Ciągłość funkcji 1- Ćwiczenia - Analiza matematyczna 1, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok
komik86
komik8615 March 2013

Ciągłość funkcji 1- Ćwiczenia - Analiza matematyczna 1, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok

PDF (120.3 KB)
2 strony
644Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy matematycznej: ciągłość funkcji.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Analiza matematyczna I

Lista 5 (ci¡gªo±¢ funkcji)

Zad 1. Obliczy¢ granic¦ funkcji f(x) w punkcie x0, gdzie

a) f(x) = x2 − 3

x4 + x2 + 1 , x0 = 3, b) f(x) =

x2 − 1 2x2 + x− 1

, x0 = 1,

c) f(x) = x2 − 1

2x2 − x− 1 , x0 = 1, d) f(x) =

x3 − 2x2 − 4x + 8 x4 − 8x2 + 16

, x0 = 2,

e) f(x) = (x− 1)

√ 2− x

x2 − 1 , x0 = 1, f) f(x) =

√ x + 13− 2

√ x + 1

x2 − 9 , x0 = 3,

g) f(x) =

√ 1 + 2x− 3√

x− 2 , x0 = 4, h) f(x) =

( 1

1− x − 3

1− x2

) , x0 = 1,

i) f(x) = sin 5x

3x , x0 = 0, j) f(x) =

sin 5x− sin 3x sin x

, x0 = 0.

Zad 2. Obliczy¢ granice:

a) lim x→+∞

( x3

2x2 − 1 − x

2

2x− 1

) b) lim

x→+∞

√ x2 + 1 +

√ x

4 √ x3 + x− x

c) lim x→+∞

( 1 +

k

x

)mx

d) lim x→+∞

( x + 1

x− 2

)2x−1 e) lim

x→+∞

( x + 1

2x− 1

)x , f) lim

x→+∞

( x + a

x− a

)x .

Zad 3. Obliczy¢ granice jednostronne funkcji f(x) w punkcie x0:

a) f(x) = 1

x− 3 , x0 = 3, b) f(x) =

1

3− x , x0 = 3,

c) f(x) = 1

(3− x)2 , x0 = 3, d) f(x) =

1

(3− x)3 , x0 = 3,

e) f(x) = 2 1

x−1 , x0 = 1, f) f(x) = 2 1

1−x , x0 = 1,

g) f(x) = x− 2 x2 − 4

, x0 = −2, h) f(x) = 3

9− x2 , x0 = −3,

i) f(x) = e −2

x−3 , x0 = 3, j) f(x) = x

1 + e 1 x

, x0 = 0.

Zad 4. Na podstawie denicji Cauchy'ego wykaza¢ ci¡gªo±¢ funkcji:

a) f(x) = 3x + 5, b) f(x) = −2x + 1, c) f(x) = 7x, d) f(x) = sin x.

Zad 5. Zbada¢ ci¡gªo±¢ i sporz¡dzi¢ wykresy nast¦puj¡cych funkcji

a) f(x) = [x], b) f(x) = x− [x], c) f(x) = sgnx, d) f(x) = |sgnx|,

e) f(x) = sgn (sinx), f) f(x) = e −1 x2 dla x 6= 0 i f(0) = 0.

docsity.com

Zad 6. Wyznaczy¢ punkty nieci¡gªo±ci funkcji (je»eli istniej¡) oraz sporz¡dzi¢ wykresy funkcji:

a) f(x) =

{ x + 2, gdy x ≥ 0, 2x + 1, gdy x < 0,

b) f(x) =

{ 1 + x2, gdy x ≥ 0, −x2 + 1, gdy x < 0,

c) f(x) =

{ 1 x , gdy x ∈ (1,+∞),

x, gdy x ∈ (−∞, 1], d) f(x) =

{ sin x, gdy x ≥ 0, x, gdy x < 0,

e) f(x) =

 1− x2, gdy x ∈ (−∞, 0), (x− 1)2, gdy x ∈ [0, 2], 4− x, gdy x ∈ (2,+∞),

f) f(x) =

 2x, gdy − 1 ≤ x ≤ 0, −x + 1, gdy 0 < x ≤ 1, log x, gdy 1 < x ≤ 2,

g) f(x) =

 sgnx, gdy x ∈ (−∞, 0), −1, gdy x = 0, x2 − 1, gdy x ∈ (0,+∞),

h) f(x) =

{ x+1 x−1 , gdy x ∈ (−∞,−1), x2 + 2x + 2, gdy x ∈ [−1,+∞),

i) f(x) =

{ arctgx, gdy x ≥ 0, −x3, gdy x < 0,

j) f(x) =

{ arctgx, gdy x ≤ 0, ex, gdy x > 0,

k) f(x) =

 x−2

x2−5x+6 , gdy x ∈ R \ {2, 3}, 1, gdy x = 2,

−1, gdy x = 3, l) f(x) =

 −x2 − 4x− 4, gdy x < 0, 0, gdy x = 0,

2x− 4, gdy x > 0.

Zad 7. Funkcja f(x) = x 3−1 x−1 nie jest okre±lona przy x = 1. Jaka powinna by¢ warto±¢ f(1),

»eby uzupeªniona o t¦ warto±¢ funkcja byªa ci¡gªa w punkcie x = 1?

Zad 8. Dla jakiej warto±ci a ∈ R, funkcja f jest ci¡gªa w zbiorze liczb rzeczywistych:

a) f(x) =

{ (x + a)2, gdy x ∈ (−∞, 0], −x + 1, gdy x ∈ (0,+∞),

b) f(x) =

{ lnx, gdy x ∈ [1,+∞), 2(x− a), gdy x ∈ (−∞, 1),

c) f(x) =

{ ex + a, gdy x ∈ (0,+∞), −x2 − x, gdy x ∈ (−∞, 0],

d) f(x) =

{ 51−x, gdy x ≤ 0, a, gdy x > 0,

e) f(x) =

{ a2 arctg 2x

6x , gdy x 6= 0,

3, gdy x = 0, f) f(x) =

{ a sinx x−π , gdy x 6= π, x, gdy x = π.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome