Kinematyka - Notatki - Mechanika - Część 2, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
guns_pistols
guns_pistols15 March 2013

Kinematyka - Notatki - Mechanika - Część 2, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (389.4 KB)
11 strona
537Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach omawiane zostają zagadnienia z fizyki: kinematyka; zmiana układów odniesienia.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 11
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Kinematyka cz2.pdf

a a an s ! 2 2 .

Po podstawieniu do tego wzoru wyliczonych wy ej warto!ci liczbowych

otrzymamy przy!pieszenie normalne w chwili : t1

" # " #a t m sn 1 2 2 28 6 4 4 8 ! , , / .

Promie" krzywizny obliczymy z drugiego wzoru (5.21):

Przyk ad 5.2. Dane s# kinematyczne równania ruchu punktu M w

prostok#tnym uk$adzie wspó$rz%dnych:

x t t t ! ! ! !2 3 6 3

2 32 2, y = 3 t ,

gdzie x i y s# podane w metrach, a czas w sekundach. Wyznaczy& równanie toru,

promie" krzywizny, pr%dko!&, przy!pieszenie styczne, normalne i ca$kowite. Tor

oraz sk$adowe pr%dko!ci i przy!pieszenia dla chwili pocz#tkowej t = 0 przedstawi&

na rysunku.

Rozwi zanie. Je eli drugie równanie ruchu pomno ymy stronami przez

i dodamy do pierwszego, to otrzymamy równanie toru w postaci:

! 2

y x $ 1

2 2 .

x0 y

x

v0

a

v0x

v0y

ay

ax

B

A O

M

y0

Rys. 5.6. Pr%dko!& i przy!pieszenie punktu we wspó$rz%dnych prostok#tnych na

p$aszczy'nie

Jest to równanie prostej, która odcina na osi odci%tych odcinek OA = 4 m i na osi

rz%dnych odcinek OB = 2 m (rys. 5.6). Po$o enie punktu M na prostej (torze) dla

docsity.com

chwili pocz#tkowej t = 0 wyznaczymy z równa" ruchu: x0 2 , y = 30 . Poniewa promie" krzywizny jest równy niesko"czono!ci ( % & ), przy!pieszenie normalne jest równe zeru:

a v

n 2

0 &

.

Wspó$rz%dne prostok#tne pr%dko!ci i przy!piesze" oraz ich modu$y obliczymy tak

jak w poprzednim przyk$adzie.

Pr%dko!&:

" # " #v dx dt

t dy

dt tx ! $ ! $3 1 4

3

2 1 4, vy , (a)

" # " # " 4t+15 2

3 =t41

4

1 t413vvv

222

y

2

x $$$ $ # . (b)

Przy!pieszenie:

a dv

dt

dv

dt x

x y ! !12 6, ay ,

a a a m sx y $ $ 2 2 2 212 6 6 5 / 2 .

Przy!pieszenie styczne:

a a dv

dt m ss '

3

2 5 4 6 5 2/ .

Z otrzymanych wyników widzimy, e punkt M porusza si% po prostej ze sta$ym

przy!pieszeniem skierowanym tak jak na rysunku.

Pr%dko!ci w chwili pocz#tkowej otrzymamy po podstawieniu do wzorów (a) i

(b) t = 0.

v mx y0 03 3

2

3

2 5 ! ! , v , v0 / s .

Przyk ad 5.3. Trzpie" AB (rys. 5.7a) jest dociskany do mimo!rodu w kszta$cie

tarczy ko$owej o promieniu r tak, e ca$y czas pozostaje z nim w kontakcie. O!

obrotu mimo!rodu przechodzi przez punkt O oddalony od !rodka tarczy C o OC =

e. Mimo!ród obraca si% wokó$ osi obrotu ze sta$# pr%dko!ci# k#tow# .

Wyznaczy& pr%dko!& i przy!pieszenie trzpienia dla czasu t

( ) !s 1

1 = 0,5 s, je eli o!

trzpienia pokrywa si% z osi# x tak jak na rysunku.

docsity.com

Rozwi zanie. Dla obliczenia pr%dko!ci i przy!pieszenia trzpienia musimy

u$o y& jego równanie ruchu, np. równanie punktu A. Na podstawie rys. 5.7b

mo emy napisa&:

" #

x OA OD DA e CD

e r e e r e

A $ !

$ ! $ !

cos + r

cos sin cos sin

2

2

*

* * *

2

2 2 2 2 * .

y

O

A

C

B

r

x

y

O

A

C

B

r

x D

e

*

a) b)

Rys. 5.7. Wyznaczenie ruchu trzpienia AB

Po podstawieniu do tej zale no!ci, zgodnie z tre!ci# zadania,

otrzymamy równanie ruchu punktu A:

tt ) ( *

x e r eA $ !cos t sin 2) 2 2 t) . (a)

Pr%dko!& punktu A otrzymamy po obliczeniu pochodnej tego równania wzgl%dem

czasu:

)!

)))! ))!

tsiner2

tcostsine +tsine

dt

dx v

222

2

A A

" # .

tsiner

t2sin

4

e tsine

222

2

)!

)) !))! (b)

Po zró niczkowaniu powy szego wzoru wzgl%dem czasu i uporz#dkowaniu

wyrazów otrzymamy przy!pieszenie:

" #" # " # " #

+ + + +

,

-

.

.

.

.

/

0

)!)!

) )

$)!)) ))!

tsinertsiner

t2sin 4

etsinert2cos2

4

e +tcosea

222222

22222

A . (c)

docsity.com

Po podstawieniu do wzorów (b) i (c) t1 = 0,5 s otrzymamy warto!& pr%dko!ci

i przy!pieszenia dla tego czasu:

" # " # 22

22

1A1A

er2

e ta,etv

!

) )! .

docsity.com

5.3.1. Zmiana uk adów odniesienia

Z ka d! bry"! sztywn! mo emy zwi!za# uk"ad wspó"rz$dnych opisuj!cy ruch

tej bry"y w przestrzeni. Dlatego w dalszym ci!gu w kinematyce bry"y b$dziemy

si$ zajmowa# g"ównie

wzajemnym ruchem uk"adów

wspó"rz$dnych. Znaj!c ruch

uk"adu wspó"rz$dnych

x y z, , (rys. 5.8) sztywno zwi!zanego z bry"! (uk"adu

ruchomego) wzgl$dem

nieruchomego uk"adu

odniesienia x, y, z, b$dziemy

mogli obliczy# pr$dko%#

i przy%pieszenie wszystkich

punktów bry"y. W dalszej ko-

lejno%ci wyprowadzimy

zale no%ci geometryczne

pomi$dzy tymi uk"adami

wspó"rz$dnych.

y

i

z

x

z

y

x

rO

r

r

M i

jk

O

j

k

O

Rys. 5.8. Wyznaczenie zale no%ci pomi$dzy uk"adami

wspó"rz$dnych

W tym celu ustalmy zale no%ci pomi$dzy wspó"rz$dnymi w obu uk"adach tego

samego punktu M.

W pierwszej kolejno%ci rozpatrzmy zale no%ci pomi$dzy wersorami obu

uk"adów wspó"rz$dnych. Wersory i j k, , ruchomego uk"adu wspó"rz$dnych zapiszemy w uk"adzie nieruchomym x, y, z:

x y z, ,

! " ! " ! "kkijjiiiii # $# $# % . (a)

Zawarte w nawiasach iloczyny skalarne wersorów s! rzutami wersora

odpowiednio na osie x, y, z, s! one równie kosinusami kierunkowymi mi$dzy osi!

a osiami x, y, z, które oznaczymy :

i

x p p px x x y x z , ,

! " ! " ! " &'

& (

)

% %#

% %#

% %#

.pz,xcos

,py,xcos

,px,xcos

zx

yx

xx

ki

ji

ii

(b)

docsity.com

Podstawiwszy powy sze oznaczenia do wzoru (a) oraz post!piwszy podobnie

z wersorami j ki otrzymamy wzory:

& '

& (

)

$$%

$$%

$$%

.ppp

,ppp

,ppp

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

kjik

kjij

kjii

(5.23)

Widzimy, e do zapisania wersorów ruchomego uk"adu wspó"rz$dnych w

uk"adzie nieruchomym nale y zna# dziewi$# kosinusów kierunkowych

zestawionych w poni szej tabeli.

x y z

i j k

x i px x px y px z y j py x py y py z z k pz x pz y pz z

Mi$dzy tymi dziewi$cioma kosinusami kierunkowymi istnieje sze%# zale no%ci.

Otrzymamy je ze wzorów na iloczyny skalarne wersorów (2.16).

& & & &

'

&& & &

(

)

%$$% #

%$$% #

%$$% #

%$$% #

%$$% #

%$$% #

.0pppppp

,0pppppp

,0pppppp

,1ppp

,1ppp

,1ppp

zxzzyxyzxxxz

zzzyyzyyxzxy

zyzxyyyxxyxx

zz

2 yz

2 xz

2 zy

2 yy

2 xy

2 zx

2 yx

2 xx

ik

kj

ji

kk

jj

ii

(5.24)

Dla wyznaczenia po"o enia uk"adu wspó"rz$dnych x y z, , wzgl$dem uk"adu x, y, z wystarczy poda# 6 wielko%ci:

a) trzy wspó"rz$dne wektora ! "r O O O Ox y z, , , b) trzy niezale ne kosinusy kierunkowe.

Obecnie wyznaczymy wspó"rz$dne wektora wodz!cego r punktu M w uk"adzie

x, y, z. Z rysunku 5.8 widzimy, e wektor wodz!cy r tego punktu mo emy zapisa#

jako sum$ dwóch wektorów:

r r r% $ O . (5.25)

docsity.com

Wektor jest wektorem "!cz!cym pocz!tki obu uk"adów wspó"rz$dnych.

Zapiszemy go analitycznie w uk"adzie wspó"rz$dnych x, y, z:

r O

r i jk% $ $O O O Ox y z . (5.26)

Wektor jest wektorem wodz!cym punktu M w uk"adzie r x y z, , . Mo na go wyrazi# za pomoc! wspó"rz$dnych w tym uk"adzie:

% $ $ r i jx y z k . (5.27)

Po podstawieniu wzorów (5.26) i (5.27) do równania (5.25) otrzymamy:

r r r i j k i j k% $ % $ $ $ $ $ O O O Ox y z x y z . (5.28)

Po zrzutowaniu powy szego wektora na osie uk"adu wspó"rz$dnych x, y, z oraz

wykorzystaniu zale no%ci (b) otrzymamy jego wspó"rz$dne w tym uk"adzie

wspó"rz$dnych:

& '

& (

)

$ $ $%#%

$ $ $%#%

$ $ $%#%

.pzpypxzz

,pzpypxyy

,pzpypxxx

zzzyzxO

yzyyyxO

xzxyxxO

kr

jr

ir

(5.29)

W podobny sposób mo na wyrazi# wspó"rz$dne wektora r w uk"adzie

. x y z, , Analogicznie mo na zapisa# dowolny wektor c dany w jednym uk"adzie

wspó"rz$dnych w drugim.

docsity.com

5.3.2. Pr dko!" i przy!pieszenie dowolnego punktu bry#y w ruchu

ogólnym

Dla rozpatrzenia kinematyki bry y przyjmiemy, tak jak w poprzednim punkcie,

dwa uk ady wspó rz!dnych prostok"tnych: jeden nieruchomy o osiach x, y, z i

pocz"tku w punkcie O, a drugi o osiach x y z, , i pocz"tku w dowolnym punkcie

(biegunie) , poruszaj"cy si! razem z bry " (rys. 5.8). O

Wektor wodz"cy dowolnego punktu M bry y w nieruchomym uk adzie

wspó rz!dnych x, y, z jest zgodnie ze wzorem (5.25) sum" dwóch wektorów

,których znaczenie omówiono w p. 5.3.1: r r O i

r r r! " O .

Wiadomo z kinematyki punktu, #e pr!dko$% punktu jest pochodn" wektora

wodz"cego r wzgl!dem czasu t (wzór 5.4). Zatem szukan" pr!dko$% punktu M

wyra#a zale#no$%:

v r r

! " d d

d t

O

d t . (5.30)

Pochodna wektora r wzgl!dem czasu jest pr!dko$ci" punktu O O :

v r

i j ! ! " "O

O O O Od

dt

dx

dt

dy

dt

dz

dt k . (a)

Po zró niczkowaniu wzgl!dem czasu wzoru (5.27) otrzymamy:

d

dt

dx

dt

dy

dt

dz

dt x

d

dt y

d

dt z

d

dt

!

"

"

"

"

"

r i j k

i j k . (b)

Poniewa wektor jest wektorem "#cz#cym dwa punkty bry"y sztywnej, wi!c

jego modu" jest sta"y,

r

!r const , a co za tym idzie, jego wspó"rz!dne s#

wielko$ciami sta"ymi niezale nymi od czasu. Zatem ich pochodne wzgl!dem czasu

s# równe zeru.

x y z, ,

dx

dt

dy

dt

dz

dt

!

!

! 0 .

Wzór (b) przyjmuje wi!c posta%:

d

dt x

d

dt y

d

dt z

d

dt

!

"

"

r i j k . (c)

docsity.com

Wyst!puj#ce w tym wzorze pochodne wzgl!dem czasu wersorów i j k, , uk"adu

ruchomego s# miar# zmiany ich kierunków w czasie, poniewa ich modu"y s# sta"e.

Mo na wykaza% [9], e pochodne te mo na wyrazi% za pomoc# wzorów:

k k

j j

i i

#!

#!

#!

td

d ,

td

d ,

td

d . (5.31)

Wektor $ jest pr!dko$ci# k#tow# charakteryzuj#c# zmiany kierunków osi

w czasie. W ruchomym uk"adzie wspó"rz!dnych pr!dko$% k#tow# $ mo na

wyrazi% za pomoc# wspó"rz!dnych:

zyx ,,

!$ $ $ " " x y zi j k . (d)

Po podstawieniu zale no$ci (5.31) do wzoru (c) otrzymamy:

% & % & % & % kji k j i r

" " #! # " # " # !

zyxzyx td

d & .

Wyra enie wyst!puj#ce w nawiasie, zgodnie z zale no$ci# (5.27), jest wektorem

. Zatem r

r r

#!

td

d . (e)

Po podstawieniu do wzoru (5.30) wzorów (a) i (e) otrzymujemy ostatecznie wzór

na pr!dko$% dowolnego punktu M bry"y w ruchu ogólnym.

r vv #"! O . (5.32)

Z otrzymanego wzoru wynika, e pr!dko$% dowolnego punktu M bry"y jest

równa sumie pr!dko$ci dowolnie obranego bieguna v O O , przyj!tego za

pocz#tek ruchomego uk"adu wspó"rz!dnych, oraz iloczynu wektorowego

pr!dko$ci k#towej $ i promienia wodz#cego

r #

r punktu M w ruchomym uk"adzie

wspó"rz!dnych.

Na podstawie wzoru (5.32) mo emy ponadto sformu"owa% nast!puj#ce wnioski:

a) Pr!dko$% punktu zale y od wyboru tego punktu. O

b) Pr!dko$% k#towa $ nie zale y od wyboru punktu O , lecz jedynie od zmiany

kierunków osi w czasie. x y z, ,

c) Mimo zmiany punktu O pr!dko$% punktu M nie ulegnie zmianie, poniewa

zmieni si! równie odpowiednio wyra enie r # .

docsity.com

Po zró niczkowaniu wzgl!dem czasu wzoru na pr!dko$% (5.32) otrzymamy

przy$pieszenie punktu M:

td

d

td

d

td

d

td

d O r r

vv a

#" #"!! . (f)

Po oznaczeniu przy$pieszenia pocz#tku O ruchomego uk"adu wspó"rz!dnych

przez

a v

!O

Od

dt (g)

oraz przy$pieszenia k#towego przez

td

d ! ! (h)

i wykorzystaniu wzoru (e) wzór (f) przyjmie ko&cow# posta%:

% &r r!aa ##" #"! O . (5.33)

Wzór ten mo na przedstawi% w nieco innej postaci po rozpisaniu wyst!puj#cego

w nim podwójnego iloczynu wektorowego zgodnie z zale no$ci# (2.34):

% &r r!aa '" #"! O r ( 2

' . (5.34)

Ze wzorów na pr!dko$% (5.32) i przy$pieszenie (5.33) wynika, e aby

wyznaczy% pr!dko$% i przy$pieszenie dowolnego punktu M bry"y, nale y zna%

cztery wielko$ci wektorowe charakteryzuj#ce ruch ogólny bry"y:

a) pr!dko$% i przy$pieszenie a jednego z punktów bry"y (bieguna), v O O O

b) pr!dko$% k#tow# $ i przy$pieszenie k#towe bry"y ).

Wyprowadzone w tym punkcie wzory na pr!dko$% i przy$pieszenie dowolnego

punktu bry"y w ruchu ogólnym wykorzystamy przy omawianiu w nast!pnych

punktach tego rozdzia"u szczególnych przypadków ruchu ogólnego bry"y, czyli

post!powego, obrotowego, $rubowego, p"askiego i kulistego.

docsity.com

5.3.3. Ruch post powy

Ruch bry y sztywnej nazywamy post!powym, je"eli dowolna prosta sztywno

zwi#zana z bry # pozostaje w czasie ruchu stale równoleg a do po o"enia

pocz#tkowego.

Z powy szej definicji wynika, e ka da z osi uk!adu wspó!rz"dnych

przedstawionego na rys. 5.8 b"dzie mia!a w ruchu post"powym ten sam kierunek.

Podobnie wektor nie zmieni w czasie ruchu swojego kierunku, zatem

b"dzie on wektorem sta!ym niezale nym od czasu:

x y z, ,

! r O M

const,! r wi"c jego pochodna

we wzorze (5.30) b"dzie równa zeru. St#d pr"dko$% dowolnego punktu bry!y

wyra a zale no$%:

v r

v! ! d

dt

O O . (5.35)

Po zró niczkowaniu tego wzoru otrzymujemy przy$pieszenie.

a r v

a! ! ! d

dt

d

dt

O O O

2

2 . (5.36)

Ze wzorów (5.35) i (5.36) oraz definicji ruchu post"powego wynikaj#

nast"puj#ce wnioski:

a) Wszystkie punkty bry!y sztywnej w ruchu post"powym maj# te same

pr"dko$ci i przy$pieszenia w tej samej chwili czasu. v O a O b) Tory wszystkich punktów bry!y maj# ten sam kszta!t.

c) Dla opisu ruchu post"powego bry!y wystarczy poda% równanie ruchu jednego

punktu bry!y, np. pocz#tku ruchomego uk!adu wspó!rz"dnych O´, " #r r !O O t .

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome