Zasada zachowania pędu - Notatki - Fizyka - Część 1, Notatki'z Fizyka. Warsaw University of Technology
alien85
alien8514 March 2013

Zasada zachowania pędu - Notatki - Fizyka - Część 1, Notatki'z Fizyka. Warsaw University of Technology

PDF (433.3 KB)
7 strona
470Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z fizyki: zasada zachowania pędu środek masy, ruch środka masy, pęd układu punktów materialnych
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 7
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Wyk³ad 9

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 9

9. Zasada zachowania pędu

9.1 Środek masy

Dotychczas przedmioty traktowaliśmy jak punkty materialne, tzn. cząsteczki bez- wymiarowe (objętość = 0) obdarzone masą co wystarczało w przypadku ruchu postę- powego bo ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała. W ogólnym przypadku ruch układu cząsteczek może być bardzo skomplikowany np. • ciało może wirować lub drgać. • w trakcie ruchu cząsteczki mogą zmieniać swoje wzajemne położenie. Przykład ciała wirującego jest pokazany na rysunku poniżej.

Zauważmy, że istnieje w tym układzie jeden punkt, który porusza się po linii prostej

ze stałą prędkością. Żaden inny punkt nie porusza się w ten sposób. Ten punkt to środek masy. Zajmiemy się ruchem tego punktu. Zacznijmy od przypomnienia pojęcia średniej ważonej. W tym celu rozważmy prosty układ, w którym mamy do czynienia z dwoma skrzynkami zawierającymi np. jabłka o różnej masie. W jednej mamy n1 jabłek, każde o masie m1, w drugiej n2, każde o ma- sie m2. Spróbujmy policzyć jaka jest średnia masa jabłka.

2 21

2 1

21

1 śred. mnn

nm nn

nm +

+ +

=

czyli

21

2211 śred. nn

mnmnm + +

=

To jest średnia ważona (wagami są ułamki ilości jabłek w skrzynce). Uwzględniamy w ten sposób fakt, że liczby jabłek nie są równe.

Natomiast środek masy jest po prostu średnim położeniem przy czym masa jest czyn- nikiem ważącym przy tworzeniu średniej. Np. dla dwóch różnych mas m1 i m2

9-1

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

xœrm

m1 m2

x1 x2

x

y

2 21

2 1

21

1 x mm

mx mm

mxśrm + +

+ =

czyli

21

2211

mm xmxmxśrm +

+ =

Dla n mas leżących wzdłuż linii prostej otrzymamy

=

== +++ +++

= n

i i

n

i ii

n

nn śrm

m

xm

mmm xmxmxmx

1

1

21

2211

..... .....

ponieważ suma jest całkowitą masą układu to możemy zapisać Mm n

i i =∑

=1

∑ =

= n

i iiśrm xmMx

1

Gdyby punkty nie leżały na jednej prostej to wówczas środek masy znajdziemy postę- pując dla każdej ze współrzędnych analogicznie jak powyżej. Otrzymamy więc

=

== +++ +++

= n

i i

n

i ii

n

nn śrm

m

xm

mmm xmxmxmx

1

1

21

2211

..... .....

oraz

=

== +++ +++

= n

i i

n

i ii

n

nn śrm

m

ym

mmm ymymym

y

1

1

21

2211

..... .....

9-2

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Zwróćmy uwagę, że układ dwóch równań skalarnych można zastąpić przez jedno zwię- złe równanie wektorowe

M

m n

i ii

śrm

∑ == 1

r r (9.1)

Uogólnienie na trzy wymiary jest automatyczne. Zauważmy, że środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia (nie zależy od wyboru układu odniesie- nia). Przykład 1 Znaleźć środek masy układu trzech cząstek o masach m1 = 1kg, m2 = 2kg i m3 = 3kg, umieszczonych w rogach równobocznego trójkąta o boku 1m. Ponieważ wynik nie zależy od wyboru układu odniesienia to możemy przyjąć układ tak jak na rysunku.

m1 m2 x

m3 3

2

½

xśrm = (m1x1 + m2x2 + m3x3)/M = (1kg·0m + 2kg·1m + 3kg·0.5m)/6kg = 7/12m

yśrm = (m1y1 + m2y2 + m3y3)/M = (1kg·0m + 2kg·0m+3kg· 3

2 m)/6kg = 3

4 m

Uwaga: położenie środka masy nie pokrywa się z geometrycznym środkiem. Przedyskutujmy teraz fizyczne znaczenie środka masy.

9.2 Ruch środka masy

Rozważmy układ punktów materialnych o masach m1, m2, m3 ..., mn i o stałej cał- kowitej masie M. Na podstawie równania (9.1) możemy napisać

Mrśrm = m1r1 + m2r2 +.......+ mnrn gdzie rśrm jest środkiem masy w określonym układzie odniesienia. Różniczkując (wzglę- dem czasu) powyższe równanie otrzymamy

t m

t m

t m

t M nn

śrm

d d

...... d d

d d

d d 2

2 1

1 rrrr

+++=

9-3

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

lub Mvśrm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn

Jeżeli ponownie zróżniczkujemy otrzymane powyżej równanie to otrzymamy

t m

t m

t m

t M nn

śrm

d d

...... d

d d

d d

d 2 2

1 1

vvvv +++=

lub Maśrm = m1a1 + m2a2 + .......+ mnan

czyli

Maśrm = F1 + F2 + ...........+ Fn Wobec tego możemy napisać Maśrm = Fzew (9.2) Z równania (9.2) wynika, że środek masy układu punktów materialnych porusza się w taki sposób, jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały. To twierdzenie obowiązuje dla każdego układu punktów materialnych. • Układ może być ciałem sztywnym (punkty mają stałe położenia względem siebie). Wtedy przy obliczeniach środka masy sumowanie zastępujemy całkowaniem. • Układ może być zbiorem cząsteczek, w którym występują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego. Uwaga: Gdy siłą zewnętrzną jest siła ciężkości to wtedy działa ona na środek ciężkości. W roz- ważanych przypadkach te dwa środki się pokrywają. Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne np. do obliczania energii kinetycznej. Ob- liczmy Ek mierzone w układzie środka masy.

2 )()(

2 ,,

, ∑∑ ++== wzgiśrmwzgiśrmiicalkowitak

mm E

vvvv2iv

gdzie vwzgl jest prędkością mierzoną w układzie środka masy. Wykonując mnożenie skalarne otrzymamy

∑ ∑∑ ++= 22 2 ,

, 2

, wzgii

wzgiiśrmśrm i

calkowitak

m m

m E

v vvv

Ponieważ (jak pokazaliśmy wcześniej) wyraz drugi równa się iloczynowi M razy pręd- kość środka masy (Mvśrm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn). W układzie środka masy, w któ- rym mierzymy, vśrm = 0 więc drugi wyraz znika. Zatem

' 2

2 k śrm

kcalkowita E M

E += v

9-4

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

gdzie Ek' jest energią kinetyczną mierzoną w układzie środka masy. Dla ciał sztywnych to równanie przyjmuje postać

' 2

2 rot śrm

kcalkowita E M

E += v

gdyż w układzie środka masy ciało sztywne może mieć tylko energię rotacyjną (obro- tową). Przykład 2

Obręcz o masie m toczy się po płaszczyźnie tak, że środek obręczy ma prędkość v.

v

Jaka jest energia kinetyczna obręczy ?

22

2 ,

2 wzgrot

kcalkowita

mmE vv

+=

gdzie vrot,wzg to prędkość obręczy w układzie środka masy. Ponieważ obserwator w układzie środka masy widzi obręcz obracającą się z prędkością v więc vrot,wzg = v. Stąd

2 22

22 vvv mmmEkcalkowita =+=

Zauważmy, że obręcz ma energię dwa razy większą od ciała o masie m poruszającego się z tą samą prędkością v (ale nie obracającego się).

9.3 Pęd układu punktów materialnych

Zdefiniowaliśmy już pęd punktu materialnego jako iloczyn jego masy m i prędkości v. Pokazaliśmy również, że II zasada dynamiki Newtona ma postać

td dpF =

Przypuśćmy jednak, że zamiast pojedynczego punktu mamy do czynienia z układem n punktów materialnych o masach m1, ......, mn. Zakładamy, że masa układu (M) pozostaje stała. Każdy punkt będzie miał pewną prędkość i pewien pęd. Układ jako całość będzie miał całkowity pęd P w określonym układzie odniesienia będący sumą geometryczną pędów poszczególnych punktów w tym układzie odniesienia

9-5

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

P =p1 + p2 + ......... + pn

Jeżeli porównamy tę zależność z równaniem

Mvśrm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn to otrzymujemy

P = Mvśrm Treść tego równania można wyrazić następująco: Całkowity pęd układu punktów mate- rialnych jest równy iloczynowi całkowitej masy układu i prędkości jego środka masy. Ponieważ Fzew = Maśrm, to II zasada dynamiki Newtona dla układu punktów material- nych przyjmuje postać

tzew d

dPF = (9.3)

bo

srm srm M t

M t

aP == d

d d d v

9.4 Zasada zachowania pędu

Przypuśćmy, że suma sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru. Wtedy na podstawie równania (9.3)

.constalbo0 d d

== PP t

Zasada zachowania pędu: Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, całkowity wektor pędu układu pozostaje stały. Zobaczymy jak ta zasada stosuje się do różnych sytuacji fizycznych. Omówimy teraz pojęcie sił zewnętrznych dla danego układu - jak wybrać układ i jak stosować zasadę zachowania pędu. Przykład 3

Rozważmy dwa ciała o masach mA i mB połączone nieważką sprężyną umieszczone na doskonale gładkim stole. Odciągamy od siebie te ciała na pewną odległość, a następ- nie puszczamy swobodnie (rysunek).

Spróbujmy opisać ruch tych ciał.

Najpierw ustalamy z czego składa się rozważany układ. Przyjmujemy, że tworzą go obie masy + sprężyna. Jeżeli tak to nie działa żadna siła zewnętrzna (działają siły po-

9-6

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

między elementami układu czyli siły wewnętrzne). Możemy teraz zastosować zasadę zachowania pędu. Przed zwolnieniem ciał pęd układu (w odniesieniu do stołu) był rów- ny zeru. I taki pozostaje po ich zwolnieniu. Chociaż ciała poruszają się ich pęd może być równy zeru, ponieważ pęd będący wielkością wektorową jest sumą dodatniego pę- du ciała A (porusza się w kierunku +x) i ujemnego pędu ciała B (porusza się w kierunku -x). Z zasady zachowania pędu

pęd początkowy = pęd końcowy

0 = mAvA + mBvB Zatem

mBvB = - mAvA lub

vA = – mBvB/mA Np. gdy mA = 2kg i mB = 1kg to vA jest równa połowie vB i ma zwrot przeciwny. Przykład 4 Ta sama zasada obowiązuje w fizyce jądrowej i atomowej. Jako przykład rozpatrzmy rozpad promieniotwórczy. Cząstka α (jądro atomu helu) emitowana jest z prędkością 1.4·107 m/s i z energią kinetyczną 4.1 MeV przez jądro uranu 238, pozostające począt- kowo w spoczynku. Znaleźć prędkość odrzutu powstałego jądra toru 234. Jako układ rozpatrujemy jądro toru 234 + cząstkę α (przed rozpadem po prostu jądro uranu 238). Ze względu na nieobecność sił zewnętrznych pęd układu, który przed roz- padem był równy zeru po rozpadzie pozostaje niezmieniony.

pęd początkowy = pęd końcowy

0 = Mαvα + MThvTh więc

vTh = - Mαvα/MTh = - 4·1.4·107/234 = -2.4·105 m/s

9-7

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome