Drgania elektromagnetyczne - Notatki - Fizyka, Notatki'z Fizyka. Warsaw University of Technology
alien85
alien8514 March 2013

Drgania elektromagnetyczne - Notatki - Fizyka, Notatki'z Fizyka. Warsaw University of Technology

PDF (410.3 KB)
7 strona
419Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z fizyki: drgania elektromagnetyczne, rezonans.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 7
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Wyk³ad 24.

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 24

24. Drgania elektromagnetyczne

24.1 Wstęp

Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu

kx t xM −=2

2

d d

Rozwiązania

x = Acosωt

v = dx/dt = Aωsinωt

a = d2x/dt2 = – Aω2cosωt przy warunku ω = (k/M)1/2.

24.2 Obwód LC

Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L i pojemności C. Opór omowy jest równy zeru (R = 0). Załóżmy, że w chwili początkowej na kondensatorze C jest nagromadzony ładunek qm, a prąd przez cewkę jest równy zeru. Energia zawarta w kondensatorze WC = qm2/(2C) (24.1) jest maksymalna, a energia w cewce WL = LI2/2 (24.2) jest równa zeru. Po zamknięciu obwodu, kondensator rozładowuje się przez cewkę. W obwodzie płynie prąd I = dq/dt. W miarę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje też energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia się w cewce w miarę narastania w niej prądu. Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola magnetycznego cewki. Prąd w cewce indukcyjnej ma maksymalną wartość. Ten prąd ładuje kondensator (przeciwnie) więc energia jest ponownie przekazywana do kondensatora. Stan końcowy jest taki jak początkowy tylko kondensator jest naładowany odwrotnie. Sytuacja powtarza się. Mamy więc do czynienia z oscylacjami ładunku (prądu).

24-1

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Opis ilościowy Z prawa Kirchoffa

UL + UC = 0

0 d d

=+ C q

t IL (24.3)

Ponieważ I = dq/dt więc

C q

t qL −=2

2

d d

(24.4)

To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla sprężyny, przy czym następujące wielkości są analogiczne

q x, L M, 1/C k Tak więc możemy napisać rozwiązanie tego równania

q = qmcosωt

I = dq/dt = qmωsinωt = Imsinωt ω = (1/LC)1/2 (24.5) gdzie Im = qmω

UL = - LdI/dt = – LImωcosωt

UC = q/c = (qm/C)cosωt Ponieważ

LImω = Lqmω2 = Lqm(1/LC) = qm/C widać, że amplitudy napięć są takie same.

24.3 Obwód szeregowy RLC

Dotychczas rozważaliśmy obwód zwierający indukcyjność L oraz pojemność C. Tymczasem każdy obwód ma pewien opór R, przykładowo jest to opór drutu z którego nawinięto cewkę. Obecność oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielającego się ciepła. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do drgań tłumionych sprężyny opisanych w wykładzie 12, przy czym współczynnik tłumienia 1/2τ jest równy R/2L.

Drgania w obwodzie RLC można podtrzymać jeżeli obwód będziemy zasilać napięciem sinusoidalnie zmiennym

tUtU ωsin)( 0=

24-2

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego elementy R, L, C oraz źródło SEM ma postać

tU C qRI

t IL ωsin

d d

0=++ (24.6)

różniczkując po dt

tU C I

t IR

t IL ωω cos

d d

d d

02

2

=++ (24.7)

albo

t L U

LC I

t I

L R

t I ωω cos

d d

d d 0

2

2

=++ (24.8)

To jest równanie analogiczne do omawianego dla oscylatora wymuszonego przy R/L ↔ 1/τ, 1/LC ↔ ω02 oraz ωU0/L ↔ α0. Rozwiązanie ma więc analogiczną postać . )sin(0 ϕω −= tII Amplituda wynosi więc

2

2

0 0

1   

   −+

=

C LR

VI

ω ω

(24.9)

a między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, dana równaniem

R

C L

ω ω

ϕ

1 −

=tg (24.10)

Wyrażenie (24.9) ma postać prawa Ohma przy czym stała proporcjonalności pomiędzy U0 i I0

2

2 1   

   −+=

C LRZ

ω ω (24.11)

pełni analogiczną rolę jak opór R w prawie Ohma. Wielkość Z nazywamy impedancją(zawadą) obwodu.

Gdy zmienne sinusoidalne napięcie przyłożymy do kondensatora to C q

=U

Stąd

C I

t U

= d d

24-3

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

co dla U=U0sinωt daje

C ItU =ωω cos0

Stąd )90sin(cos 00 o+== tCUtCUI ωωωω

Widać, że prąd wyprzedza napięcie na kondensatorze o 90°. Maksymalny prąd I0 = U0/(ωC) a stała proporcjonalności 1/ωC pełniąca rolę analogiczną do oporu w obwodzie prądu stałego nazywamy reaktancją pojemnościową. XC = 1/ωC (24.12) Jeżeli generator prądu zmiennego podłączymy do cewki indukcyjnej to analogicznie można pokazać, że

)90sin(cos 00 o−=−= t L

Ut L

UI ω ω

ω ω

Prąd pozostaje za napięciem o 90°, a reaktancja indukcyjna ma wartość XL = ωL (24.12) Zauważmy, że w obwodzie RLC, pomimo połączenia szeregowego oporów omowego, pojemnościowego i indukcyjnego ich opór zastępczy (zawada) nie jest prostą sumą tych oporów. Wynika to właśnie z przesunięć fazowych. Trzeba je uwzględnić przy dodawaniu napięć.

U = UR + UC + UL czyli

U = I0Rsinωt - XCI0cosωt + XLI0cosωt (na kondensatorze U pozostaje za I, na cewce U wyprzedza I) Stąd

tXXtR I

U CL ωω cos)(sin

0

0 −+=

Mamy teraz dodać sinus i cosinus graficznie tak jak na rysunku. Możemy przy tym skorzystać z wyrażenia (24.10) według, którego tgϕ = (XL - XC)/R .Relacja ta jest pokazana na rysunku poniżej Zauważmy, ze przeciwprostokątna trójkąta na rysunku jest równa zawadzie Z = (R2 + (XL - XC)2)1/2.

24-4

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

R

(XL - XC) Z

ϕ

24.3.1 Rezonans Drgania ładunku, prądu i napięcia w obwodzie odbywają się z częstością zasilania

ω. Amplituda tych drgań zależy od ω i osiąga maksimum dla pewnej charakterystycznej wartości tej częstości. Przypomnijmy, że zjawisko to nazywamy rezonansem. Dla małego oporu R czyli dla małego tłumienia warunek rezonansu jest spełniony gdy

LC 1

0 == ωω (24.13)

Natężenie prądu osiąga wtedy wartość maksymalną równą

R

UI 00 = (24.14)

Widzimy, że natężenie prądu w obwodzie jest takie, jak gdyby nie było w nim ani pojemności ani indukcyjności, a zawada wynosiła R. Przykład Drgania wymuszone w obwodzie można także wywołać bez włączania bezpośredniego źródła SEM w postaci generatora. Przykładem może być układ RLC w obwodzie wejściowym radioodbiornika (telewizora) pokazany na rysunku poniżej. Układ ten jest zasilany sygnałem z anteny.

W układzie dostrojenie do częstotliwości danej radiostacji jest osiągane przez dobranie pojemności. W ten sposób jest spełniony warunek rezonansu dla tej częstotliwości.

24-5

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Przyjmijmy, że w pokazanym układzie R = 10 Ω, a L = 1 µH. Sprawdźmy, jaka powinna być pojemność C aby uzyskać dostrojenie odbiornika (rezonans) do stacji "Jazz Radio", która w Krakowie nadaje na częstotliwości 101 MHz? Korzystając z warunku (24.13) otrzymujemy C = 2.48 pF.

W warunkach rezonansu napięcie na kondensatorze (w obwodzie RLC) jest równe

C L

R U

CR UXIU CrezC 0

0

0 0,

1 ===

ω

Jeżeli sygnał wejściowy z anteny ma amplitudę 100 µV to napięcie na kondensatorze przy częstotliwości rezonansowej ma wartość 6.35 mV. Dla porównania napięcie na kondensatorze przy tych samych ustawieniach R, L, C i sygnale o tej samej amplitudzie ale o częstotliwości 96.0 MHz (radio "RMF") wynosi 1 mV.

24.3.2 Moc w obwodzie prądu zmiennego W obwodzie prądu przemiennego moc dana analogicznym wyrażeniem jak dla

prądu stałego )()()( tItUtP = (24.15) ale wartość jej zmienia się bo zmienne jest napięcie i natężenie prądu. Dlatego też w przypadku prądu zmiennego posługujemy się wartościami średnimi. Zgodnie z naszymi obliczeniami moc w obwodzie RLC w dowolnej chwili t wynosi

)sin(sin)()()( 00 ϕωω −== ttIUtItUtP Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów otrzymujemy

)sin2sin 2 1cos(sin)sincoscos(sinsin)( 20000 ϕωϕωϕωϕωω ttIUtttIUtP −=−=

gdzie skorzystaliśmy z relacji 22 ttt ωωω sincos =sin . Moc średnia jest więc dana wyrażeniem

)sin2sin 2 1cossin( 200 ϕωϕω ttIUP −=

Ponieważ to 122 =+ tt ωω cossin 2122 == tt ωω cossin (wykresy sinus i cosinus są takie same, jedynie przesunięte o π/2). Ponadto 0=2 tωsin bo funkcja sinus jest na przemian dodatnia i ujemna. Uwzględniając, ponadto że U0 = ZI0 oraz, że (zgodnie z rysunkiem na stronie 24-4) ZR=ϕcos otrzymujemy wyrażenie na moc średnią

22

)(cos 2

2 00000 RI

Z RIZIIUP === ϕ (24.16)

24-6

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Jak widzimy, średnia moc zależy od przesunięcia faz. Przypomnijmy, że dla prądu stałego P = I2R. Z porównania tych dwóch wyrażeń dochodzimy do wniosku, że moc średnia wydzielana przy przepływie prądu zmiennego o amplitudzie I0 jest taka sama jak prądu stałego o natężeniu

2 0II sk = (24.17)

Tę wielkość nazywamy wartością skuteczną prądu zmiennego. Analogicznie definiujemy skuteczną wartością napięcia prądu zmiennego

2 0UU sk = (24.18)

Mierniki prądu zmiennego (np. amperomierze i woltomierze) odczytują właśnie wartości skuteczne. Wartość napięcia 220 V w naszej sieci domowej to wartość skuteczna. Obliczyliśmy moc średnią wydzielaną w całym obwodzie. Porównajmy ją teraz ze średnią mocą traconą na oporze R

2

2 022

0 2 RIRtIRtIPR === ωsin)(

Widzimy, że cała moc wydziela się na oporze R, a to oznacza, że na kondensatorze i cewce nie ma strat mocy. Zwróćmy uwagę, że ten wniosek pozostaje w zgodności z naszymi wcześniejszymi obliczeniami. Gdy w obwodzie znajduje się tylko pojemność lub indukcyjność (nie ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe π/2, a ponieważ cos(π/2) = 0 to zgodnie z równaniem (24.16) średnia moc jest równa zeru. Jednocześnie zauważmy, że moc chwilowa zmienia się z czasem; raz jest dodatnia (energia jest gromadzona w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym cewki), a raz ujemna (zgromadzona moc jest oddawana do układu).

Omawiane obwody, w których elementy R, L, C stanowiły odrębne części nazywamy obwodami o elementach skupionych. W praktyce jednak mamy do czynienia z elementami, które mają złożone własności. Przykładem może tu być cewka, która oprócz indukcyjności L ma zawsze opór R oraz pojemność międzyzwojową C. Mamy wtedy do czynienia z obwodami o elementach rozłożonych.

24-7

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome