Dylemat ćmy - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza matematyczna. Opole University
Aleksy
Aleksy22 March 2013

Dylemat ćmy - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza matematyczna. Opole University

PDF (263.9 KB)
5 strona
339Liczba odwiedzin
Opis
Notatki obejmują tematy z obszaru analizy matematycznej: dylemat ćmy.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 5
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
(Microsoft Word - Dylemat \346my.doc)

Dylemat ćmy

Punkt A(x, y) porusza się na płaszczyźnie OXY pod stałym katem ϕ względem początku układu.

Znaleźć trajektorię ruchu tego punktu zakładając, że w momencie rozpoczęcia ruchu znajdował się w

odległości d od początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

I: ( )

( )[ ] ( ) tgttg

tgtgt

tgttg

tgttg ttgttgtg

t

t

⋅+

− =

⋅+

− −=−−=−−°=

−−°=

°=−°+−°+

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕϕα

ϕα

αϕ

11 180

180

180180180

II:

( ) tgttg

tgtgt ttgtg

t

t

⋅+

− =−=

−=

°=−°++

ϕ

ϕ ϕα

ϕα

αϕ

1

180180

III:

( ) tgttg

tgtgt ttgtg

t

t

⋅+

− =−=

−=

°=−°+−°+°−

ϕ

ϕ ϕα

ϕα

ϕα

1

180180180180

IV: ( ) ( )[ ]

( )[ ]{ } ( )[ ] ( ) tgttg

tgtgt ttgttgttgtg

ttt

t

⋅+

− =−=−−°−=−−°−=

−−°−=−−°−=−+°−=

°=++−°

ϕ

ϕ ϕϕϕα

ϕϕϕα

ϕα

1 180180

180180180

180360

1. I), II), III), IV) tgttg

tgtgt tg

Rt ⋅+

− =⇒ ∧

∈ ϕ

ϕ α

1

2. dt

dx

tgttg

tgtgt

dt

dy

dt

dx tg

dt

dy

dt

dx dt

dy

dx

dy

tg dx

dy

⋅ ⋅+

− =⇒⋅=⇒

  

  

=

=

ϕ

ϕ α

α

1

3.

t

x

dt

dx tgt

dt

dy

tgtxytgt x

y

2cos +⋅=

⋅=⇒=

Porównując prawe strony równań 2) i 3) mamy:

t

x

tgtgt

tgttgtgtgttgt

dt

dx

t

x

tgtgt

tgtgt tgt

dt

dx

dt

dx

tgttg

tgtgt

t

x

dt

dx tgt

2

2

2

2

cos1

cos1

1cos

−= ⋅+

⋅++− ⋅

−= 

  

⋅+

− −⋅

⋅ ⋅+

− =+⋅

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

Otrzymujemy równanie różniczkowe

t

x

tgtgt

ttg

dt

dx tg

2

2

cos1

1 −=

⋅+

+ ⋅⋅

ϕ ϕ z warunkiem początkowym

( )

( )  

=

==

00

0 0

y

dxx

Niech ϕtga =

Równanie przybierze postać:

t

x

atgt

ttg

dt

dx a

2

2

cos1

1 −=

+

+ ⋅⋅

Rozdzielając zmienne równania otrzymujemy:

( )

x x

dx

dt tttg

atgt

ax

dx

ln

cos1

11 22

=

⋅+

+ ⋅−=

( ) ( )

( ) ( ) 1212

2

2

2

2

222 2

22

ln1ln 2

ln1ln 2

1ln 2

1 1ln

2

1

12

1

2

1 1

1

111

1

cos cos1

1

Cttg a

tCu a

arctgu

uv v

dv

dvudu

vu

u

udu

arctgu u

du

du u

au

u

du du

u

au

du t

dt

utgt

t

dt

ttg

atgt

i

i

+++=+++=

+=+= +

= =

= =

+

= +

= +

+ +

= +

+ =

=

=

=⋅ +

+

∫∫

∫ ∫ ∫ ∫

( )  



 +++−= 1

2 ln1ln

2

1 ln Cttg

a t

a x

( )

a

t

e ttg

C x

a

t

C

ttgx

Cttg a

t x

+ =

−= +⋅

++−−=

1

1 ln

ln1ln 2

1 ln

2

2

2

CCed

etCx

ttt

t

t

t ttg

tg

t

==

⋅=

==+=+

0

22

2

2

2 2

cos

cos

1

cos

1

cos

cos

cos

sin 1

ϕ

Uwzględniając równanie 3) otrzymujemy ostatecznie:

 

 

⋅=

⋅=

ϕ

ϕ

tg

t

tg

t

etdy

etdx

sin

cos

Jest to równanie spirali logarytmicznej.

Własności:

A:

1) 00:0 →∧→→ yxϕ ruch prostoliniowy w kierunku początku układu współrzędnych

2)

 

 

⋅=

⋅=  

  

 ∈

ϕ

ϕ π

ϕ

tg

t

tg

t

etdy

etdx

sin

cos :

2 ,0 ruch po spirali zwijającej się do początku układu współrzędnych

3) 222:

2 dyx =+=

π ϕ ruch po okręgu wokół początku układu współrzędnych

4)

 

 

⋅=

⋅=  

  

 ∈

ϕ

ϕ

π π

ϕ

tg

t

tg

t

etdy

etdx

sin

cos :,

2 ruch po spirali rozwijającej się od początku układu współrzędnych

B:

  

 

 

 

 ⋅−⋅⋅=

 

 

 ⋅−⋅−⋅=

−−

−−

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

tg

t

tg

t

tg

t

tg

t

e tg

t etd

dt

dy

e tg

t etd

dt

dx

sin cos

cos sin

1)

πϕ

ϕ

ϕ

kt

tgt t

t tg

tg

t t

dx

dy

+=

==

=−⇔=

cos

sin

0 sin

cos0

2)

π π

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

kt

ctg tg

tgt

tg

t t

dx

dy

+−=

−=−=

−−⇔∞→

2

1

cos sin

3) π

π kt

tx

+=

=⇔=

2

0cos0

4) πkt

ty

=

=⇔= 0sin0

Przykładowe wykresy spirali logarytmicznej:

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome