Zbieżność funkcji - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Zbieżność funkcji - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok

PDF (90.7 KB)
1 strona
469Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii miary i całki: zbieżność funkcji.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Ogólna teoria caªki

Lista 2

Zad 1. Udowodni¢, »e ci¡gi funkcji fn s¡ zbie»ne prawie wsz¦dzie (wzgl¦dem miary Lebesgue'a) na R oraz wyznaczy¢ ich granice.

a) fn(x) = sin n(x),

b) fn(x) = n √ | cosx|,

c) fn(x) = e −n sinπx2 .

Zad 2. Niech E = [0, 2]. Sprawdzi¢, czy ci¡g funkcji {fn}n∈N zbiega prawie wsz¦dzie na E do funkcji ci¡gªej. Skonstruowa¢ podzbiór M ⊂ E taki, aby ci¡g {fn}n∈N zbiegaª na M jednostajnie.

a) fn(x) = ( x 2 )n

b) fn(x) = sin n(πx),

c) fn(x) = t 2(sin t2)n,

d) fn(x) = ( 2 π arctg t)n + (sin 2t)n.

Denicja. Niech (X,Σ, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ i niech fn, f : X → R b¦d¡ funkcjami mierzalnymi. Powiemy, »e ci¡g {fn}n∈N zbiega do f wzgl¦dem miary µ, gdy

∀ε>0 lim n→∞

µ({x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > ε}) = 0.

B¦dziemy wtedy pisa¢ fn µ−→ f .

Zad 3. Pokaza¢, »e je»eli fn µ−→ f i fn

µ−→ g, to f = g prawie wsz¦dzie.

Zad 4. Pokaza¢, »e je»eli fn µ−→ f i fn zbiega do g prawie wsz¦dzie, to f = g prawie

wsz¦dzie.

Zad 5. Poda¢ przykªad ci¡gu funkcji zbie»nego wzgl¦dem miary, który nie jest zbie»ny prawie wsz¦dzie.

Zad 6. Udowodni¢, »e zbie»no±¢ prawie wsz¦dzie na przestrzeni z miar¡ sko«czon¡ po- ci¡ga za sob¡ zbie»no±¢ wzgl¦dem miary.

Zad 7. Niech (N, 2N, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ licz¡c¡. Pokaza¢, »e zbie»no±¢ wzgl¦- dem miary w tej przestrzeni równowa»na jest zbie»no±ci jednostajnej.

Zad 8. Korzystaj¡c z poprzedniego zadania poda¢ przykªad ci¡gu funkcji mierzalnych zbie»nego prawie wsz¦dzie, a nie zbie»nego wzgl¦dem miary.

Zad 9. Niech fn µ−→ f i gn

µ−→ g. Pokaza¢, »e

a) |fn| µ−→ |f |,

b) fn ± gn µ−→ f ± g,

c) (fn) + µ−→ f+.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome