Całki oznaczone - Notatki - Analiza matematyczna - Część  2, Notatki'z Analiza matematyczna. Warsaw School of Economics
Elzbieta84
Elzbieta8425 March 2013

Całki oznaczone - Notatki - Analiza matematyczna - Część 2, Notatki'z Analiza matematyczna. Warsaw School of Economics

PDF (466.5 KB)
12 strona
408Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach przedstawiane zostają zagadnienia z analizy matematycznej: całki oznaczone. Część 2.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 12
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

Analiza matematyczna, całki oznaczone 13/36

2∗π 2 =π

Tak samo z dolną: 2∗0=0

Wróćmy i naprawmy błąd:

=∫ 0

π 2

sin 2x dx=1 2∫0

π

sin t dt=−1 2

[ cos t ] π 0 =−1

2 cos π−cos0=1

Jak najbardziej – bardzo ładnie.

Dla wprawy – obliczymy sobie przykład z nieocenionej książeczki tandemu Gewert i Skoczylas.

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 14/36

Zadanie 1

Obliczyć podaną całkę oznaczoną (dokonując wskazanych podstawień):

∫ 0

1

x 1x dx , 1 x=t

Wybrałem taki przykład, bo nie chciało mi się kombinować z podstawianiem. Mam nadzieję, że z „technicznego” punktu widzenia co nieco wyjaśniłem w pomocy dotyczącej całek nieoznaczonych (gdzie masa przykładów polegała na podstawianiu).

Okej, najpierw (dla pewności) sprawdźmy, czy wskazane podstawienie ma sens. Mamy

1 x=t (*)

więc różniczkując: 1

21x dx=dt

i stąd dx jest równe: dx=21x dt

a wiedząc (*), ostatecznie: dx=2∗t dt (**)

Obliczmy jeszcze, ile w tym podstawieniu jest równe x (obustronnie podnosząc do kwadratu): | 1x |=t 2

Moduł możemy pominąć, bo w tych granicach nic się złego nie stanie: x= t2−1 (***)

Wrzucając w odpowiednie miejsca (*), (**) i (***), mamy:

∫ 0

1

x 1x dx=∫ ...

...

t 2−1∗t∗2∗t dt=2∗∫ ...

...

t 4−t 2dt

Musimy pamiętać o zamianie granic całkowania. Górna granica będzie równa:

11=2

Zaś dolna: 10=1

Ostatecznie, nasze zwierzątko do wyliczenia, lampiąc się na nas swoimi dużymi oczkami, będzie tak się prezentować:

2∗∫ 1

2

t4−t2dt

a musicie sami przyznać, że całkowanie takiego zawodnika jest dużo prostsze i w czasach, gdy nauka często koliduje z czasem wolnym – widzimy, że lepiej sprowadzić sobie całkę do prostej

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 15/36

postaci, którą możemy rozwalić razem z tablicami. Nie owijając dalej w bawełnę, skończmy ten przykład. Po scałkowaniu:

2∗∫ 1

2

t 4−t 2dt=2∗[ t 5

5 −t

3

3 ]2

1 =

sobie kurturalnie policzymy:

=2∗[ 2 5

5 − 2

3

3 −1

5

5 −1

3

3 ]=

=2∗[ 2 5 2

5 −2

3 2

3 − 1

5

5 −1

3

3 ]=

=2∗[ 42 5

−2 2 3

− 3 15

− 5 15

]=

=2∗[ 22 15

 2 15

]=

=4∗21 15

Ostatecznie, wyliczyliśmy, że

∫ 0

1

x 1x dx=4∗2115

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 16/36

Dzielenie obszarów całkowania

Na końcu (tej strony, oczywiście), zgodnie z obietnicą, zajmiemy się obliczaniem ciekawszych obszarów całkowania, które „składają” się nie z jednej czy dwóch funkcji, ale np. z trzech czy czterech.

Jak widzicie, jeżeli umie się obliczać całki nieoznaczone – to prawie umie się liczyć całki oznaczone. Różnica polega tylko na podstawieniu tych „granicznych” wartości na końcu i odpowiednim odjęciu.

Jednym z zastosowań, które tutaj sobie pokazaliśmy – to liczenie pól. O ile liczenie pola pod zwykłą funkcją kwadratową, to zaczyna się problem przy, załóżmy, takim zawodniku:

I mamy za zadanie obliczenie pola takiego Pudziana. Jednak problem pojawia się od razu – zauważmy, że z „góry” ograniczają nas dwie funkcje – najpierw działa funkcja kwadratowa f, a następnie funkcja liniowa g. Z dołu działa jedna i ta sama funkcja h.

Gdybyśmy chcieli już walnąć wzorka i liczyć całkę, to mamy problem:

∫ 0

5

?− 1 5

x−1dx

bo mamy dwie funkcje, które ograniczają nam obszar z góry.

Ale jest pewien trik, który się zwie – dzielenie obszaru całkowania.

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 17/36

Otóż: Po pierwsze – dzielimy obszar tak, by była jedna funkcja ograniczająca z góry i jedna z

dołu. W tym przykładzie – możemy to zrobić tak:

Po prostu podzieliłem sobie nasze „pole” na dwa – po to, by było łatwiej sobie policzyć pole. Obszar, który z góry jest ograniczony przez f x =x2−1 , oznaczyłem sobie O1. Zaś ten, który z góry ogranicza tam g x=−x5 , oznaczyłem se jako O2.

Po drugie – liczymy sobie osobno dane pola, a następnie – dodajemy je i finito:

Nasz pierwszy obszar trzymają w ryzach – po lewej bramkarz numer 0 ( x=0 ), po prawej

bramkarz numer 2 ( x=2 ). Z dołu ogranicza nas funkcja h x =15 x−1 , zaś z góry – funkcja

kwadratowa f x =x2−1 . W związku z tym, obliczając pole O1, zakurwiamy taką całką:

∫ 0

2

[ f x−hx ]dx=∫ 0

2

[ x2−1−1 5

x−1] dx *

i ją sobie zostawimy, obliczając później.

By obliczyć pole O2, musimy wiedzieć, co nam ten obszar ogranicza z lewej strony (tym razem x=2 , bo cały ten obszar „zaczyna” się dopiero tutaj), z prawej ( x=5 ), z dołu (nadal

h x =1 5

x−1 ), a z góry tym razem g x=−x5 . Obliczymy to wszystko, obliczając takie

zwierzątko:

∫ 2

5

[g x −h x]dx=∫ 2

5

[−x5−1 5

x−1] dx **

Ostatecznie, korzystając z powyższych zapisów – pole całego obszaru (a, nazwę go O) będzie się równać:

pole obszaru= poleO1pole O2=∫ 0

2

[ x2−1−1 5

x−1]dx∫ 2

5

[−x5−1 5

x−1]dx

Najlepiej byłoby dodać te dwie całki i zapisać pod jedną. Problemem są granice całkowania – są one różne i kompletnie się nie nadają do spółkowania.

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 18/36

Powolutku obliczymy obydwie całki. Najpierw zaczniemy od (*), czyli:

∫ 0

2

[ x2−1−1 5

x−1]dx

zrobimy porządek pod nawiasem kwadratowym:

∫ 0

2

x2−1 5

x dx

następnie kulturalnie scałkujemy:

∫ 0

2

x2−1 5

x dx=[ x 3

3 − x

2

10 ]2

0

i wyliczymy:

[ x 3

3 − x

2

10 ]2

0 =2

3

3 − 2

2

10 −0

3 − 0

10 =8

3 − 4

10 =34

15

Nie mam najmniejszego pojęcia, czy taki faktycznie jest wynik, ale jestem takim leniem, że i nawet tego nie chce mi się dokładnie sprawdzać.

Weźmy się za obliczanie pola O2 (**). Jeżeli ktoś bardzo mądrze zauważy – to O2 jest trójkątem, którego pole jest dziecinnie proste do obliczenia (jak się wyliczy współrzędne wierzchołków). Ja jednak jestem ludziem, który, kupując bułki w delikatesach, 50 metrów ode mnie, używa samochodu, więc całe to pole obliczymy, przyjebując se całkę.

∫ 2

5

[−x5− 1 5

x−1]dx

Trochę posprzątamy po imprezie:

∫ 2

5

−6 5

x6dx

obliczymy całkę:

∫ 2

5

−6 5

x6dx=[−6 x 2

10 6 x ] 5

2

Zobaczmy, jaka będzie wartość tego zwierzątka w nawiasie, gdy za iksa wstawimy 5:

−6∗5 2

10 6∗5=−1530=15

i dwójeczkę:

−6∗2 2

10 6∗2=−2,412=9,6

Wiadomo, co od czego odjąć (wartość nawiasa od 5 – wartość nawiasa od 2):

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 19/36

[−6 x 2

10 6 x ]5

2 =15−9,6=5,4

Dlatego my już możemy wyliczyć pole całego obszaru:

pole obszaru= poleO1pole O2=34 15

5,4

Ostatecznie: 34 15

5,4=34 15

54 10

=68 30

162 30

=230 30

=23 3

I koniec mocowania się z tym przykładem. Obliczyliśmy pole danego obszaru, który był taki trochę „nieregularny” - po prostu dany „bok” ograniczały nam dwie różne funkcje.

Przy obliczaniu obszarów stosuje się pewien numer. Załóżmy, że mamy taki obszar:

Pomijając fakt, że to tylko trójkąt, możemy go podzielić na dwa obszary całkowania:

i sobie wyliczyć całkę.

Jest jednak pewien numer, który stosujemy, by w ogóle nie dzielić tego obszaru.

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 20/36

Zamiana zmiennych niezależnych

Jak widać na przykładzie – musimy stosować dwa obszary całkowania, bo „górę” przykrywają nam dwie różne funkcje.

Ale spróbujmy przechylić łeb w prawo:

Jeżeli tak na to spojrzymy, to wywnioskujemy, że

czerwone linie wyznaczają nam lewą i prawą granicę całkowania, zaś z góry i z dołu mamy jakieś dwie funkcje, które ograniczają nam tą szarą plamę oleju.

Gdybyśmy uznali y za zmienną niezależną (tak to się mądrze pisze), to oszczędzamy sobie w tej chwili dzielenia na dwa obszary, dodawania itd.

Mówiąc obrazowo – możemy sobie „obrócić” obraz o 90 stopni. Może się wtedy okazać, że tylko jedna „linia” ogranicza nas z góry i jedna z dołu.

Problem polega na tym, że to „obrócenie”, to nie do końca „obrócenie” i że mimo wszystko – nie warto obracać kartki i rysować wykresu od nowa. Będziemy musieli jakoś matematycznie

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 21/36

„obrócić” te linie.

By takie coś zastosować... zastosujemy przykład. Zadanie (chyba) 2

Obliczyć pole obszaru, ograniczonego prostymi bądź równaniami: • y=−1 • x=3 oraz • f x =x

1 2= x (zapisałem tak, bo w Pain... Bardzo Drogim Programie do malowania

wykresów nie da się wstawić symbolu pierwiastka. Wiemy jednak, że

coś 1 2=coś

Ilustracja tego przedsięwzięcia jest przedstawiona powyżej.

Oczywiście, możemy podzielić obszar całkowania na dwa i iść podanym kilka stron wcześniej tropem. My jednak zmienimy zmienną niezależną. Zauważcie, że gdyby „w myślach” obrócić ten rysunek w lewo:

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 22/36

to wtedy mamy jedną funkcję „ograniczającą” nas z góry oraz jedną – z dołu. Jak już jednak napisałem – będziemy majstrować na oryginalnym rysunku.

Na początku – dotychczas, całkowaliśmy po x. Teraz, nowość, będziemy całkować po y, więc zaznaczmy to.

Zmieniamy zmienną niezależną – przynajmniej w teorii.

Następnie, spróbujemy znaleźć linie, które w poziomie ograniczają nasz obszar.

Linie ograniczające obszar w poziomie

Myślę, że wiecie, jak doszedłem do tej kreski y=3 1 2=3 , a dokładniej – do jej wzorku.

Widzimy, że siedzi tam, gdzie przecinają się x=3 i y= x .

W tym momencie... niestety, nie mogę prosić, byście się napili czegoś procentowego, bo jeszcze przeczytają to nieletni, a ja będę siedzieć. Dlatego, proszę włączyć wyobraźnie. Przypomnieć sobie, co wspominałem o liniach czy funkcjach ograniczających obszar do tej pory. Bo będziemy niejako odwracać nasze myślenie o granicach.

Dobra, teraz musimy znać funkcje, które ograniczają nasz obszar w pionie. I uwaga, muszą mieć postać x=coś tam ! Jedno znamy: x=3 . Zaś drugą funkcję będziemy musieli poznać.

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 23/36

Na pomarańczowo – funkcje, ograniczające nasz obszar z lewej i prawej.

O ile znajdziemy bez problemu wzorek prawej, pomarańczowej linii – toż to x=3 , to schody zaczynają się przy fragmencie paraboli (tak się mądrze nazywa funkcję  x ). Owszem, mamy wzorek: f x = y= x (y jest zmienną zależną, więc można spokojnie i wymiennie wypisywać f (x) i y = coś tam... no chyba, że zaczynamy robić cuda, wtedy trzeba uważać). No, ale właśnie:

y= x

a my potrzebujemy czegoś postaci: x=coś tam

a nawet dokładniej to powinien być nawet taki zapis: g x=cośtam

gdzie g to jakaś funkcja, zależna od x. Jeszcze prościej – po lewej stronie równania siedzi tylko x . Zaś po prawej – jakieś równanie z y.

Szukamy wzorku (równania) funkcji odwrotnej funkcji f. Dokładniejsze zabawy, związane z funkcjami odwrotnymi, robi się przy okazji granic i pochodnych.

Jak szukamy równania odwrotnego? Prosto.

Szukamy tego odwrotnego pojebańca z takiego czegoś: y= x

Wyznaczamy x, obustronnie podnosząc do kwadratu: y2= x

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 24/36

I po robocie. Znamy teraz wzorek tej lewej, pomarańczowej funkcji, z perspektywy y. Podsumujmy:

• na górze i na dole (bądź z lewej i prawej, patrząc z perspektywy osi Y ) ograniczają nas odpowiednio y=3 oraz y=−1

Znamy już granice. Wiemy także, że na wszystko patrzymy z perspektywy osi Y i to po niej będziemy całkować.

∫ −1

3

3− y2dy

Znamy również funkcje, rządzące tym obszarem. • z prawej i lewej (bądź z góry i z dołu, patrząc z perspektywy osi Y ) ograniczają nas

odpowiednio x=3 i x= y 2 .

Skoro mamy całkę – to całkujmy:

∫ −1

3

3− y2dy=[3 yy 3

3 ] 3 −1 =33−3−[−3−−13 ]=23−

−8 3 =2383=

638 3

Dla treningu – jak ktoś chce – może sobie bez problemu podzielić obszar całkowania.

Jak zauważyliśmy, zmieniliśmy nieco przykład. Klasycznie, to y zależy od x, to znaczy – w zależności, jak się zmienia x, zmienia się wartość y. Im więcej węgla i żelaza władujemy w hutę, tym więcej powstanie stali. Jeżeli nadmuchamy balonik (i pisząc „balonik”, mam na myśli gumowy balonik, nic innego, z czego również dałoby się to zrobić) większa ilością powietrza, to tym większe ciśnienie jest w środku.

Jednakże, nieco wygodniej jest nieco zamotać. Popatrzeć nie z perspektywy zmian na osi x, a na osi y. Być może łatwiejsze do analizy jest jednak takie zdanie – im więcej powstanie stali, tym więcej trzeba było zużyć węgla i żelaza. Im większe ciśnienie jest w baloniku, tym więcej se podmuchaliśmy (aczkolwiek, nie musi to tylko zależeć od napompowania, jednakże to nie fizyka).

Zamieniliśmy niemalże miejscami x z y, by ułatwić se przykład, wręcz takie zmutowane całkowanie przed podstawienie. Podstawiliśmy nową funkcję – i wszystko się poprzestawiało. Ten trik jest często stosowany w dalszych zastosowaniach całek, ale o tym – kiedy indziej. Czas na garść tylko i wyłącznie przykładów.

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome