) ma rozkład prawdopodobieńśtwa określony następująco: P (X = 1, Y = 1) = 0, 2, P (X = 1, Y = 2) = 0, 3, P (X = 3, Y = 1) = 0, 4, P (X = 3, Y = 2) = 0, 1.

• Zapisać ten rozkład w tabeli, • zbadać czy zmienne losowe X i Y są niezależne, • wyznaczyć dystrybuantę i wartość przeciętną zmiennej losowej X, • obliczyć wartość dystrubuanty dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y ) w punkcie (2, 2).

2. W 10-cio elementowej partii pewnego towaru są 2 sztuki wadliwe. Wylosowano bez zwrotu 2 sztuki. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie sztuk wadliwych wśród 2 wylosowanych sztuk, zaś Y przyjmuje wartość 1, jeśli pierwsza wylosowana sztuka jest wadliwa, oraz 0, jeśli nie jest wadliwa.

• Wyznaczyć rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y ), • zbadać czy zmiene losowe X i Y są niezależne, • obliczyć współczynnik korelacji zmiennych X i Y .

3. Rzucamy kolejno 5 razy monetą. Oznaczmy przez X liczbę wyrzuconych orłów, przez Y liczbę serii orłów, a przez Z długość najdłuższej serii.

• Wyznaczyć rozłady dwuwymiarowych zmiennych losowych (X,Y ) , (X,Z) oraz (Y,Z), • wyznaczyć rozkłady brzegowe poszczególnych zmiennych losowych, • obliczyć P (X = 3, Z ≤ 2), • wyznaczyć rozkład trzywymiarowej zmiennej losowej (X,Y, Z).

4. Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład jednostajny odpowiednio na przedziałach (0, a) i (0, 12π). Znaleźć P (X < b cosY ), gdzie 0 < b < a.

5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że równanie x2 − 2Bx+C = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, jeśli B i C są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Exp(λ)?

6. Momenty przybycia autobusów A i B są niezależnymi zmiennennymi losowymi X,Y o rozkładzie wykładniczym z parametrami α i µ

a) znaleźć rozkład momentu przybycia pierwszego autobusu;

b) obliczyć prawdopodobieństwo, że autobus A przyjedzie pierwszy.

7. Dana jest funkcja f(x, y) = ce−

1 2 (x

2+2xy+5y2)

• wyznaczyć stałą c tak, aby dana funkcja byłą gęstością zmienenj losowej (X,Y ), • wyznaczyć rozkłady brzegowe, • czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

8. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa układu zmiennych losowych (X,Y )

f(x, y) = {

1 2 sin(x+ y) dla 0 < x <

π 2 , 0 < y <

π 2

0 w.p.p.,

• wyznaczyć dystrybuantę układu, • wyznaczyć rozkłady brzegowe, • zbadać czy zmienne losowe są niezależne.

9. Niech dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y ) ma rozkład jednostajny naK, gdzieK = {(x, y) ∈ R2 : |x|+|y| ≤ a}. Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

docsity.com

10. Trójwymiarowa zmienna losowa (X,Y, Z) ma rozkład równomierny w obszarze V = {(x, y, z) : x2 + y2 ≤ 4 i 0 ≤ z ≤ 1}. Wyznaczyć gęstość rozkładu brzegowego zmiennej losowej Z oraz obliczyć wartość oczekiwaną E(Z), czy zmienne losowe X, Y oraz Z są niezależne?

11. Zmienna losowa (X,Y ) ma rozkład określony gęstością:

f(x, y) = { 4

xy3 dla a < x < y <∞ 0 w.p.p

• sprawdzić dla jakiego a podana funkcja jest gęstością, • znaleźć dystybuantę, • znaleźć gęstości rozkładów brzegowych, • sprawdzić czy zmienne X i Y są niezależne, • policzyć wartości przeciętne rozkładów brzegowych.

12. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y ) ma gęstość daną wzorem

f(x, y) = { A dla (x, y) ∈ V 0 w.p.p

gdzie V jest obszarem ograniczonym półokręgiem o promieniu 1, położonym nad osią Ox. Obliczyć E(XY )

13. Dwie niezależne zmienne losowe X i Y mają rozkłady normalne N(m,σ) z takimi samymi parametrami. Znaleźć współczynnik korelacji zmiennych losowych U = aX + bY i V = aX − bY.

14. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y ) ma gęstość daną wzorem

f(x, y) = {

12 11 (2x

2 + xy) dla (x, y) ∈ (0, 1)× (0, 1) 0 w.p.p

Obliczyć współczynnik korelacji.

15. Niech S będzie trójkątem ograniczonym prostymi y = −x, y = x oraz y = 1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y ) ma gęstość daną wzorem

f(x, y) = {

1 dla (x, y) ∈ S 0 w.p.p

• obliczyć kowariancję Cov(X,Y ), • obliczyć współczynnik korelacji zmiennych losowych X,Y • czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

16. Niech X1, X2, . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi i mają rozkład

• jednostajny na przedziale [α, β] • równomierny dwupunktowy WXi = {1, 2}

Niech U = min(X1, X2, . . . , Xn), natomiast V = max(X1, X2, . . . , Xn). Wyznaczyć rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (U, V ).

17. Niech F (x, y) będzie dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y ), aG(x, y) będzie dystrybuantą dwuwymi- arowej zmiennej losowej (U, V ), gdzie U = max(X,Y ) oraz V = min(X,Y ). Wyrazić G(x, y) przez F (x, y)

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome