Całki funkcji elementarnych - Notatki - Analiza matematyczna - Część 3, Notatki'z Analiza matematyczna. Warsaw School of Economics
Elzbieta84
Elzbieta8425 March 2013

Całki funkcji elementarnych - Notatki - Analiza matematyczna - Część 3, Notatki'z Analiza matematyczna. Warsaw School of Economics

PDF (289.3 KB)
8 strona
488Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach przedstawiane zostają zagadnienia z analizy matematycznej: całki funkcji elementarnych. Część 3.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 8
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 25/32

Przykład g) [jak... nawet chyba nie muszę brzydko mówić, co]

e x

e2 x1 dx

Hmm... znowu spróbujemy pozbyć się tych śmieci z mianownika, stosując takie podstawienie:

t=e2 x1

Jebiąc obustronnie pochodne:

dt=2e2x dx

Oj, widzimy, że z tego podstawienia nic nie wyjdzie (bo będziemy mieć problem z zastąpieniem dx ). To może spróbujmy inaczej zapisać ten przykład:

e x

e2 x1 dx=∫ e

x dx ex 21

Hmm... pomijając e x, jesteśmy całkiem niedaleko wzorku na arcus tangens, przypomnę:

dx x21

=arctg x

Spróbujmy więc użyć takiego podstawienia:

t=e x *

Różniczkując: dt=ex dx **

No i teraz jesteśmy w domu:

e x dx

ex 21 =∫ dt

t 21

Całkując: = arctg tC

Wracając do iksów, ostateczne rozwiązanie:

e x

e2 x1 dx=arctg exC

Przykład h) [jak np. Herby]

∫ 5sin x dx3−2cos x

Tutaj pierwszy i ostatni przykład całkowania funkcji trygonometrycznych. Po rozwiązaniu

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 26/32

podam pewną ciekawostkę, my jednak zajmijmy się rozwiązaniem właśnie tego przykładu. Możemy użyć (by pozbyć się sinusa z licznika, a i przejść z pieprzonych funkcji trygonometrycznych na jakieś inne potworki) takiego podstawienia:

t=cos x *

Wiadomo, co: dt=−sin x dx **

Trochę zamieszamy w przykładzie, zanim podstawimy (po prostu, stworzymy minusa przed sinusem):

∫ 5sin x dx3−2cos x=−5∫ −sin x dx 3−2cos x

Czyńmy swoją powinność:

=−5∫ dt3−2 t

Jesteśmy blisko logarytmu naturalnego, więc zróbmy wszystko, by szybko scałkować i skończyć:

= 5 2∫

−2 dt 3−2 t

Całkując:

= 5 2

ln |3−2 t |C

Więc i nasz wynik tej groźnie wyglądającej całki:

∫ 5sin x dx3−2cos x= 5 2

ln |3−2cos x |C

W przypadku całek z funkcji trygonometrycznych, których nikt nie lubi, możemy zastosować pewne podstawienie, zwane podstawieniem uniwersalnym – bo idealnie nadaje się na wszelkie całki z funkcji trygonometrycznych. Ta funkcja pod całką automagicznie zmieni się w ułamek jakiegoś wielomianu przez jakiś wielomian (czyli funkcję wymierną).

W takim podstawieniu zaczyna się od takiego dziwnego założenia i podstawienia:

t=tg x 2

Z funkcji odwrotnej itp. wyłazi wzorek na zastąpienie dx:

dx= 2dt 1t2

*

Wyliczono również, czym należy zastąpić sinusa:

sin x= 2 t 1 t2

**

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 27/32

Jak i również cosinusa:

cos x=1−t 2

1t 2 ***

Wystarczy znajomość tych trzech wzorków, by poradzić sobie z najbardziej potworną całką z funkcji trygonometrycznych. Zamieniamy ją sobie na całkę z funkcji wymiernej, którą da się policzyć już bez zaglądania w tablice trygonometryczne.

Ja jednak (ze względu na moje, przyznam się szczerze, braki w zagadnieniach z funkcji wymiernej, do czego się przyznałem) takich nie będę przedstawiać w tym bryku, powyższe wzorki należy uznać za ciekawostkę do zastosowania w sytuacji podbramkowej, przynajmniej może punkt będzie.

Przykład i) [jak np.jestem Idiotą]

dx4 xx2

Obliczenie powyższej całki na pierwszy, drugi i trzeci rzut oka jest... no, nawet powiedziałbym, że w chuj trudne. Przyznam szczerze, że to chyba najżmudniejszy przykład z tych, które znalazłem, więc tutaj proszę szczególnie powoli śledzić przebieg zdarzeń.

Zauważmy, że np. podstawienie: t=x2

nic nie da, bo trudno będzie się pozbyć dx.

Przede wszystkim, sprawia nam niezły problem ta czwórka razem z iksem. Gdyby można się tego iksa jakoś pozbyć, to wtedy łatwiej byłoby zakombinować i otrzymać coś, z czego później można uzyskać arcusa sinusa – przypomnę:

dx1−x2 =arcsin x

Więc, jak można zauważyć, problem właściwie rozwiązałby się (liczyliśmy już taką całkę), gdyby zamiast:

dx4 xx2

tu siedział x 2 i potem normalna liczba, ewentualnie (x plus/minus jakaś liczba) 2 . Wtedy – wzorując się na przykładzie c) – moglibyśmy wyliczyć tą całkę.

To, co siedzi pod pierwiastkiem: 4 xx2=−x24 x

jest funkcją kwadratową.

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 28/32

Ale istnieje sposób na zapis takiej funkcji, używając tylko jednego iksa.

Każdą funkcję kwadratową można zapisać w postaci kanonicznej. Przypomnę wzorek:

a xb 2a

 2

delta 4a

gdzie a i b – to współczynniki przy iksach, a delta – wiadomo.

W takim razie tą naszą funkcję: −x24 x

możemy se zapisać w takiej postaci: =−x−224

Okej, wykorzystajmy tą wiadomość, ale na razie zajmując się samym mianownikiem naszej całki: 4 xx2

Podstawmy tą dziwnawą postać tej funkcji z środka: = −x−224

Hmm... wyłączmy czwórkę przed nawias (jednocześnie zmieniając kolejność, dodawanie, więc mogę):

= 41−x−224  Wiedząc, że jeżeli mamy pod pierwiastkiem mnożenie, to mogę całego pierwiastka rozpieprzyć na

dwa, to:

= 4∗1− x−224 =2∗1− x−224 Podobnie jak w przykładzie c) – wrzućmy tą czwórkę „pod kwadrat”:

= 2∗1− x−22 2 Wróćmy z tym całym majdanem do całki:

dx4 xx2 =∫ dx

2∗1− x−22 2 I by więcej aż takich dziwnych rzeczy nie było – połówka wypierdala przed całkę... albo nawet nie

– do licznika:

=∫ 1 2

dx

1− x−22 2 Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 29/32

Dopiero w tym miejscu zastosujemy podstawienie:

t= x−2 2 *

Po zróżniczkowaniu:

dt=1 2

dx **

Stosując powyższe podstawienia, otrzymujemy bardzo ładną całkę do przeliczenia:

∫ 1 2

dx

1− x−22 2 =∫ dt1−t 2

Wykorzystując to, co sobie na początku przykładu zapisaliśmy, wiemy, że:

dt 1−t 2

=arcsin t

I „odpowiadstawiając”, kończymy z przytupem rozwiązywać ten pojebany przykład:

dx4 xx2 =arcsin x−2

2 C

Jak widzimy, przykład idealny na kolokwia – od razu można poznać, czy delikwent rozwiązywał zadania, bo przyznacie sami, że jest dosyć ciężkawy, wymaga sięgnięcia aż do własności funkcji kwadratowej, poza tym – nietrudno o pomyłkę. Mnie samemu pierwsza próba rozwiązania tego przykładu zajęła 5 stron A4 (!), co tylko dowiodło, że z całości matematyki raczej dupa jestem, jeżeli chodzi o wzory... a o resztę także.

Przykład j) [jak np. Jaskrów]

x 3 dx

x−1100

Przykład ciekawy i podobny do przykładu f) . Można go rozwiązać na miliony sposobów, my spróbujemy trochę ten przykład rozbić na mniejsze problemy.

Możemy licznik zapisać w takiej postaci (a żeby było ładnie i cacy z mianownikiem):

=∫ [x−11] 3 dx

x−1100

Wartość pod potęgą nie zmieniła się, więc nic złego się nie stało.

Teraz, stosując wzór na sześcian sumy (przykład f):

=∫ x−1 33x−123x−11

x−1100 dx

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 30/32

Również jak już w cytowanym przykładzie, rozbijmy sobie ten wielki ułamek na mniejsze, jednocześnie już skracając w nich (x – 1):

=∫ [ 1 x−197

 3 x−198

 3  x−199

 1 x−1100

]dx

Rozbijając na cztery całki i wypieprzając stałe przed wężyki, dostaniemy dosyć osobliwe przykładziki:

=∫ dx x−197

3∫ dx x−198

3∫ dx x−199

∫ dx x−1100

Zastosujemy dopiero teraz podstawienie: t=x−1 *

Licząc to, co trzeba: dt=dx **

O, bardzo ładnie – pozbędziemy się niepotrzebnych minusów pod potęgą, a ten „wskaźnik” sam się ustawi na interesującą nas zmienną:

=∫ dt t 97 3∫ dt

t98 3∫ dt

t 99 ∫ dt

t 100

Już „przygotowując” tego zawodnika (a właściwie – zawodników) do bezpośredniego zastosowania wzora z tablic:

=∫ t−97dt3∫ t−98dt3∫ t−99dt∫ t −100dt

co też uczynimy:

= t −96

−96 3 t

−97

−97 3 t

−98

−98  t

−99 

−99

I pomijając wszelkie kosmetyczne poprawki w wyglądzie (poza wyłączeniem minusa przed wszystko), „odpodstawiając” otrzymujemy:

x 3 dx

x−1100 =−[ x−1

−96

96 3 x−1

−97

97 3  x−1

−98

98  x−1

−99

99 ]C

Oj, koszmarny wygląd, ale ostatecznie wyliczyliśmy tę źle wyglądającą z początku całkę. Zazwyczaj, gdy gdzieś się trafi taka niebanalna potęga (coś do potęgi 50, 100 itp.), to zazwyczaj trzeba trochę pokombinować, pogmatwać, a potem już dojdziemy do momentu, w którym podobny przykład już rozwiązywaliśmy.

Ostatni przykład będzie takim symbolicznym ukoronowaniem tego bryku, gdyż zastosujemy tutaj również całkowanie przez części.

Przykład k) [jak np. Konopiska]

x3 e x 2dx

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 31/32

Zazwyczaj przy całce z e to jakiejś potęgi, podczas gdy ta potęga jest jeszcze bardziej zwyżkująca stosujemy takie triki, by uzyskać e jakaś ładna liczba albo literka . Zauważmy, że także i tutaj trudno użyć od

razu podstawienia:

t=x2

bo co później zrobić z dx?

Hmm... nie, zaraz, czekaj, gdyby inkasenta zapisać w ten sposób:

x2 e x 2∗x dx

O, już coś lepszego, więc chwytamy byka za rogi: t=x2 *

i go różniczkujemy... Boże, co za żałosny kujon to wszystko pisze: dt=2 x dx

Tutaj już nawet oszczędzimy sobie mieszanie w całce przed podstawieniem, po prostu przekształcając powyższe równanie:

dt 2 x

=dx **

Podstawmy, zauważając, że już od razuten „wolny” iks się skróci z tym z **):

x2 e x 2∗x dx=∫ t e t  12 dt

Pół – wypierdalać:

= 1 2∫ t e

t dt

Powyższą całkę obliczymy – tak dla ładnego skończenia tego nudnego bryku – metodą całkowania przez części. Dlatego wygospodarujemy sobie kawałek kartki dla tej niby tabelki:

f x =t g ' x =e t

f ' x=1 g x=et

Co da nam takie cuda:

= 1 2  t e t−∫ et dt

Ale całkę z tak prostej postaci liczby e znamy: = 1

2  t e tet

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 32/32

Wyłączając e t przed nawias:

= 1 2

e tt−1

I „odpodstawiając, otrzymujemy ostateczne rozwiązanie ostatniego przykładu z tej strony, i z tego bryku:

x3 e x 2dx= e

x2x2−1 2

C

No, koniec, bomba, kto czytał, ten trąba.

I takim to oto sposobem, rozwiązując kilkanaście przykładów, doszliśmy do dosyć niezłej wprawy... Hmm, właściwie powinienem napisać „do niezłych” początków, bo jak wiele razy zaznaczałem – ten bryk ma Was zachęcić do zadań (ta, jasne, mnie już zniechęcił), byście nie przestraszyli się dziwnych przykładów, bo te wyglądają tak na pierwszy rzut oka.

A nawet jak na kolokwium czy egzaminie nie idzie, to chociaż napiszcie coś – dla szczęścia w nieszczęściu, to nie wy musicie sprawdzać sto prac w dwa dni, a może kilka punktów zyskacie.

Mówiąc poważniej, mam nadzieję, że powyższa pomoc chociaż odrobinkę wyjaśniła podstawy całkowania. Bo pominąłem choćby całki z funkcji wymiernych czy trygonometrycznych, ale te – na szczęście – są wyjaśnione w wielu podręcznikach do analizy.

Autorów na pewno nie nudzących tak, jak ja.

pj poap[at]interia.pl

Linki do innych pomocy (być może naukowych): http://www.poap.yoyo.pl/matd/

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome