Operatory skończonego rzędu, obliczanie widma - Ćwiczenia - Teoria przestrzeni Hilberta, Notatki'z Teoria przestrzeni Hilberta. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Operatory skończonego rzędu, obliczanie widma - Ćwiczenia - Teoria przestrzeni Hilberta, Notatki'z Teoria przestrzeni Hilberta. University of Bialystok

PDF (99.5 KB)
1 strona
937Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii przestrzeni Hilberta: operatory skończonego rzędu, obliczanie widma.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Teoria przestrzeni Hilberta

Lista 4 (operatory sko«czonego rz¦du, obliczanie widma)

Zad 1. Niech K ∈ L(H) b¦dzie operatorem sko«czonego rz¦du Kx = ∑n

j=1〈x, ψj〉ϕj oraz niech dim(H) = ∞. Rozwa»my macierz K̃ = [kij]ni,j=1, gdzie kij := 〈ϕj, ψi〉, i, j = 1, ..n. Wykaza¢, »e

a) 0 ∈ σ(K) oraz dla λ 6= 0 zachodzi równowa»no±¢

λ ∈ σ(K) ⇐⇒ λ jest warto±ci¡ wªasn¡ macierzy K̃ = [kij]ni,j=1,

tj. σ(K) = σ(K̃) ∪ {0},

b) x jest wektorem wªasnym operatora K wtedy i tylko wtedy, gdy x = ∑n

j=1 xjϕj,

gdzie (x1, x2, ..., xn) T jest wektorem wªasnym macierzy K̃. Dokªadniej

ker(λ−K) =

 n∑ j=1

xjϕj ∈ H : K̃

 x1... xn

 = λ  x1...

xn

 

c) rezolwenta RK : C \ σ(K) → L(H) jest operatorem postaci RK(λ) = 1λI − K(λ), gdzie K(λ) jest operatorem sko«czonego rz¦du danym wzorem

K(λ)x = 1

det(λI − K̃) det

 [ λI − K̃

]  〈x, ψ1〉 〈x, ψ2〉

.

.

.

〈x, ψ2〉

 [ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn] 0

 Zad 2. Obliczy¢ widmo i wyznaczy¢ rezolwent¦ dla nast¦puj¡cych operatorów

a) Kx = (2x(1) + x(2),−x(1), 1 2 x(1),−1

3 x(1), 1

4 x(1), ...), gdzie K : `2 → `2,

b) (Kf)(t) = [∫ π

2

−π 2 f(s) cos s ds

] 4 π

cos t+ [∫ π

2

−π 2 f(s)s ds

] sin t, gdzie K ∈ L

( L2[−π

2 , π

2 ] ) .

Zad 3. Dla równania caªkowego

a) f(t)− λ ∫ 2π

0 f(s) sin(s+ t) ds = g(t) w przestrzeni H = L2[0, π],

b) f(t)− λ ∫ 1

0 et+sf(s)ds = g(t) w przestrzeni H = L2[0, 1],

wyznaczy¢ warto±ci parametru λ, dla którycz dla ka»dego g ∈ H równanie ma rozwi¡zanie w H. Znale¹¢ te rozwi¡zania,

Zad 4. Niech P ∈ L(H). Pokaza¢, »e P 2 = P wtedy i tylko wtedy, gdy P jest rzutem.

Zad 5. Niech P = P 2 ∈ L(H). Wykaza¢, równowa»no±¢ nast¦puj¡cych warunków

i) P jest rzutem ortogonalnym,

ii) ‖P‖ = 1,

iii) P = P ∗.

Zad 6. Pokaza¢, »e rzut mo»e mie¢ dowolnie du»¡ norm¦.

Zad 7. Obliczy¢ widmo i wyznaczy¢ rezolwent¦ rzutu.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome