Przedmiot dynamiki - Notatki - Mechanika - Część 1, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
dlugie_nogi
dlugie_nogi15 March 2013

Przedmiot dynamiki - Notatki - Mechanika - Część 1, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (696.9 KB)
20 strona
484Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z mechaniki: przedmiot dynamiki; podstawowe zagadnienia dynamiki, zasada d’Alemberta
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 20
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Dynamika cz1.pdf

7.1.1. Przedmiot dynamiki

Dynamika jest dzia em mechaniki, który zajmuje si! badaniem zale"no#ci

mi!dzy ruchem cia materialnych i si ami wywo uj$cymi ten ruch. Podstaw$

dynamiki s$ prawa Newtona przytoczone w punkcie 1.2. Aby prawa te by y

s uszne, w mechanice newtonowskiej ruch odnosimy do uk adów inercjalnych.

Z tych praw wynika, "e dotycz$ one punktu materialnego. W dynamice prawa

te b!dziemy stosowa% nie tylko do punktu materialnego, ale tak"e po ich

odpowiednim przekszta ceniu do uk adu punktów materialnych, cia a sztywnego

i bry y sztywnej.

Badanie ruchu punktu materialnego o masie m i przy#pieszeniu a, na który

dzia a si a F, sprowadza si! do analizy drugiego prawa Newtona:

Fa !m . (7.1)

Powy"sze równanie jest dynamicznym

równaniem ruchu punktu materialnego.

Je"eli wektor wodz$cy

rozpatrywanego punktu materialnego

poprowadzony z pocz$tku O

nieruchomego uk adu wspó rz!dnych x,

y, z (rys. 7.1) oznaczymy przez r, to,

jak wiadomo z kinematyki,

przy#pieszenie a jest drug$ pochodn$

wzgl!dem czasu wektora wodz$cego.

Zatem równanie (7.1) przyjmie posta%:

z

y

x

O

F

m

r

Rys. 7.1. Ruch punktu materialnego pod

dzia aniem si y

F r !

2

2

td

d m . (7.2)

Jest to wektorowe równanie ró"niczkowe ruchu punktu materialnego. W

prostok$tnym uk adzie wspó rz!dnych, przedstawionym na rys. 7.1, równaniu temu

odpowiadaj$ trzy skalarne dynamiczne równania ruchu punktu materialnego.

z2

2

y2

2

x2

2

F td

zd m,F

td

yd m,F

td

xd m !!! . (7.3)

W równaniach tych x, y, z s$ wspó rz!dnymi wektora wodz$cego r, czyli

wspó rz!dnymi punktu materialnego, a Fx, Fy, Fz wspó rz!dnymi si y F w

przyj!tym uk adzie wspó rz!dnych.

docsity.com

Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego (7.3) s$ w ogólnym

przypadku uk adem trzech równa& ró"niczkowych i stanowi$ podstaw! analizy

dynamiki punktu materialnego. Rozró"niamy tutaj dwie grupy zagadnie&, które

omówimy w nast!pnych punktach.

docsity.com

7.1.2. Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki

Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu si y

dzia aj!cej na poruszaj!cy si" znanym ruchem punkt materialny. Jest ono równie#

znane jako zagadnienie proste dynamiki. Jego rozwi!zanie wynika bezpo$rednio

z drugiego prawa Newtona i nie nastr"cza wi"kszych trudno$ci. Je#eli znamy

równanie ruchu punktu materialnego w postaci:

!,trr "

to w wyniku dwukrotnego ró#niczkowania wzgl"dem czasu otrzymujemy

przy$pieszenie tego punktu:

td

d 2 r a "

i po podstawieniu tej zale#no$ci do równania (7.1) otrzymujemy si ", a w a$ciwie

wypadkow! wszystkich si dzia aj!cych na dany punkt:

2

2

td

d m

r F " . (7.4)

Przyk ad 7.1. Punkt materialny o masie m porusza si" w p aszczy%nie xy

zgodnie z równaniami ruchu: t4sin=yt,cos23x ##" , gdzie t jest czasem.

Wyznaczy& wspó rz"dne si y dzia aj!cej na ten punkt w funkcji wspó rz"dnych

punktu x, y.

Rozwi zanie. Po zrzutowaniu wektorów wyst"puj!cych w równaniu (7.4) na

osie x i y otrzymujemy wspó rz"dne si y dzia aj!cej na nasz punkt materialny,

które wyra#aj! wzory:

. td

yd mF

td

xd mF

2

2

y2

2

x "" , (a)

Po dwukrotnym zró#niczkowaniu wzgl"dem czasu równa' ruchu otrzymujemy:

.

,

ytsin4 dt

yd

x4=tcos212 dt

xd

22

2

2

22

2

2

#$"##$"

#$##$"

docsity.com

Po podstawieniu otrzymanych wyników do wzorów (a) otrzymujemy ostatecznie:

.ymF,xm4=F 2y 2

x #$"#$

docsity.com

7.1.3. Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki

Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu ruchu punktu

materialnego poddanego dzia aniu znanej si y. Widzimy, !e zagadnienie to jest

odwróceniem pierwszego zagadnienia dynamiki i st"d jest ono równie! znane pod

nazw" zagadnienie odwrotne dynamiki. Zagadnienie to jest znacznie trudniejsze ni! pierwsze, poniewa! aby wyznaczy#

równanie ruchu punktu ! "trr # przy znanej sile F, nale!y sca kowa# równanie ró!niczkowe (7.2) lub równowa!ny temu równaniu uk ad trzech skalarnych równa$

ró!niczkowych (7.3). Z kursu matematyki wiadomo, !e operacja taka nie jest

jednoznaczna i aby otrzyma# rozwi"zanie jednoznaczne, nale!y wyznaczy# sta e

ca kowania. W tym celu musimy zna# warto%ci funkcji i jej pochodnej (zwane

warunkami pocz tkowymi) w pewnej chwili t0 (w chwili pocz"tkowej):

! " ! " 0000 td

td ,t v

r rr ## . (7.5)

Znacznie wi&ksze trudno%ci przy poszukiwaniu równania ruchu punktu

materialnego mog" wynika# z faktu, !e w przypadku ogólnym si a F dzia aj"ca na

punkt mo!e by# jednocze%nie funkcj" czasu t, po o!enia punktu r i pr&dko%ci v

punktu. Wtedy dynamiczne równanie ruchu punktu (7.2) nale!y zapisa# w postaci:

! vrFr ,,t td

d m

2

2

# " . (7.6)

Rozwi"zanie ogólne tego równania ró!niczkowego lub równowa!nego mu

uk adu równa$ skalarnych w przyj&tym uk adzie wspó rz&dnych jest bardzo trudne

i tylko w nielicznych przypadkach udaje si& otrzyma# rozwi"zanie %cis e. Je!eli nie

znamy rozwi"zania równa$ ró!niczkowych, stosujemy metody przybli!one lub

numeryczne. W dalszym ci"gu ograniczymy si& do rozpatrzenia prostych

przyk adów, w których si a F b&dzie sta a oraz b&dzie funkcj" tylko jednej

zmiennej czasu, po o!enia lub pr&dko%ci.

Przyk ad 7.2. Punkt materialny o masie m porusza si& pod wp ywem sta ej si y

F = const. Wyznaczy# jego pr&dko%# v = v(t) oraz równanie ruchu r = r(t); je!eli

czas t = 0, to r(0) = r0 i v(0) = v0.

docsity.com

Rozwi zanie. Dynamiczne równanie ruchu punktu (7.2) mo!emy

przedstawi# w postaci:

. mdt

d lub

mtd

d 2

2 FvFr

##

Po sca kowaniu otrzymamy:

1t m

dt m

C FF

v $## % . (a)

Po podstawieniu w tym równaniu v = dr/dt oraz ponownym ca kowaniu mamy:

.tt m2

dtt m

21

2

1 CC F

C F

r $$#& '

( ) *

+ $# % (b)

Sta e ca kowania C1 i C2 wyznaczamy z podanych warunków pocz"tkowych przez

podstawienie do równa$ (a) i (b) r(0) = r0 oraz v(0) = v0 dla t = 0

C1 = v0, C2 = r0.

Ostatecznie pr&dko%# punktu oraz równanie ruchu maj" posta#:

, -

, .

/

$$#

$#

.

,

2

00

0

t m2

t

t m

F vrr

F vv

(c)

Z otrzymanych rezultatów wynika, !e gdy si a F b&dzie równa zeru, to punkt

b&dzie si& porusza zgodnie z pierwszym prawem Newtona, czyli ruchem

jednostajnym po linii prostej.

Przyk ad 7.3. Punkt materialny o masie m = 1 kg porusza si& po linii prostej

wzd u! osi Ox (rys. 7.2) pod wp ywem si y ! " 0 1F t# 10 1 N , gdzie t jest czasem liczonym w sekundach. Po ilu sekundach punkt zatrzyma si& i jak" drog&

przeb&dzie w tym czasie, je!eli w chwili pocz"tkowej t = 0 jego pr&dko%#

v0 = 20 cm/s.

docsity.com

Rozwi zanie. Poniewa! punkt materialny porusza si& wzd u! osi Ox,

dynamiczne równanie jego ruchu mo!emy zapisa# w postaci skalarnego równania

ró!niczkowego

.

! "t110 td

xd m

,F td

xd m

2

2

2

2

#

#

F

x

m

s

x0

Rys. 7.2. Wyznaczenie drogi punktu

materialnego

lub

t1 m

10

td

xd 2

2

!" # . (a)

Po sca kowaniu tego równania otrzymujemy pr!dko"# punktu:

1

2

C 2

t t

m

10

dt

dx v $%%

&

' (( )

* !"" . (b)

Po podstawieniu do równania (b) warunku pocz$tkowego v = v0 dla t = 0

wyznaczamy sta $ ca kowania C1 = v0. Zatem pr!dko"# punktu wyra%a wzór:

+,

- ./

0 %% &

' (( )

* !$"%%

&

' (( )

* !$""

s

m

2

t t102,0

2

t t

m

10 v

dt

dx v

22

0 . (c)

Czas, po którym punkt si! zatrzyma, obliczymy, podstawiaj$c we wzorze (c) v = 0.

St$d otrzymujemy równanie kwadratowe ze wzgl!du na czas t:

004,0t2t 2 "!! . (d)

Po obliczeniu pierwiastków tego równania i odrzuceniu pierwiastka ujemnego

otrzymujemy czas, po którym punkt si! zatrzyma: t1 = 2,02 s. Drog! przebyt$ przez

punkt materialny obliczymy, ca kuj$c równanie (b) w granicach od 0 do t1.

.m74,10 3

t 1t

m

5 tvdt

2

t t

m

10 vs 1110

t

0

2

0

1

"% &

' ( )

* !$"+

,

- . /

0 %% &

' (( )

* !$" 1

Przyk ad 7.4. Punkt materialny o masie m jest przyci$gany do "rodka O z si $

o warto"ci P = 2m/x4 (rys. 7.3), gdzie 2 jest warto"ci$ sta $. Wyznaczy# pr!dko"# punktu w chwili, gdy jego odleg o"# x = OM od punktu O b!dzie równa x0/2,

je%eli w chwili pocz$tkowej (dla t = 0) x = x0, v = v0 = 0.

docsity.com

Rozwi zanie. Na rozpatrywany punkt

dzia a tylko si a P, wobec tego jego

równanie ró%niczkowe ma posta#:

mP

xo

x0

x M Mo

Rys. 7.3. Wyznaczenie pr!dko"ci

punktu materialnego

, x

m

td

xd m

42

2 2 !"

czyli

42

2

xtd

xd 2 !" . (a)

Po podstawieniu w powy%szym równaniu:

v dx

dv

dt

dx

dx

dv

dt

dv

td

xd 2

2

"""

otrzymamy:

, xdx

dv v

4

2 !"

a po rozdzieleniu zmiennych

4x

dx vdv 2!" . (b)

Po sca kowaniu tego równania w granicach od 0 do v oraz od x0 do x0/2

otrzymamy:

. x3

7

2

v

, x

dx vdv

3

0

2

x 2

1

x

4

v

0

0

0

2 "

2!" 11

St$d pr!dko"# punktu

3

0x3

14 v

2 " . (c)

Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie równania ruchu punktu.

docsity.com

Przyk ad 7.5. Cia o o masie m = 2 kg rzucone pionowo do góry z pr!dko"ci$

pocz$tkow$ v0 = 30 m/s pokonuje opór powietrza R, którego warto"# przy

pr!dko"ci v [m/s] wynosi 0,4v [N]. Obliczy#, po ilu sekundach cia o osi$gnie

najwy%sze po o%enie H. Przyj$# przy"pieszenie ziemskie g =10 m/s2.

Rozwi zanie. Na cia o dzia aj$ si y ci!%ko"ci

i oporu powietrza i obie s$ skierowane

w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu (rys.

7.4). Zatem równanie ró%niczkowe ruchu ma

posta#:

O

x

G

R

V0

H

v=0

m

v

Rys. 7.4. Rzut pionowy z

uwzgl!dnieniem oporu powietrza

,v4,0mg td

zd m

2

2

!!"

a po podstawieniu danych liczbowych mo%emy

napisa#:

#v2,010 dt

dv $!" . (a)

Po rozdzieleniu zmiennych w równaniu (a) mamy:

dt v2,010

dv !"

$ . (b)

Po sca kowaniu tego równania w granicach od v0 do 0 oraz od 0 do t,

uporz$dkowaniu i zast$pieniu ró%nicy logarytmów logarytmem ilorazu

otrzymujemy czas, po którym cia o osi$gnie najwy%sze po o%enie:

s.2,35=ln1,65 10

0,2v+10 ln5t

,dt v2,010

dv2,0

20

1

0

t

0

0

v0

""

!" $ 11,

docsity.com

7.1.4. Zasada d’Alemberta

Po przeniesieniu obu wyrazów wyst puj!cych w dynamicznym równaniu ruchu

punktu materialnego (7.1) na jedn! stron otrzymamy:

.0m ! aF

Po wprowadzeniu do tego równania zamiast !ma fikcyjnej si"y zwanej si ! bezw adno"ci lub si ! d’Alemberta,Pb ma ! , otrzymamy zasad d’Alemberta dla punktu materialnego:

0b " PF , (7.7)

któr! s"ownie wyra#amy nast puj!co:

Suma si rzeczywistych i si y bezw adno"ci dzia aj!cych na punkt materialny

jest w ka#dej chwili równa zeru.

Z zasady tej wynika, #e poprzez formalne wprowadzenie si"y bezw"adno$ci

zagadnienie dynamiczne mo#na sprowadzi% do zagadnienia statycznej równowagi

si".

Przedstawion! wy#ej zasad d’Alemberta dotycz!c! swobodnego punktu

materialnego zastosujemy do uk"adu n punktów materialnych. W tym celu

rozpatrzmy uk"ad n punktów materialnych o masach mk i przy$pieszeniach ak. Na

poszczególne punkty rozpatrywanego uk"adu materialnego mog! dzia"a% si"y

zewn trzne i wewn trzne.

Zgodnie z podzia"em wprowadzonym w statyce (p. 3.1.2)

si"ami wewn trznymi ami rozpatrywanego uk"adu materialnego, a si"ami

zewn trznymi si"y pochodz!ce od innych punktów lub cia" nie nale#!cych do

naszego uk"adu materialnego. Na rysunku 7.5 zaznaczono si"y dzia"aj!ce na dwa

punkty o masach mk i ml. Si"y zewn trzne zast!piono tutaj si"ami wypadkowymi Pk

i Pl, a si"y wzajemnego oddzia"ywania mi dzy tymi punktami oznaczono przez Fkl i

Flk. Zgodnie z trzecim prawem Newtona si"y te s! równe co do warto$ci, ale maj!

przeciwne zwroty: . F Fkl lk !

docsity.com

x

z

y

rk

mk

O

-mkak

-mlal rl

Fkl

Flk

ml

Pk

Pl

Rys. 7.5. Si"y zewn trzne, wewn trzne i bezw"adno$ci dzia"aj!ce na punkty uk"adu

materialnego

Si" Fk dzia"aj!c! na k-ty punkt mo#emy przedstawi% w postaci sumy si"y

zewn trznej Pk i wypadkowej wszystkich si" wewn trznych Pwk:

wkkk PPF " , (7.8) gdzie

Pwk kl #

$ l l k

n

1

F . (7.9)

Po oznaczeniu si"y bezw"adno$ci dzia"aj!cej na rozwa#any punkt przez

P abk k km !

zasad d’Alemberta dla dowolnego punktu uk"adu materialnego mo#emy

przedstawi% w postaci równania:

% &n,...,2,1k0bkwkk "" PPP . (7.10)

Suma si zewn$trznych, wewn$trznych oraz si y bezw adno"ci dzia aj!cych na

dowolny punkt uk adu materialnego jest w ka#dej chwili równa zeru.

Je#eli równanie (7.10) napiszemy dla ka#dego punktu materialnego i dodamy

stronami, to otrzymamy:

$ $$

"" n

1k

n

1k

bk

n

1k

wkk 0PPP . (a)

docsity.com

Wyst puj!ca w tym równaniu suma wszystkich si" wewn trznych dowolnego

uk"adu materialnego zgodnie ze wzorem (3.3) jest równa zeru:

$

n

1k

wk 0P . (7.11)

Zatem równanie (a) przyjmie posta%:

$ $

" n

1k

n

1k

bkk 0PP . (7.12)

Pomnó#my teraz wektorowo ka#de z n równa& (7.10) przez wektor wodz!cy rk

i dodajmy wszystkie równania stronami. W wyniku tej operacji otrzymamy

równanie momentów:

0 n

1k

bkk

n

1k

wkk

n

1k

kk '"'"' $$$

PrPrPr . (b)

Poniewa# si"y wewn trzne, zgodnie z trzecim prawem Newtona, dzia"aj! parami

, i wzd"u# jednej prostej, to suma momentów tych si" dla ca"ego uk"adu

materialnego wzgl dem dowolnego bieguna redukcji jest równa zeru:

F Fkl lk !

0 n

1k

wkk '$

Pr (7.13)

i równanie (b) przyjmuje posta%:

0 n

1k

bkk

n

1k

kk '"' $$

PrPr . (7.14)

Orzymane równania (7.12) i (7.14) przedstawiaj! zasad d’Alemberta dla

uk"adów materialnych, któr! mo#na sformu"owa% nast puj!co:

Suma si zewn$trznych i si bezw adno"ci dla danego uk adu materialnego oraz

sumy momentów tych si wzgl$dem nieruchomego bieguna redukcji w ka#dej chwili

s! równe zeru.

Przyk ad 7.6. Punkt materialny M o ci #arze G = 10 N, zawieszony w

nieruchomym punkcie O na lince o d"ugo$ci OM = s = 30 cm, tworzy wahad"o

sto#kowe, tzn. zatacza okr!g w p"aszczy'nie poziomej, przy czym linka tworzy z

pionem k!t (rys. 7.6a). Wyznaczy% si" F w lince oraz pr dko$% v punktu

M.

( 60o

docsity.com

a

G

B

F

x

O

A

y

v

(

O

A

M

a) b)

(

Rys. 7.6. Wyznaczenie si"y w lince i pr dko$ci punktu

Rozwi!zanie. Na punkt materialny dzia"a si"a ci #ko$ci G, si"a w lince F oraz

si"a bezw"adno$ci (od$rodkowa) aB m! , gdzie a jest przy$pieszeniem do$rodkowym (rys. 7.6b). Zgodnie z zasad! d’Alemberta (7.10) suma tych si" musi

by% równa zeru:

0 "" BFG .

Z rzutu tych si" na osie x i y otrzymujemy dwa równania równowagi:

)*

) + ,

!(

(!

$ $

0.=GcosFP

,0=ma+sinFP

ky

kx (a)

Z drugiego równania otrzymujemy si" w lince:

N20 cos60

10

cos

G F

o

( .

Po podstawieniu do pierwszego równania (a) wzoru na przy$pieszenie

do$rodkowe:

(

sins

v

AM

v a

22

otrzymamy równanie:

0= sins

v

g

G +sinF

2

( (! .

St!d pr dko$% punktu M

sm1,2sin60 cos60

0,39,81 =sin

cos

sg =sinsg

G

F v o

o /

- (

( ( .

docsity.com

7.1.5. Praca. Praca w zachowawczym polu si . Energia potencjalna

Prac mechaniczn nazywamy energi dostarczon! z zewn!trz za pomoc!

uk"adu si" do rozpatrywanego uk"adu

materialnego w czasie jego ruchu.

Celem ogólnego zdefiniowania

pracy rozpatrzymy ruch punktu

materialnego po torze

krzywoliniowym pod wp"ywem si"y

P. Punkt przy"o#enia A si"y P jest

opisany wektorem wodz!cym r

(rys. 7.7).

Prac! elementarn! si"y P na

przesuni ciu elementarnym ds,

równym przyrostowi promienia

wodz!cego dr, nazywamy iloczyn

skalarny si"y P i przemieszczenia dr:

x

z

y

O

P A

A1

A2

dr

r

Rys. 7.7. Ilustracja do definicji pracy

rP ddL !" (7.15) lub korzystaj!c z definicji iloczynu skalarnego

# $drcosPcosdrPdL " " . (7.16)

Jednostk! pracy w uk"adzie SI jest d#ul równy pracy 1 niutona na przesuni ciu

1 metra:

J = N! m = kg ! m2 ! s–2,

a w uk"adzie technicznym kilogram si"y razy metr:

1 kG !m = 9,81 J.

Mimo oznaczenia pracy elementarnej symbolem powszechnie u#ywanym na

oznaczenie ró#niczki zupe"nej nale#y pami ta$, #e praca elementarna nie jest na

ogó" ró#niczk! zupe"n! #adnej funkcji.

Na podstawie wzorów (7.15) i (7.16) mo#na sformu"owa$ poni#sze wnioski.

a) Prac wykonuje jedynie sk"adowa si"y styczna do toru, a praca sk"adowej

normalnej jest równa zeru.

b) Warto%$ pracy mo#e by$ zarówno dodatnia, jak i ujemna: dla ! " /2 jest

dodatnia, a dla > %/2 ujemna. c) Je#eli na punkt materialny dzia"a uk"ad si" Pk, których suma jest równa

wypadkowej , to praca tej si"y na przesuni ciu elementarnym dr jest

równa sumie prac elementarnych poszczególnych si" na tym przesuni ciu:

W P" " & k k

n

1

docsity.com

rPrPrPrW dddddL n21 !'!!!!'!'!"!" .

d) Praca elementarna si"y P na przesuni ciu wypadkowym jest

równa sumie prac elementarnych tej si"y na przesuni ciach sk"adowych:

& "

" n

1k

kdd rr

n21 dddddL rPrPrPrW !'!!!!'!'!"!" .

Je#eli wektory wyst puj!ce po prawej stronie równania (7.15) przedstawimy za

pomoc! wspó"rz dnych:

,dzdydxd,PPP zyx kjirjjiP ''"''"

to prac elementarn! mo#emy przedstawi$ w postaci:

dzPdyPdxPdL zyx ''" . (7.17)

Je#eli punkt przy"o#enia A si"y P przemie%ci si po krzywej od punktu A1 do

A2, to na podstawie wzoru (7.17) praca wykonana przez si" P b dzie ca"k!

krzywoliniow!:

# $( ( ''"!" 21 21AA A

zyx12 dzPdyPdxPdL A

rP . (7.18)

Wyst puj!ca w powy#szym wzorze si"a mo#e w ogólnym przypadku by$

funkcj! czasu t, po"o#enia w przestrzeni punktu A oraz pr dko%ci tego punktu.

Wspó"rz dne si"y P b d! zatem funkcjami czasu, zmiennych x, y, z oraz ich

pochodnych wzgl dem czasu. Wtedy we wzorze (7.18) mo#emy podstawi$:

dt dt

dz dz,dt

dt

dy dy,dt

dt

dx dx """

i zamiast ca"ki krzywoliniowej otrzymamy ca"k oznaczon! w granicach

ca"kowania od t1 do t2

( )* +

, -

. ''"

2

1

t

t

zyx dt dt

dz P

dt

dy P

dt

dx PL . (7.19)

Ze wzgl du na zastosowania bardzo wa#ny jest przypadek, gdy si"a P jest

jedynie funkcj! po"o#enia (miejsca):

# $rPP " ,

a jej wspó"rz dne s! wzi tymi ze znakiem minus pochodnymi cz!stkowymi funkcji

U wzgl dem wspó"rz dnych x, y, z:

docsity.com

. z

U P,

y

U P,

x

U P zyx /

/ 0"

/ /

0" / /

0" (7.20)

Wyka#emy, #e funkcja skalarna U(x, y, z) ma sens fizyczny energii. Praca

elementarna si"y o wspó"rz dnych (7.20)

)) *

+ ,, -

.

/ /

' / /

' / /

0"!)) *

+ ,, -

.

/ /

' / /

' / /

0"!" dz z

U dy

y

U dx

x

U d

z

U

y

U

x

U ddL rkjirP .

Wyra#enie wyst puj!ce w nawiasie po prawej stronie powy#szego równania jest

ró#niczk! zupe"n! funkcji U:

dz z

U dy

y

U dx

x

U dU

/ /

' / /

' / /

" . (7.21)

Z matematyki wiadomo, #e ca"ka krzywoliniowa z ró#niczki zupe"nej jest równa

ró#nicy warto%ci ko&cowej i pocz!tkowej zró#niczkowanej funkcji. Zatem prac

wykonan! przez si" P na jej przemieszczeniu z punktu A1 do A2 wyra#a wzór:

# $ .UUUUdUL 2112 AA

12

21

0"00"0" ( (7.22)

Widzimy, #e praca wykonana przez si" opisan! wzorem (7.20) na

przemieszczeniu jej z po"o#enia pocz!tkowego do ko&cowego jest równa ubytkowi

funkcji U. Funkcj t nazywamy potencja!em albo energi potencjaln , si" P

spe"niaj!c! warunek (7.20) si! potencjaln lub zachowawcz!, a pole si" polem

potencjalnym lub zachowawczym.

Potencja" w okre%lonym punkcie przestrzeni jest równy pracy, któr! wykonuj!

si"y potencjalne przy przemieszczaniu punktu materialnego z danego punktu do

punktu, w którym potencja" jest równy zeru. Poniewa# punkt ten mo#e by$ obrany

dowolnie, potencja" jest okre%lony z dok"adno%ci! do dowolnej sta"ej C. Wnika to z

tego, #e funkcja:

CUU '"1

równie# spe"nia zale#no%ci (7.20) i (7.22).

Ze wzoru (7.22) wynikaj! dwie wa#ne w"asno%ci si" potencjalnych.

a) Praca si"y potencjalnej nie zale#y od toru jej punktu przy"o#enia, lecz jedynie

od po"o#enia tego punktu w chwilach pocz!tkowej i ko&cowej.

b) Praca wykonana przez si" potencjaln! jest równa ubytkowi energii

potencjalnej wynikaj!cemu z przemieszczania si punktu przy"o#enia si"y. Wynika

st!d równie#, #e praca po torze zamkni tym jest równa zeru.

docsity.com

7.1.6. Przyk ady si potencjalnych

Si y spr!"ysto#ci

Wyka emy obecnie, e si!y odkszta!cenia spr" ystego s# si!ami potencjalnymi.

W tym celu rozpatrzymy spr" yn" $rubow#, której koniec A jest unieruchomiony,

a koniec B mo e si" przemieszcza% wzd!u osi Ox (rys. 7.8). Za!o ymy, e w

chwili, gdy spr" yna nie jest napi"ta, koniec B pokrywa si" z punktem O.

x

A O B x

P

Rys. 7.8. Przyk!ad si!y spr" ystej wykonuj#cej prac"

Je eli wyd!u ymy spr" yn" o warto$% x, to zgodnie z prawem Hooke’a b"dzie

ona dzia!a% na punkt B si!# P proporcjonaln# do wyd!u enia:

iP xk ! , gdzie wspó!czynnik proporcjonalno$ci k jest nazywany sta ! spr"#yny, a znak

minus oznacza, e si!a P jest skierowana przeciwnie do kierunku odkszta!cenia

spr" yny.

Z powy szego wzoru wynika, e wspó!rz"dna si!y P jest funkcj# tylko

wspó!rz"dnej x:

xkP ! ,

zatem potencja! U musi spe!nia% równanie:

xkP dx

dU

x

U ! !!

" "

.

Po sca!kowaniu tego równania w granicach od O do x1 otrzymujemy wzór na

potencja! si!y spr" ystej:

2

1

x

0

xk 2

1 xkU

1

!! # . (7.23)

Prac" si!y spr" ystej na sko&czonym przesuni"ciu, np. od 0 do x, mo na

obliczy% ze wzoru (7.22), przy czym dla x = 0 energia potencjalna U1 = 0. Zatem

2

1212 xk 2

1 UL ! ! . (7.24)

docsity.com

Si y ci!"ko#ci

Je eli rozpatrzymy ograniczony obszar przestrzeni w pobli u powierzchni

Ziemi o ma!ych wymiarach w porównaniu z promieniem Ziemi, to mo na przyj#%,

e na ka dy punkt materialny o masie m znajduj#cy si" w tej przestrzeni dzia!a

sta!a si!a ci" ko$ci:

G = mg,

gdzie g jest przy$pieszeniem ziemskim. Przy takim za!o eniu pole si! jest

jednorodnym polem si! ci" ko$ci. Gdy w takim polu si! przyjmiemy uk!ad

wspó!rz"dnych x, y, z o osi z skierowanej pionowo w gór", to zgodnie z rys. 7.9

wspó!rz"dne si!y ci" ko$ci G opisuj# zale no$ci:

.mgG,0GG zyx !!! (7.25)

Ze wzoru (7.20) wiadomo, e wspó!rz"dne si! potencjalnych s# równe

pochodnym cz#stkowym potencja!u U wzgl"dem wspó!rz"dnych wzi"tych ze

znakiem minus:

mg z

U G,0

y

U G,0

x

U G zyx !"

" !!

" "

!! " "

! . (7.26)

Z powy szych równa& wynika, e potencja! U jest jedynie funkcj# zmiennej z. Po

podstawieniu trzeciego równania (7.26) do wzoru (7.21) otrzymujemy ró niczk"

potencja!u pola si! ci" ko$ci:

,dzmgdU !

a po sca!kowaniu tego równania potencja! si! ci" ko$ci

CzgmU $! , (7.27) gdzie C jest dowoln# sta!#.

Ze wzoru (7.27) wynika, e dla z = const potencja! U jest równie sta!y. Zatem

w przypadku si! ci" ko$ci wszystkie punkty ka dej p!aszczyzny poziomej maj#

tak# sam# warto$% potencja!u. Powierzchnie, których punkty maj# te same warto$ci

potencja!u, nazywaj# si" powierzchniami ekwipotencjalnymi.

Praca si!y ci" ko$ci na dowolnym krzywoliniowym torze jest zgodnie ze wzorem (7.22) równa ró nicy potencja!ów w po!o eniu pocz#tkowym i ko&cowym:

% & hgmzzgmUUL 212112 ! ! ! , (7.28)

gdzie h jest ró nic# wysoko$ci (rys. 7.9).

docsity.com

x

y

z

O

A1

A2

G h

A

Rys. 7.9. Praca si!y ci" ko$ci

x

z

y

r

P

A

M O

m

Rys. 7.10. Si!a wzajemnego przyci#gania

Si y wzajemnego przyci$gania

Wyka emy, e si!a, z jak# nieruchomy punkt materialny o masie M dzia!a na

dowolny punkt materialny o masie m, jest si!# potencjaln#. Zgodnie z prawem

powszechnego ci# enia (1.2) punkt M dzia!a na punkt m i odwrotnie z si!# P o

warto$ci

2r

Mm kP ! , (7.29)

gdzie k jest sta!# grawitacji, a r jest odleg!o$ci# masy m od nieruchomej masy M.

Je eli mas" M umie$cimy w pocz#tku uk!adu wspó!rz"dnych x, y, z, a mas" m

w punkcie A o wektorze wodz#cym r (rys. 7.10), to si!" P mo na opisa%wzorem:

r1P 2r

Mm k ! , (7.30)

gdzie 1r jest wektorem jednostkowym o kierunku wektora r.

Gdy wspó!rz"dne wektora wodz#cego r oznaczymy przez x, y, z, to

wspó!rz"dne si!y P b"d# nast"puj#ce:

r

z

r

Mm kP,

r

y

r

Mm kP,

r

x

r

Mm kP

2z2y2x ! ! ! . (7.31)

'atwo wykaza%, e potencja!em omawianego pola si! jest funkcja

% &U x k Mm r

C k Mm

x y z C, y, z ! $ !

$ $ $

2 2 2 . (7.32)

docsity.com

przy czym C jest dowoln# sta!#. Aby si!a P by!a potencjalna, jej wspó!rz"dne

(7.31) musz# spe!nia% wzory (7.20). Po zró niczkowaniu funkcji (7.32) wzgl"dem

x otrzymamy:

% & x23

2 3

222

P r

x

r

Mm k

r

kMmx

zyx

x2

2

1 kMm

x

U !!!

$$ ' (

) * +

, !

" "

.

Post"puj#c podobnie w odniesieniu do y i z, otrzymamy:

z2y2 P

r

z

r

Mm k

z

U ,P

r

y

r

Mm k

y

U !!

" "

!! " "

.

Prac" wykonan# przez si!" P na przemieszczenie masy m z po!o enia 1 do 2

zgodnie ze wzorem (7.22) i po uwzgl"dnieniu równania (7.32) zapiszemy w

nast"puj#cej postaci:

'' (

) ** +

, ! !

12

2112 r

1

r

1 kMmUUL . (7.33)

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome