Całki krzywoliniowe - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok
komik86
komik8615 March 2013

Całki krzywoliniowe - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok

PDF (184.6 KB)
1 strona
574Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy matematycznej: całki krzywoliniowe.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Analiza matematyczna III Lista 5

Zad 1. Obliczyć całki krzwyliniowe skierowane

a) ∫ Li

(x+ y) dx+ y dy, gdzie L1 jest łukiem ÂB cykloidy x = a(t− sin t), y = a(1− cos t), a L2

jest odcinkiem AB, gdzie A = (0, 0), B = (2aπ, 0).

b) ∫ Li

(x2+2xy) dx+(y−xy) dy, gdzie L1 jest odcinkiem AC, a L2 łamaną ÂBC, gdzie A = (0, 0),

B = (1, 0), C = (2, 2).

c) ∫ Li

x2 dy − 2y dx, gdzie L1 jest półokręgiem ÂB, a L2 odcinkiem AB, gdzie A = (0, 0), B =

(1, 0).

d) ∫ L

(x2 + y2) dx + (x2 − y2) dy, gdzie L jest łamaną y = 1 − |1 − x|, 0 ≤ x ≤ 2 skierowaną

zgodnie ze wzrostem x.

e) ∫ L

x dx+y dy+z dz oraz ∫ L

y dx+z dy+x dz , gdzie L = {x = 2t, y = t2, z = 1−t : 0 ≤ t ≤ 1}

jest krzywą skierowaną zgodnie ze wzrostem t.

Zad 2. Dane jest pole sił P (x, y) = x3 − y, Q(x, y) = xy na płaszczyźnie. Wyznaczyć jaką pracę trzeba wykonać, pokonując siły pola wzdłuż paraboli y2 = 8x od punktu A = (0, 0) do B = (2, 4).

Zad 3. Dane jest pole sił F = (P,Q,R), gdzie

P (x, y, z) = yz

x , Q(x, y, z) =

xz

y , R(x, y, z) =

xy

z .

Wyznaczyć jaką pracę trzeba wykonać, pokonując siły pola wzdłuż drogi po łuku krzywej

{ y = x2

z = x3

od punktu A = (0, 0, 0) do B = (1, 1, 1).

Zad 4. W pewnym polu grawitacyjnym składowe sił wzdłuż osi układu są następujące

P (x, y, z) = k x

r3 , Q(x, y, z) = k

y

r3 , R(x, y, z) = k

z

r3 ,

gdzie r = √ x2 + y2 + z2, a k jest pewnym współczynnikiem. Wyznaczyć pracę, jaką trzeba

wykonać, aby przesunąc punkt materialny o masie jednostkowej wzdłuż drogi x = cos t, y = 1, z = sin t od punktu M = (1, 1, 0) do punktu N = (0, 1, 1).

Zad 5. Obliczyć całkę niewłaściwą ∞∫ 0

e−x 2 dx.

Zad 6. Obliczyć całkę krzywoliniową nieskierowaną ∫ l

f dl po łuku l na płaszczyźnie Oxy lub w

przestrzeni Oxyz: f l f l

a) 6yx y = x2

2 , 0 ≤ x ≤ 1 f) xy x = a cosh t, y = a sinh t, 0 ≤ t ≤ 1 b) 2y cosx y = sinx, 0 ≤ x ≤ π2 g) x

2 + y2 + z2 x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 ≤ t ≤ 2π. c) y2

√ 1 + x y = 23x

√ x, 0 ≤ x ≤ 3 h) xyz x = et, y = e−t, z = t

√ 2, 0 ≤ t ≤ 1

d) |x+ y| y = x, −1 ≤ x ≤ 1 i) |y| x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π e) 3yex y = ex, 0 ≤ x ≤ ln 3 j) xz1+2y x = t, y = t

2, z = 23 t 3, 0 ≤ t ≤ 1

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome