Miary i ich własności - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Miary i ich własności - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok

PDF (89.0 KB)
1 strona
449Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii miary i całki: miary i ich własności.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Ogólna teoria miary

Lista 4 (miary i ich wªasno±ci)

Zad 1. Niech X b¦dzie zbiorem niesko«czonym. Sprawdzi¢, która z funkcji zbioru µi : 2X → R+, i = 1, ..., 7, jest addytywna, σ-addytywna, a która jest miar¡ na X:

µ1(A) =

{ 0, |A| < ℵ0 +∞, |A| ≥ ℵ0

, µ2(A) =

{ 0, |A| ≤ ℵ0 +∞, |A| > ℵ0

,

µ3(A) =

{ 1, x0 ∈ A 0, x0 /∈ A

, gdzie x0 ∈ X jest ustalonym punktem, µ4 ≡ const.,

µ5(A) = |A|+ 1, µ6(A) = |A|, µ7(A) = µ6(A) + µ3(A).

Zad 2. Wykaza¢, ze funkcja zbioru µ : 2N → R+ dana wzorem

a) µ(A) = ∑ n∈A

1

2n , b) µ(A) =

∑ n∈A

1

3n ,

jest miar¡ na N. Zbada¢ czy zbiór warto±ci miary µ wypeªnia caªy przedziaª [0, µ(N)] i czy z równo±ci µ(A) = µ(B) wynika, »e A = B.

Zad 3. Niech µ : R→ R+ b¦dzie addytywn¡ funkcj¡ zbioru okre±lon¡ na pier±cieniu R. Wykaza¢, »e

a) je±li µ(∅) 6= 0, to µ(A) = +∞ dla ka»dego A ∈ R,

b) je±li A,B ∈ R s¡ takie, »e A ⊂ B i µ(A) <∞, to µ(B \ A) = µ(B)− µ(A),

c) je±li A,B ∈ R s¡ takie, »e A ⊂ B, to µ(A) ≤ µ(B),

d) je±li A,B ∈ R i µ(B) = 0, to µ(A ∪B) = µ(A \B) = µ(A),

e) je±li A,B ∈ R, to µ(A) + µ(B) = µ(A ∪B) + µ(A ∩B).

Zad 4. Udowodni¢, »e je±li µ jest miar¡ na pier±cieniu R(S) generowanym przez rodzin¦ zbiorów S tak¡, »e µ(A) <∞ dla ka»dego A ∈ S, to µ jest miar¡ sko«czon¡.

Zad 5. Pokaza¢, »e je±li µ jest miar¡ na σ-pier±cieniu, to rodzina zbiorów o mierze sko«czonej tworzy pier±cie«, natomiast rodzina zbiorów o mierze σ-sko«czonej tworzy σ-pier±cie«.

Zad 6. Wykaza¢, »e je±li µ jest σ-sko«czon¡ miar¡ na σ-algebrze S oraz {Ai}i∈I ⊂ S jest rodzin¡ zbiorów parami rozª¡cznych, to zbiór {i ∈ I : µ(Ai) > 0} jest przeliczalny.

Zad 7. Niech µ b¦dzie miar¡ na pier±cieniu R. Wykaza¢, »e relacja ∼ okre±lona na R warunkiem

A ∼ B ⇐⇒ µ(A∆B) = 0 jest relacja równowa»no±ci. Ponadto pokaza¢, »e:

a) Je±li A ∼ B, to µ(A) = µ(B) = µ(A ∩B). Czy zachodzi implikacja odwrotna?

b) Je±li µ jest miar¡ sko«czon¡, to wzór

ρ([A], [B]) = µ(A∆B),

gdzie A, B s¡ reprezentantami klas abstrakcji [A], [B], okre±la metryk¦ na prze- strzeni ilorazowej R/ ∼.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome