Modele autoregresyjne - Notatki - Ekonometria , Notatki'z Ekonometria. University of Szczecin
Osholom
Osholom5 March 2013

Modele autoregresyjne - Notatki - Ekonometria , Notatki'z Ekonometria. University of Szczecin

PDF (319.5 KB)
7 strona
849Liczba odwiedzin
Opis
Notatki odnoszące się do ekonometrii: modele autoregresyjne, definicja funkcji, analza.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 7
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

MODELE AUTOREGRESYJNE I ŚREDNIEJ RUCHOMEJ (ARMA) I (ARIMA)

Nie ma zmiennych objaśniających – same szeregi czasowe.

Określają związek funkcyjny między wartościami zmiennej prognozowanej w okresie / momencie t, a wartościami

tej zmiennej z okresów/momentów poprzednich t-1, t-2 ... t-p; p – opóźnienie.

Powody stosowania:

1) Istnieje wiele zjawisk gospodarczych wskazujących na występowanie opóźnienia ich przebiegu w czasie np. popyt na wiele dóbr trwałego użytku charakteryzuje się cyklami opóźnień związanymi z okresem ich

użytkowania

2) Rezygnacja z uwzględniania niejednokrotnie wielu zmiennych objaśniających

Zastosowanie:

Modelowanie stacjonarnych szeregów czasowych czyli:

- takich szeregów czasowych, w których występują jedynie wahania losowe wokół średniej - szeregów czasowych niestacjonarnych sprowadzanych do stacjonarnych

Klasyfikacja modeli autoregresyjnych i średniej ruchomej:

 Modele autoregresji (AR)

 Modele średniej ruchomej (MA)

 Modele mieszane autoregresji i średniej ruchomej (ARMA)

Zintegrowane modele autoregresji i średniej ruchomej – w nich zakłada się stacjonarność zmiennej prognozowanej.

W przypadku braku stacjonarności:

- dokonuje się przekształcenia szeregu czasowego w szereg stacjonarny, przeprowadzając operację różnicowania, która polega na d-krotnym obliczaniu różnic sąsiednich wyrazów szeregu

Pierwsze różnice oblicza się jako: wt = yt – yt-1 ; drugie jako: zt = wt – wt-1 = (yt – yt-1) - (yt-1 – yt-2) = yt – 2yt-1 +

yt-2 . Kolejne oblicza się analogicznie.

Przeprowadza się tą operacją, aż do momentu gdy szereg czasowy stanie się stacjonarny.

Budowane dla tych przekształconych szeregów czasowych modele określa się mianem zintegrowanych modeli:

1) Autoregresyjne (ARI)

2) Średniej ruchomej (IMA) 3) Autoregresji i średniej ruchomej (ARIMA)

Przyjęta uniwersalna notacja modeli:

ARIMA (p,d,q)

p – rząd autoregresji, wielokrotność opóźnienia

d – krotność różnicowania

q – liczba parametrów średniej ruchomej

ARIMA(p,0,0) AR(p)

ARIMA(0,0,q) MA(q)

ARIMA(p,0,q) ARMA(p,q)

ARIMA(p,d,0) ARI(p,d)

Podejście do budowy modeli zaproponowane przez BOXa i JENKINSa w 1976

Zakładamy, że tworzymy nowy stacjonarny szereg czasowy zmiennej prognozowanej.

Po identyfikacji odpowiedniego dla danego szeregu czasowego modelu, czyli określenia jego postaci oraz wielkości uwzględniających w modelu opóźnień, używa się współczynników autokorelacji i autokorelacji cząstkowej.

Główna zasada:

Jeśli wartość współczynnika autokorelacji wykładniczo maleje do 0, czyli liczba tych współczynników istotnie

różnych od 0 jest stosunkowo duża, a liczba współczynników autokorelacji cząstkowej istotnie różniących się od 0

jest bardzo mała to należy stosować MODEL AUTOREGRESYJNY

Jeśli wartość współczynników autokorelacji cząstkowej wykładniczo maleje do 0, czyli liczba tych współczynników

istotnie różniących się od 0 jest stosunkowo duża, a liczba współczynników autokorelacji istotnie różniących się od

0 jest bardzo mała to powinno się stosować MODELE ŚREDNIEJ RUCHOMEJ

docsity.com



Jeśli współczynniki autokorelacji oraz autokorelacji cząstkowej wykładniczo maleją do 0, czyli liczby tych

współczynników istotnie różniących się od 0 są stosunkowo duże to należy stosować MODELE MIESZANE

AUTOKORELACJI I ŚREDNIEJ RUCHOMEJ

Ogólny proces liniowy [Yule]

Biały szum

Szeregi czasowe, w których kolejne wartości są silnie zależne przedstawione są jako szeregi generowane przez ciąg

niezależnych zakłóceń losowych impulsów t. Zakłócenia te są realizacjami zmiennych losowych o ustalonym rozkładzie (najczęściej rozkład normalny) o

wartości oczekiwanej E(x) = 0 i  2 . Ciąg takich zmiennych losowych to biały szum.

Szereg czasowy o silnie skorelowanych wartościach traktowany jest jako realizacja procesu {Yt} określonego w

następujący sposób.

Yt =  + t + 1*t-1 + 2*t-2 ...

 - parametry (wagi) modelu

 - określony poziom rozpatrywanego procesu, dla procesów stacjonarnych określa on poziom średni

t – zakłócone impulsy

losowe.

Wprowadzamy operator przesunięcia wstecz dany jako: B i

= t-i

Yt = *(1 + 1B 1 + 2B

2 + ...) => Yt = (B)t ; przy założeniu, że B = 1 + 1B 1 + 2B

2 +

... Proces może być traktowany jako wyjaśnienie filtru liniowego funkcji danej jako:

B = 1 + 1B 1 + 2B

2 + ... przekształcającej biały szum w proces

stochastyczny.

Proces filtracji polega na przedstawieniu szeregu czasowego jako ważonych sum poprzednich zakłóceń losowych t

Pojęcie funkcji losowej:

Przyjmijmy, że t jest nielosową wartością rzeczywistą w zbiorze T, oraz, że T może być przedziałem skończonym

lub nieskończonym.

W zastosowaniu ekonomicznych zakłada się, że t jest zmienną czasu. Y(t) jest funkcją losową, jeżeli zna się odpowiednie dystrybuanty dowolnego zbioru zmiennych losowych czyli:

Y(t1); Y(t2)....(Ytn), gdzie ti należy do T; i = 1,2....n

Łączna dystrybuanta zmiennych losowych dana jest jako:

Ft1,t2...t2 (y1,y2...yn) = P [Y(t1) < y1; Y(t2) < y2 ...; Y(tn) <

yn]

Są to warunki zgodności; jeśli znamy dystrybuantę – zgodny, jeśli nie znamy – niezgodny

Funkcja losowa Y(t) nielosowego rzeczywistego argumentu t nazywa się procesem stochastycznym.

Wg Boxa i Jenkinsa procesem stochastycznym jest zjawisko stochastyczne zmieniające się w czasie zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa.

Proces stochastyczny z czasem dyskretnym (ozn. Yt) ma miejsce wówczas gdy zbiór argumentów t obejmuje tylko

liczby całkowite.

Pole losowe stanowi funkcję losową wielu nieskończonych argumentów.

W ekonomii polem nielosowym mogą być wydatki na żywność gospodarstw domowych, będące funkcją takich

argumentów jak: czas, grupa społeczno-ekonomiczna, dochód etc.

Charakterystyki procesu stochastycznego z czasem dyskretnym

1) średnia wartość mt = E(Yt); t = 0, 1, 2 ...

2) wariancja D2(Yt) = E(Yt - mt) 2; t = 0, 1, 2 ...

3) funkcja kowariancji K(t,s) = E[(Yt – mt)  (Ys – ms)]’ t = 0, 1, 2 ...... t  s; s – chwila

4) funkcja autokorelacyjna: R   K  

D 2

(Y )

K ( )  ; gdzie  = t – s

K (0)

5) spektrum – funkcja gęstości spektralnej: f    1

2

t 

 K ( ) ; gdzie   2i

N

; i = 0,1,2... ½ N

 t  

 docsity.com

Procesy stochastyczne stacjonarne i niestacjonarne.

Proces stacjonarny oznacza, że ciąg wag 1, 2... jest skończony lub nieskończony, zbieżny, a parametr  jest

średnią wokół, której występują wahania przypadkowe.

Proces niestacjonarny oznacza, iż ciąg wag nie spełnia warunków skończoności/nieskończoności i zbieżności, a

parametr  nie ma większego znaczenia i służy jako punkt odniesienia poziomu procesu.

Procesy stochastyczne dzielimy na:

1) stacjonarny w węższym i szerszym sensie 2) niestacjonarne

Proces stochastyczny w węższym sensie – dystrybuanta związana z n obserwacjami yt1, yt2, ..... ytn,

dokonywanymi w dowolnych momentach czasu t1, t2, ... tn, jest taka sama jak dystrybuanta związana z n-

obserwcajami yt1+k, yt2+k....ytn+k dokonywanymi w momentach t1+k, t2+k...tn+k, czyli zachodzi warunek: Ft1+k,t2+k....tn+k(yt1+k,yt2+k....ytn+k) = Ft1,t2...tn(yt1,yt2...ytn) Oznacza to, że łączna dystrybuanta dowolnego zbioru obserwacji nie ulega zmianie w czasie przy przesunięciu na osi czasu o k-całkowitych jednostek do przodu lub do tyłu.

Proces stacjonarny w sensie szerszym – ma miejsce jeżeli wartość średnia i wariancja procesu są stałe,

niezależnie od czasu t, a funkcja kowariancji zależy od różnicy t – s = , czyli spełnione są następujące warunki:

1) średnia wartość mt = E(Yt) = const.

2) wariancja D 2 (Yt) = E(Yt - mt)

2 = 

2 = const.

3) funkcja kowariancji K(t,s) = K()

Stacjonarność w węższym stacjonarność w szerszym.

Stacjonarność w szerszym sensie nie wymaga stabilności rozkładów, a jedynie stabilności pewnych parametrów tych

rozkładów (w/w).

W analizie ekonometrycznej wykorzystuje się metody procesów stacjonarnych w szerszym sensie.

Ergodyczność – oznacza, że każda poszczególna realizacja procesu stochastycznego jest pełnoprawnym

przedstawicielem całego zbioru możliwych realizacji.

Założenie o ergodyczności umożliwia obliczanie głównych charakterystyk procesu na podstawie jednej realizacji dla wystarczająco długiego okresu, czyli po czasie t, a nie na podstawie pewnej liczby realizacji danego procesu, czyli

po realizacjach.

Proces jest niestacjonarny gdy nie jest spełniony przynajmniej 1 z 3 w/w warunków

Można wyróżnić następujące procesy niestacjonarne:

1) procesy niestacjonarne w średniej, stacjonarne w wariancji

2) procesy niestacjonarne w wariancji, stacjonarne w średniej 3) procesy o niestacjonarnej funkcji kowariancji i stałych wartościach średnich

4) procesy niestacjonarne w średniej i wariancji oraz funkcji kowariancji.

Ekonomiczny proces stochastyczny przedstawiany jest jako:

Yt = Pt + St + Ct + t

Pt – trend St – wahania sezonowe Ct – wahania cykliczne (koniunkturalne)

t – nieregularne wahania przypadkowe.

Przez trend Pt rozumie się ogólne tendencje rozwojowe (kierunek rozwoju) charakteryzują dany szereg czasowy na

przestrzeni dłuższego okresu. Trend kojarzony jest z powolnymi i systematycznymi zmianami poziomu procesu

ekonomicznego zachodzącego w długim okresie pod wpływem działania silnych, trwałych przyczyn. Zakłada się, że

funkcje opisujące trend powinny zachować się gładkością i spokojnością przebiegu.

Wahania sezonowe St są wahaniami powtarzającymi się periodycznie w pewnych określonych podokresach

(miesiące, kwartały) każdego roku. Występowanie wahań sezonowych, które oscylują wokół trendu jest efektem oddziaływania podstawowych czynników sezonowych: czynniki kalendarzowe, klimatyczno-przyrodnicze oraz

docsity.com

czynników społeczno-ekonomicznych bezpośrednio lub pośrednio zależnych od podstawowych czynników

sezonowych. Ważne jest zawsze rozstrzygające o typie wahań sezonowych.

Wahania Ct są wahaniami powtarzającymi się cyklicznie z mniejszą lub większą regularnością. Uważa się je za

odzwierciedlenie wahań koniunkturalnych w gospodarce. Charakteryzują się one duża zmiennością cykli, czasu

trwania poszczególnych wielkości, amplitud. Utrudnia ten fakt prowadzenie badań.

Można wyróżnić liczby faz: 2 – ekspansja i recesja

3 – wzrost większy od trendu, wzrost zbliżony do trendu, wzrost niższy od trendu

4 – ostrzeżenie, recesja, ożywienie, ekspansja 6 – wzrost, rozkwit, ostrzeżenie, recesja, depresja, ożywienie

Wahania nieregularne t trudno jest podać jeden ich schemat. Można jednak wyróżnić wahania przypadkowe i

wahania katastrofalne.

Linii trendu nie da się oddzielić od linii wahań cyklicznych ponieważ linie te nie powstały pod działaniem

oddzielnych zespołów przyczyn.

Do początku lat 70-tych zasadą stało się rozpatrywanie trendu i wahań koniunkturalnych łącznie. Zatem proces ekonomiczny można zapisać jako: Yt = Pt + St +

t.

Z punktu widzenia teorii procesów stochastycznych model: Yt = Pt + St + t, można zapisać jako: E(Yt) = Pt +

St

Co oznacza, że model opisuje niestacjonarny proces stochastyczny ze zmienną wartością oczekiwaną. Proces

odchyleń od trendu i wahań sezonowych t jako stacjonarny o średniej równej zero.

Trend Pt procesu stochastycznego można nazwać pewną krzywą ciągłą wyznaczoną przez wartości oczekiwane

procesu w układzie współrzędnych prostokątnych, w którym oś odciętych (X) odpowiada ciągłej zmiennej czasowej t.

Proces autoregresyjny AR(p)

Proces autoregresyjny rzędu p dany jako:

Yt = 0 + 1Yt-1 + 2Yt-2 + .... + pYt-p +

t

Gdzie: 0, 1...p są parametrami procesu; p – opóźnienie czasowe;  - zakłócenia losowe i jest zmienną losową o

rozkładzie N(0,2)

Proces autoregresyjny AR(p) charakteryzuje się tym, że jego bieżąca wartość jest sumą skończonej kombinacji

liniowej poprzednich jego wartości oraz zakłócenia losowego. Proces autoregresji można traktować jako liniowe równanie regresji wielorakiej zmiany Yt względem opóźnionych

w czasie wartości tej zmiennej.

Stosując operator przesunięcia wstecz B, proces można przedstawić jako:

p(B)Yt = 0 + t gdzie: p = 1 - 1B 1 - 2B

2 - .... - pB p jest wielomianem charakterystycznym procesu

rzędu „p”.

(B) = 0 równanie charakterystyczne procesu.

Problem identyfikacji procesu autoregresyjnego AR(p)

Polega na stwierdzeniu, że rozpatrywany proces jest procesem autoregresyjnym oraz na określenie jego rzędu p.

Identyfikacja:

Polega na porównaniu własności teoretycznych funkcji autokorelacji i autokorelacji cząstkowej z zachowaniem się

współczynników autokorelacji i autokorelacji cząstkowej oszacowanych na podstawie szeregu czasowego.

Funkcja autokorelacji dana jako: Yt = 0 + 1Yt-1 + 2Yt-2 + .... + pYt-p +

t

k = 1k-1 + 2k-2 + ...... + pk-

p

gdzie k, k-1 .... k-p – współczynniki autokorelacji przy odstępie równym k, k-1, ... k-

p

0, 1...p są parametrami procesu

Jeżeli proces jest stacjonarny to rozwiązaniem jest funkcja auokorelacji składająca się z zanikających funkcji

docsity.com

wykładniczych i sinusoid tłumionych.

Podstawiając do równania: k = 1k-1 + 2k-2 + ...... + pk-p ; kolejno dla

k=1,2...p

docsity.com





 1  

 p



Otrzymujemy układ równań Yule’a-Walkera dany jako:

1  1   2 1  ....   p  p 1   2  1 1   2  ....   p  p 2  ...................................................

  1   p 1   2 

 p 2  ....   p

Zmieniając teoretyczne wartości współczynników autokorelacji na współczynniki autokorelacji k oszacowane na

podstawie szeregu czasowego otrzymane jest tzw. oszacowanie Yule’a-Walkera

Funkcja autokorelacji cząstkowej:

W celu oszacowania korzystamy równań Yule’a-Walkera

Dodatkowo przyjmuje się, że k to j-ty współczynnik w procesie autoregresji rzędu k. Oznacza to, że

ostatni współczynnik to kk, który spełnia następujący uklad równań:

j = k,1j-1 + k,2j-2 + ...... + k,k-1j-(k-1) + k,kj-k j =1,2....k

Rozwiązując równania kolejne dla k = 1,2 otrzymujemy:

1,1 = 1

 1 1 1 

 1 1   

 1

  1 2 

 2, 2  1

 1

 1

2 

 1   

 3,3   1  2

 1 1 

1  1   2 1

 3 

 2  

1  1 

 Wielkość kk jest traktowana jako funkcja odstępu k i nazywa się funkcją autokorelacji cząstkowej. W przypadku

AR(p) jest ona różna od 0 dla k  pi i równa 0 dla k > p, zatem funkcja ta urywa się w okresie p.

Wykorzystując procesy AR(p) modelowane są zarówno procesy stacjonarne jak i niestacjonarne.

Proces średniej ruchomej MA(q)

Przyjmuje, że tylko q początkowych wag procesu:

Yt = 0 + 1Yt-1 + 2Yt-2 + .... + pYt-p +

t

Jest różny od 0 to proces taki nazywamy procesem średniej ruchomej dany jako:

Yt =  + t + v1t-1 – v2t-2 - ....... - vqt-

q

t, t-1.....t-q – odchylenia losowe w okresach t, t-1, ... t-q o rozkładzie N(0, 2)

 - v1 – v2 - .... – vq – parametry modelu (wagi), q – wielkość

opóźnienia

Średnia ruchoma – wagi modelu nie muszą się sumować do jedności i mogą przyjmować wartości ujemne.

Korzystając z operatora przesunięcia wstecz, model średniej ruchomej można zapisać jako:

Yt =  + q(B) t gdzie: q(B) = 1 – v1B 1 - .... – vqB

q – wielomian charakterystyczny

q(b) = 0 – równanie charakterystyczne

Identyfikacja procesu MA(q)

Identyfikacja procesu średniej ruchomej MA(q) odbywa się przez porównanie teoretycznych i empirycznych

współczynników autokorelacji i autokorelacji cząstkowej. Przy czym teoretyczna funkcja autokorelacji tego procesu

dana jest jako:

  vk  v1vk 1  ....  vq k vq

  

1  v 2  ...v

2 ; dla _ k  1,2...q

k  1 q 

0; dla _ k  q Funkcja ta jest równa 0 dla wartości k większych niż rząd procesu oznacza, to że urywa się punkcje q.

Model średniej ruchomej jest zawsze stacjonarny, niezależnie od wartości parametrów.

docsity.com

Proces autoregresji i średniej ruchomej ARMA(p,q)

W celu zwiększenia elastyczności oraz dopasowania modelu do danych empirycznych często łączy się 2

procesy czyli AR(p) i MA(q).

Jest to spowodowane faktem, że nie zawsze możliwy jest wybór procesu o postaci AR(p) lub MA(q),

który charakteryzuje się niewielką liczbą parametrów i jest dobrze dopasowany do danych empirycznych.

Proces autoregresji i średniej ruchomej jest dany jako:

Yt = 0 + 1Yt-1 + 2Yt-2 + .... + pYt-p - v1t-1 – v2t-2 - ....... - vqt-q + t

Stosując operator przesunięcia wstecz B, proces można zapisać jako:

p(B)Yt = 0 + q(B)t

Postać funkcji autokorelacji procesu ARMA(p,q) zależy od parametrów p i q:

- jeżeli q-p < 0 to funkcja autokorelacji składa się z funkcji wykładniczych i/lub sinusoid tłumionych

- jeżeli p-q > 0 to wystąpi q-p+1 początkowych wartości 0, 1....p-q, które nie są rozważane przez ten proces.

Funkcja autokorelacji cząstkowej procesu ARMA(p,q) zachuje się jak funkcja autokorelacji cząstkowej

procesu średniej ruchomej, zależnie od rzędu średniej ruchomej wartości parametrów. Urywa się w punkcie p.

Z góry założona

stacjonarność. Proces

zintegrowany

W przypadku szeregu czasowego, który nie jest stacjonarny można go sprowadzić do stacjonarności poprzez operację różnicowania, czyli d-krotnym obliczaniu różnic sąsiednich wyrazów.

Szereg czasowy, którego pierwsze różnice są stacjonarne nazywany jest szeregiem zintegrowanym

stopnia pierwszego.

Szereg czasowy, którego drugie różnice są stacjonarne nazywany jest szeregiem zintegrowanym stopnia drugiego. Itd.

Szereg, który jest stacjonarny nazywamy zintegrowanym szeregiem stopnia

zerowego. Proces można zapisać przy pomocy tzw. operatora różnic rzędu

danego: d = (1-B)d

Proces przyjmuje postać:

yt = yt – yt-1

2yt = yt - yt-1 = (yt - yt-1) – (yt-1 – yt-2)

dyt =  d-1yt - 

d-1yt-1

Zatem jeżeli szereg czasowy dany jako (yt)t=1,2....n o liczbie wyrazów n zadziałamy operatorem

(wt)t=d+1....n = ( dyt)t=d+1....n ; którego liczba wyrazów będzie wynosić n –d.

Jeżeli szereg taki okaże się stacjonarny to można go modelować stosując, jeden z procesów AR(p),

MA(q), ARMA(p,q) określonych mianem:

 zintegrowanego procesu regresji ARI(p)

 zintegrowanego procesu średniej ruchomej IMA(q)

 zintegrowanego procesu autoregresji i średniej ruchomej ARIMA(p,d,q)

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome