Zagadnienia na egzamin, cała teoria - Egzamin - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Zagadnienia na egzamin, cała teoria - Egzamin - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok

PDF (77.4 KB)
1 strona
689Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii miary i całki: zagadnienia na egzamin, cała teoria.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Teoria miary i caªki

Zagadnienia na egzamin 10.02.2012

1. Wady caªki Riemanna.

2. Struktury na rodzinach zbiorów: pier±cienie, algebry, σ-pier±cienie, σ-algebry oraz póªpier±cienie (zwi¡zki mi¦dzy nimi i przykªady).

3. Struktury rodzin generowanych: istnienie i denicja pier±cieni, algebr, σ-pier±cieni i σ-algebr generowa- nych przez rodziny zbiorów, posta¢ pier±cienia generowanego przez póªpier±cie«.

4. Miara: denicja i przykªady, monotoniczno±¢ miary, przedªu»anie miary z póªpier±cienia na pier±cie«.

5. Miary σ-addytywne: σ-addytywno±¢, σ-subaddytywno±¢, ci¡gªo±¢ (kryterium σ-addytywno±ci), σ-addy- tywno±¢ dªugo±ci.

6. Lebesguesowskie przedªu»enie miary, krok 1 (miara zewn¦trzna): denicja miary zewn¦trznej µ∗ i rola σ-addytywno±ci µ, σ-subaddytywno±¢ µ∗, póªmetryka zadana przez µ∗.

7. Lebesguesowskie przedªu»enie miary, krok 2 (zbiory mierzalne): denicja i kryterium mierzalno±ci zbioru,

algebra zbiorów mierzalnych, zbiory miary zero i miary zupeªne.

8. Lebesguesowskie przedªu»enie miary, krok 3: addytywno±¢ i σ-addytywno±¢ miary zewn¦trznej na al- gebrze zbiorów mierzalnych, denicja, podstawowe wªasno±ci, minimalno±¢ oraz jednoznaczno±¢ miary

Lebesgue'a.

9. Przedªu»anie miar z pier±cienia - miary σ-sko«czone i niesko«czone: konstrukcja lebesguesowskiego prze- dªu»enia miar σ-sko«czonych, deifnicje miary σ-sko«czonych i niesko«czonych.

10. Miara Lebesgue'a na prostej: przykªady zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a, zbiór Cantora i jego

wªasno±ci, zbiory otwarte i g¦ste, przykªad zbioru niemierzalnego.

11. Miary Lebesgue'a-Stieltjesa: charakteryzacja miar σ-addytywnych na póªpierscieniu odcinków póªotwar- tych, denicja miary Lebesgue'a-Stieltjesa.

12. Miary Lebesgue'a-Stieltjesa absolutnie ci¡gªe wzgl¦dem miary Lebesgue'a: denicja i przykªady funkcji

absolutnie ci¡gªych, denicja i charakteryzacja miar absolutnie ci¡gªych, kryterium absolutnej ci¡gªo±ci

miar Lebesgue'a-Stieltjesa wzgl¦dem miary Lebesgue'a.

13. Miary znakowe (ªadunki), rozkªad Hahna-Jordana: denicja i przykªady, Tw. Hahna o rozkªadzie dzie-

dziny ªadunku (bez dowodu), Tw. Jordana o rozkªadzie ªadunku na ró»nic¦ miar.

14. Konstrukcja caªki Lebesgue'a dla funkcji ograniczonych.

15. Funkcje mierzalne: charakteryzacje mierzalno±ci, przykªady.

16. Ró»ne rodzaje zbie»no±ci:zbie»no±¢ punktowa, jednostajna, prawie wsz¦dzie, wedªug miary oraz relacje

mi¦dzy nimi (m.in. Tw. Jegorowa, Riesza, w¦druj¡cy garb).

17. Caªka Lebesgue'a, konstrukcja ogólna i podstawowe wªasno±ci.

18. Twierdzenia o przej±ciu z granic¡ pod znak caªki: absolutna ci¡gªo±¢ i σ-addytywno±¢ caªki jako funkcji zbioru, tw. Lebesgue'a o zbie»no±ci zmajoryzowanej, tw. Leviego o zbie»no±ci monotonicznej i jego

zastosowania, lemat Fatou (tw. Fatou-Lebesgue'a).

19. Caªka Lebesgue'a dla miar niesko«czonych: denicja dla miar σ-niesko«czonych oraz konstrukcja (po- przez tzw. stopniow¡ komplikacj¦) dla miar niesko«czonych.

20. Twierdzenie Radona-Nikodyma: charakteryzacje ªadunków absolutnie ci¡gªych wzgl¦dem miary, liniowa

niezale»no±¢ przestrzeni ªadunków absolutnie ci¡gªych i osobliwych, twierdzenie Radona-Nikodyma.

21. Zastosowania twierdzenia Radona-Nikodyma: wzór Newtona-Leibniza, zwi¡zek mi¦dzy caªkami wzgl¦-

dem róznych miar, zamiana zmiennych w caªce (w tym cofni¦cia miary i abstrakcyjne twierdzenie o

zamianie zmiennych).

22. Miary produktowe: konstrukcja i caªkowanie wzgl¦dem miar produktowych - Twierdzenie Fubieniego-

Tonellego.

23. Przestrzenie funkcji mierzalnych i caªkowalnych: przestrzenie liniowo-topologiczne i przestrzenie ze zbie»-

no±ci¡; zbie»no±¢ punktowa, jednostajna, prawie wsz¦dzie, wedªug miary, przestrzenie Lp i ich wªasno±ci topologiczne.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome