Matematyka - Notatki - Algebra - Część 3, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics
Irena85
Irena8524 March 2013

Matematyka - Notatki - Algebra - Część 3, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics

PDF (2.9 MB)
90 strona
888Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu algebry: matematyka. Część 3.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 90
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

MATEMATYKA 11. GRANICA FUNKCJI

Rozwiązanie 11.3 • Przekształcimy wyrażenie

(2x+ 1) sin 1

x = (2x+ 1) · 1

x · sin 1

x 1 x

= 2x+ 1

x · sin 1

x 1 x

Następnie obliczymy granicę iloczynu funkcji 2x+ 1

x i sin

1 x

1 x

:

lim x→∞

2x+ 1

x · sin 1

x 1 x

= lim x→∞

2x+ 1

x · lim x→∞

sin 1 x

1 x

= lim x→∞

2 + 1 x

1 · 1 = 2

• W tym przypadku różnicę ¡√ 1 + x−√x

¢ pomnożymy i podzielimy przez sumę¡√

1 + x+ √ x ¢ . Otrzymamy

√ 1 + x−√x =

¡√ 1 + x−√x

¢ ¡√ 1 + x+

√ x ¢ · 1√ 1 + x+

√ x =

= 1 + x− x√ 1 + x+

√ x =

1√ 1 + x+

√ x

A więc

lim x→∞

³√ 1 + x−

√ x ´ = lim x→∞

1√ 1 + x+

√ x = 0

• Przekształcamy x− c x2 − c2 =

x− c (x− c) (x+ c)

x6=c =

1

x+ c

Zatem lim x→c

x− c x2 − c2 = limx→c

1

x+ c = 1

2c (c 6= 0)

• Podzielimy licznik i mianownik przez x : lim x→∞

2x+ 1

x = lim x→∞

2 + 1 x

1 = 2

• Porównaj definicję liczby e oraz przykłady z nią związane

lim x→∞

µ 1 +

1

x

¶x = e

• Ponieważ ex 6= 0, to ex (2 + sinx)

ex = 2 + sinx

Zatem

lim x→∞

ex (2 + sinx)

ex = lim x→∞

(2 + sinx) - granica nie istnieje

181

docsity.com

12. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI MATEMATYKA

12 Ciągłóśc funkcji

Niech funkcja f (x) będzie okréslona na pewnym otoczeniu U punktu x0, czyli na zbiorze U (x0; δ) = (x0 − δ;x0 + δ), gdzie δ jest pewną liczbą dodatnią.

Definicja 12.1 Funkcję f (x) nazywamy ciągłą w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

lim x→x0

f (x) = f (x0) (512)

Uwaga 12.1 Ponieważ istnieją dwie równoważne definicje granicy funkcji, więc z uwagi na (512) istnieją dwie równoważne definicje ciągłósci funkcji - Definicja Heinego i Cauchy’ego. Warunek (512) odpowiada warunkowi

lim h→0 f (x0 + h) = f (x0) (513)

gdzie: h− przyrost argumentu funkcji; często oznaczany również jako ∆x34:

∆x = x− x0 (514)

Różnicę wartósci funkcji w punktach x i x0 oznaczamy

∆f = f (x)− f (x0) (515)

i nazywamy przyrostem wartósci funkcji odpowiadającym w punkcie x0 przyrostowi argumentu ∆x. Używając tych oznaczeń i terminów możemy Definicję 12.1 ciągłósci funkcji zapisać

lim ∆x→0

∆f = 0 (516)

i wypowiedziéc następująco: Funkcję f (x) nazywamy ciągłą w punkcie x0, jeżeli nieskończenie małemu przyrostowi argumentu odpowiada w punkcie x0 nieskończenie mały przyrost wartósci funkcji35.

Uwaga 12.2 (Działania na funkcjach)

1. Suma, różnica oraz iloczyn funkcji ciągłych w punkcie x0 jest funkcją ciągłą w tym punkcie.

34∆x traktujemy jako jeden znak. Zapis ∆x2 oznacza kwadrat przyrostu ∆x, czyli jest równoważny (∆x)2, a nie przyrost kwadratu argumentu x, czyli x2. 35Definicja ciągłósci funkcji według Heinego i Cauchy’ego. Funkcję f (x), okrésloną w otoczeniu x0, nazywamy ciągłą w punkcie x0, jésli:

- Heine: Każdemu ciągowi (xn) argumentów, zbieżnemu do x0 odpowiada ciąg wartósci funkcji (f (xn)) zbieżny do f (x0)

∀(xn)n∈N ³ ∀n xn ∈ Df ∧ lim

n→∞ xn = x0

´ =⇒ lim

n→∞ f (xn) = f (x0)

- Cauchy: Dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 taka, że dla dowolnego x różniącego się od x0 mniej niż o δ wartóśc funkcji f (x) różni się od wartósci f (x0) mniej niż o ε

∀ε > 0 ∃δ > 0 (∀x ∈ Df |x− x0| < δ =⇒ |f (x)− f (x0)| < ε)

182

docsity.com

MATEMATYKA 12. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

2. Iloraz funkcji ciągłych w punkcie x0 jest funkcją ciągłą w tym punkcie przy założeniu, że dzielnik jest różny od zera w punkcie x0.

3. Dowolny wielomian W (x) jest funkcją ciągłą w każdym punkcie zbioru R.

4. Dowolna funkcja wymierna (iloraz dwóch wielomianów) jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny naturalnej

P (x)

Q (x) (517)

R− {x : Q (x) = 0} (518)

5. Funkcje sinx, cosx, ax, a > 0 są ciągłe w swojej dziedzinie naturalnej.

Definicja 12.2 Funkcję nazywamy ciągłą na przedziale otwartym (skończonym lub nieskoń- czonym) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

Definicja 12.3 Funkcję nazywamy prawostronnie (albo lewostronnie) ciągłą w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

lim x→x0+

f (x) = f (x0) (519)

lub odpowiednio lim x→x0−

f (x) = f (x0) (520)

Definicja 12.4 Funkcja jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie jednoczésnie prawostronnie i lewostronnie ciągła.

Definicja 12.5 Funkcję nazywamy ciągłą na przedziale domkniętym ha; bi wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie x0 ∈ (a; b), prawostronnie ciągła w punkcie a oraz lewostronnie ciągła w punkcie b.

12.1 Własnósci funkcji ciągłych

W pierwszej kolejnósci przytoczymy twierdzenia o ciągłósci funkcji złożonej w punkcie.

Twierdzenie 12.1 Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x0 i funkcja h (u) jest ciągła w punkcie u0 = f (x0), to funkcja złożona h [f (x)] jest ciągła w punkcie x0.

Twierdzenie 12.2 Jeżeli istnieje granica włásciwa lim x→x0

f (x) = g i funkcja h (u) jest ciągła

w punkcie u0 = g, to

lim x→x0 h [f (x)] = h

∙ lim x→x0 f (x)

¸ = h (g) (521)

Przykład 12.1 Obliczyć

lim x→0

cosh2 µ sinx

x

¶ (522)

183

docsity.com

12. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI MATEMATYKA

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2

( )xfy =

( )xfy =

ε+L

ε−L

L

ε+L

ε−L

L

a

a

2. Znajdujemy oraz wyznaczamy

−+ δδ , ( )−+ δδ=δ ,min

1. Wybieramy dowolne ε

3. Gdy zachodzi , to musi zachodzic

δ<−< ax0 ( ) ε<− Lxf

( )δ−af

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2

( )xfy = ε+L

ε−L

L

a +δ −δ

Rysunek 63: Ciągłóśc funkcji.

184

docsity.com

MATEMATYKA 12. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

0

0.5

1

1.5

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2

( )xfy =

L

a

0

0.5

1

2

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2

( )xfy =

( )aL f=

a

funkcja nieciągła

0

0.5

1

1.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.4 1.6 1.8 2

L

( ) +La ,f

a

funkcja nieciągła

funkcja ciągła

( )af

( )xfy =

Funkcja f(x) jest ciągła w punkcie wewnętrznym x=a

swojej dziedziny, gdy

1. Istnieje ( ) L=→ xfaxlim

2. Istnieje wartość funkcji ( )af

3. ( )aL f=

Rysunek 64: Funkcja ciągła i nieciągła.

185

docsity.com

12. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI MATEMATYKA

Rozwiązanie 12.1 Ponieważ lim x→0

sinx

x = 1 i funkcja cosh2 u jest ciągła w punkcie u0 = 1, to

lim x→0

cosh2 µ sinx

x

¶ = cosh2

µ lim x→0

sinx

x

¶ = cosh2 1 (523)

Odp. cosh2 1 = µ e1 + e−1

2

¶2 = 1

4 (e2 + e−2 + 2).

Twierdzenie 12.3 (O własnósci Darboux) Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na przedziale domkniętym ha; bi oraz f (a) 6= f (b) i istnieje

liczba q zawarta miedzy f (a) i f (b), to istnieje również taki punkt c ∈ (a; b), że f (c) = q.

Definicja 12.6 Funkcję f (x) nazywamy jednostajnie ciągłą na przedziale x wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x1;x2 ∈ X (|x1 − x2| < δ =⇒ |f (x1)− f (x2)| < ε) (524)

Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest na tym przedziale jednostajnie ciągła.

12.2 Przykłady

Przykład 12.2 Obliczyć granicę

lim x→0

sin 5x

x

Rozwiązanie 12.2 Przyjmijmy, że 5x = y = f (x). Zatem

sin 5x

x = 5

sin y

y = h (y)

Stąd

lim x→0

sin 5x

x = lim x→0

5 sin 5x

5x = lim y→0

5 sin y

y = 5 lim

y→0

sin y

y = 5

Przykład 12.3 Obliczyć granicę lim x→π

2

cosx

2x− π

Rozwiązanie 12.3 Wykonamy podstawienie y = 2x−π. Stąd cosx = cos ¡ y 2 + π

2

¢ = − sin y

2 .

Jeżeli x→ π 2 , to y → 0. Czyli

lim x→π

2

cosx

2x− π = limy→0

µ − sin y

2

y

¶ = − lim

y→0

sin y 2

2y 2

= −1 2

Przykład 12.4 Obliczyć granicę

lim x→0

√ x+ 1− 1 x

186

docsity.com

MATEMATYKA 12. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Rozwiązanie 12.4 Mamy tu do czynienia z nieoznaczonóscią typu 0 0 . Pomnożymy licznik i

mianownik przez √ x+ 1 + 1. Otrzymamy

√ x+ 1− 1 x

=

¡√ x+ 1− 1

¢ ¡√ x+ 1 + 1

¢ x ¡√ x+ 1 + 1

¢ = x+ 1− 1 x ¡√ x+ 1 + 1

¢ = =

x

x ¡√ x+ 1 + 1

¢ = 1√ x+ 1 + 1

A więc

lim x→0

√ x+ 1− 1 x

= lim x→0

1√ x+ 1 + 1

= 1

1 + 1 = 1

2

Przykład 12.5 Obliczyć granicę lim x→+∞

3x2+1√ 16+x4

Rozwiązanie 12.5

lim x→+∞

3x2 + 1√ 16 + x4

= lim x→+∞

3x2+1 x2√ 16+x4

x2

= lim x→+∞

3 + 1 x2q

16 x4 + x

4

x4

=

= lim x→+∞

3 + ¨ §

¥ ¦1x2 %0r

1 + ¨ §

¥ ¦16x4 %0

= 3

1 = 3

Zapis ¨ §

¥ ¦1x2 %0 oznacza, że wyrażenie w owalu przy x→∞ zdąża do zera.

Przykład 12.6 Obliczyć granicę lim x→−∞

x3

1+x2

Rozwiązanie 12.6

lim x→−∞

x3

1 + x2 = lim x→−∞

x3

x2

1 x2 + x

2

x2

= lim x→−∞

x¨ §

¥ ¦1x2 %0 + 1

= −∞

Przykład 12.7 Dane jest równanie m2x2−(2 + 3m2)x+6 = 0 z niewiadomą x i parametrem m. Do jakich granic dążą pierwiastki tego równania, gdy

a) m→ −∞; b) m→ 0; c) m→ +∞

Rozwiązanie 12.7 Obliczamy wartósć pierwiastków równania. W tym celu wyznaczamy wartósć δ:

δ = (2 + 3m2) 2 − 4 · 6 ·m2 = (2 + 3m2)2 − 24m2 =

= 4 + 12m2 + 9m4 − 24m2 = 4− 12m2 + 9m4 =

= (2− 3m2)2

187

docsity.com

12. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI MATEMATYKA

a następnie obliczamy pierwiastki

x1 = 2 + 3m2 + (2− 3m2)

2m2 =

2

m2 x2 =

2 + 3m2 − 2 + 3m2 2m2

= 3

m→ +∞ =⇒ x1 = 0, x2 = 3 m→ 0 =⇒ x1 = +∞, x2 = 3 m→−∞ =⇒ x1 = 0, x2 = 3

Przykład 12.8 Obliczyć granice

a) lim x→∞

µ 1 +

3

x

¶x b) lim x→0

1− cosx x2

c) lim x→∞

µ 1 +

1

x

¶√x d) lim x→0

1− cos2 x x2

Odp. a) e3; b) 1 2 ; c) 1; d) 1

Rozwiązanie 12.8 b) Przekształcamy wyrażenie 1−cosx x2

. Z trygonometrii znamy tożsamósć dla funkcji kąta połówkowego

1− cosx 2

= sin2 x

2 Stąd

1− cosx x2

= 2 sin2 x

2

x2 = 1

2

µ sin x

2 x 2

¶2 A więc

lim x→0

1− cosx x2

= lim x→0

1

2

µ sin x

2 x 2

¶2 = 1

2

c) Przyjmijmy, że

P =

µ 1 +

1

x

¶√x =

µ 1 +

1

x

¶ x√ x

=

µ 1 +

1

x

¶x· 1√ x

Logarytmując obustronnie powyższe wyrażenie, otrzymujemy

lnP = ln

∙µ 1 +

1

x

¶x¸ 1√ x

Stąd

lnP = 1√ x ln

µ 1 +

1

x

¶x Przechodząc do granicy mamy

lim x→∞

1√ x ln

µ 1 +

1

x

¶x = lim

x→∞

1√ x · ln lim

x→∞

µ 1 +

1

x

¶x =

= lim x→∞

1√ x · ln e = lim

x→∞

1√ x = 0

Zatem lnP = 0

A więc P = 1. Odp. lim x→∞

¡ 1 + 1

x

¢√x = 1.

188

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

13 Pochodne funkcji jednej zmiennej

13.1 Pochodna funkcji

Załóżmy, że funkcja f (x) jest okréslona na pewnym otoczeniu U punktu x0. Symbolem ∆x oznaczamy przyrost zmiennej x, który może býc dodatni albo ujemny, lecz różny od zera i taki, że x0 +∆x ∈ U .

Definicja 13.1 (Ilorazu różnicowego) Iloraz

∆f

∆x def = f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x (525)

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f (x) w punkcie x0 i dla przyrostu ∆x zmiennej x.

Uwaga 13.1 Nazwa ilorazu różnicowego pochodzi stąd, że w liczniku mamy różnicę wartósci funkcji, zás w mianowniku różnicę wartósci argumentu, gdyż ∆x = x0 +∆x − x0 (patrz rys. 65).

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.6 1.8 2

( )xf

0x 1.0 xx ∆+0

( ) ( )00 xfxxf y

−∆+ =∆

( ) ( ) x

xfxxf x y

∆ −∆+

= ∆ ∆ 00

x

Rysunek 65: Iloraz różnicowy.

Definicja 13.2 Jeżeli iloraz różnicowy (525) ma granicę włásciwą, gdy ∆x dąży do zera (patrz 66), to tę granicę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f 0 (x0)

36 tzn.

f 0 (x0) def = d f

dx (x0) = lim

∆x→0

f (x0 +∆x)− f (x0) ∆x

(526)

Uwaga 13.2 Jeżeli granica (526) istnieje, to mówimy, że funkcja f ma pochodną w punkcie x0 lub, że jest różniczkowalna w tym punkcie. Jeżeli granica (526) nie istnieje, to mówimy, że pochodna f 0 (x0) nie istnieje.

36Często, w przypadku funkcji jednej zmiennej, również stosujemy zapis d f dx .

189

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Przykład 13.1 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = x2 w punkcie x0 = 2.

Rozwiązanie 13.1 Tworzymy iloraz różnicowy funkcji f (x) = x2 w punkcie x0 = 2 dla przyrostu ∆x i obliczamy jego wartósć

∆f

∆x = f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x = (2 +∆x)2 − 22

∆x =

= 1

∆x

¡ 4 + 4∆x+∆x2 − 4

¢ = 4 +∆x

Zatem lim ∆x→0

∆f

∆x = lim ∆x→0

(4 +∆x) = 4. Odp. 4

Przykład 13.2 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = x3 w punkcie x0.

Rozwiązanie 13.2 Tworzymy iloraz różnicowy funkcji i obliczamy jego wartósć:

∆f

∆x = (x0 +∆x)

3 − x30 ∆x

= 1

∆x (x30 + 3x

2 0∆x+ 3x0∆x

2 +∆x3 − x30) =

= 3x20 + 3x0∆x+∆x 2

Stąd lim ∆x→0

∆f

∆x = lim ∆x→0

(3x20 + 3x0∆x+∆x 2) = 3x20. Odp. f

0 (x0) = 3x 2 0

Przykład 13.3 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = 1 x w punkcie x0 (x0 6= 0).

Rozwiązanie 13.3

f 0 (x0) = lim ∆x→0

∆f

∆x = lim ∆x→0

1 x0+∆x

− 1 x0

∆x = lim ∆x→0

−1 x0 (x0 +∆x)

= −1 x20

Odp. f 0 (x0) = − 1x20 , x0 6= 0.

Twierdzenie 13.1 (O różniczkowalnósci i ciągłósci funkcji) Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, to jest w tym punkcie ciągła.

Dowód 13.1 Istotnie, ponieważ

f (x0 +∆x)− f (x0) = f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x ·∆x

więc, gdy ∆x → 0, to różnica f (x0 +∆x) − f (x0) dąży do iloczynu f 0 (x0) · 0, czyli do 0. Podstawiając x = x0 +∆x, mamy x→ x0

lim x→x0

[f (x)− f (x0)] = 0 czyli lim x→x0

f (x) = f (x0) (527)

co świadczy o ciągłósci funkcji f w punkcie x0.

190

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.4 1.6

( ) ( ) ( ) x

xfxxfxf x ∆ −∆+

= →∆ 00

00 lim'

x

( )xf

0x xx ∆+0

Rysunek 66: Pochodna jako granica funkcji.

Uwaga 13.3 Ciągłósć funkcji jest zatem warunkiem koniecznym istnienia pochodnej, chóc nie jest warunkiem wystarczającym. Świadczy o tym przykład funkcji |x| ciągłej w punkcie 0 i nie mającej w tym punkcie pochodnej. Z definicji funkcji |x| mamy:

y(x) = |x| =

⎧⎨⎩ −x jeżeli x < 0 x jeżeli x ≥ 0

(528)

Wówczas ilorazy różnicowe są następujące

∆f

∆x =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ −(x0 +∆x)− (−x0)

∆x = −∆x ∆x

= −1 jeżeli x0 < 0

(x0 +∆x)− x0 ∆x

= ∆x

∆x = 1 jeżeli x0 > 0

Zatem

f 0(x0) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ lim x→x0

∆f

∆x = lim x→0−

−(x0 +∆x)− (−x0) ∆x

= −∆x ∆x

= −1 jeżeli x0 < 0

lim x→x0

∆f

∆x = lim x→0+

(x0 +∆x)− x0 ∆x

= ∆x

∆x = 1 jeżeli x0 > 0

nie ma granicy, gdy ∆x→ 0.

Definicja 13.3 Jeżeli pochodna f 0 (x0) istnieje w każdym punkcie x0 zbioru X, to funkcję f 0 (x) okrésloną na zbiorze X nazywamy pochodną funkcji f (x) - krótko: ”pochodną f (x)”.

Uwaga 13.4 Jeżeli y = f (x), to zamiast f 0 (x) piszemy także y0.

Twierdzenie 13.2 Jeżeli istnieją pochodne f 0 (x), g0 (x), to:

[f (x)± g (x)]0 = f 0 (x)± g0 (x) (529)

191

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

[f (x) · g (x)]0 = f 0 (x) g (x) + f (x) g0 (x) (530)

∙ f (x)

g (x)

¸0 = f 0 (x) g (x)− f (x) g0 (x)

[g (x)]2 (531)

Twierdzenie 13.3 Jeżeli funkcje u, v, w są różniczkowalne w pewnym punkcie, to pochodna iloczynu tych funkcji uvw dana jest wzorem

(u (x) v (x)w (x))0 = u (x)0 v (x)w (x) + u (x) v (x)0w (x) + u (x) v (x)w (x)0 (532)

W poniższej tabeli podane są pochodne wybranych funkcji jednej zmiennej.

f (x) f 0 (x) Uwagi, ograniczenia c 0 funkcja stała xα αxα−1 ∀x, gdy α ∈ N

∀x 6= 0, gdy α ∈ Z37 ∀x > 0, gdy α ∈ R

n √ x

1

n n √ xn−1

∀x > 0, gdy n = 2, 4, 6, . . . ∀x 6= 0, gdy n = 3, 5, 7, . . .

ax ax ln a ∀x, gdy a > 0

ex ex e = lim x→∞

µ 1 +

1

x

¶x sinx cosx ∀x cosx − sinx ∀x loga x

1

x ln a a > 0, a 6= 1 ∀x > 0

lnx 1

x ∀x > 0

arccosx − 1√ 1− x2

∀x ∈ (−1, 1)

arcsinx 1√ 1− x2

∀x ∈ (−1, 1)

arctanx 1

1 + x2 ∀x

arccotx − 1 1 + x2

∀x sinhx coshx ∀x coshx sinhx ∀x arsinhx

1√ 1 + x2

∀x

arcoshx 1√ x2 − 1

|x| > 1

Tablica 2: Pochodne wybranych funkcji

192

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

13.1.1 Pochodna funkcji odwrotnej

Twierdzenie 13.4 Jeżeli funkcja x = f (y) jest silnie monotoniczna i ma pochodną f 0 (y) 6= 0 na przedziale Y , to funkcja odwrotna y = f−1 (x) = ϕ (x) ma pochodną£

f−1 (x) ¤0 =

1

f 0 [f−1 (x)] (533)

na przedziale f (Y ).

Jeżeli funkcje f (x) i ϕ (y) są wzajemnie odwrotne, to

y = f (x) ⇐⇒ x = ϕ (y) y +∆y = f (x+∆x) ⇐⇒ x+∆x = ϕ (y +∆y) ∆y = f (x+∆x)− f (x) ⇐⇒ ∆x = ϕ (y +∆y)− ϕ (y)

a ponieważ funkcja jest silnie monotoniczna, to ∆x 6= 0⇐⇒ ∆y 6= 0 i

f 0 (x) = f (x+∆x)− f (x)

∆x = ∆y

∆x = 1 ∆x ∆y

= 1

ϕ(y+∆y)−ϕ(y) ∆y

= 1

ϕ0 (y)

A więc

f 0 (x) = 1

ϕ0 (y) (534)

Przykład 13.4 Obliczyć pochodną funkcji y = arcsinx (−1 < x < 1) , przy czym −π 2 < y <

π 2 .

Rozwiązanie 13.4 Jest to funkcja odwrotna względem funkcji x = sin y. Funkcja ta ma pochodną dx

d y = cos y. Na mocy twierdzenia 13.4 istnieje pochodna d y

dx

d y

dx = d

dx (arcsinx) =

1 dx d y

= 1

cos y =

1p 1− sin2 y

= 1√ 1− x2

(535)

Wyłączylísmy wartósci x = ±1, ponieważ dla wartósci y = ±π 2 pochodna cos y = 0.

Przykład 13.5 Obliczyć pochodną funkcji y = arccosx (−1 < x < 1) , przy czym −π 2 < y <

π 2 .

Rozwiązanie 13.5 Jest to funkcja odwrotna względem funkcji x = cos y. Funkcja ta ma pochodną dx

d y = − sin y. Korzystając z twierdzenia 13.4 mamy dla d y

dx

d y

dx = d

dx (arccosx) =

1 dx d y

= 1

− sin y = − 1p

1− cos2 y = − 1√

1− x2 (536)

Przykład 13.6 Obliczyć pochodną funkcji y = arctanx (−∞ < x <∞). Rozwiązanie 13.6 Funkcja x = tan y ma pochodną równą dx

d y = 1

cos2 y . Postępują jak powyżej

mamy:

d y

dx = d

dx (arctanx) =

1 dx d y

= 1 1

cos2 y

= cos2 y = cos2 y

sin2 y + cos2 y =

1

1 + tan2 y =

1

1 + x2 (537)

Przykład 13.7 Obliczyć pochodną funkcji odwrotnej do funkcji y = ex.

Rozwiązanie 13.7 Funkcją odwrotną do funkcji y = ex jest funkcja x = ln y. Na mocy (534) mamy

x0 = (ln y)0 = 1

(ex)0 = 1

ex = 1

y

193

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

13.1.2 Pochodna funkcji złożonej

Twierdzenie 13.5 Jeżeli funkcja u = h (x) ma pochodną h0 (x) oraz funkcja y = f (u) ma pochodną f 0 (u), to funkcja złożona y = f [h (x)] ma pochodną

y0 = f 0[h (x)] · h0 (x) (538)

Ze wzoru tego wynika, że pochodna funkcji złożonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej. W symbolice Leibniza wzór ten ma postác:

d y

dx = d y

du · du dx

Jeżeli funkcja jest złożona według schematu

y (u (v (x))) (539)

to jej pochodna wyraża się wzorem

d y

dx = d y

du · du d v

· d v dx

(540)

Przykład 13.8 Obliczyć pochodną funkcji y = arctan 1

1− lnx .

Rozwiązanie 13.8 Mamy: y = arctanu; u = 1/v, v = 1− lnx, zatem (patrz Tabela 2):

d y

dx =

1

1 + u2 · µ − 1 v2

¶ · µ −1 x

¶ =

1

1 + ¡

1 1−lnx

¢2 ·µ −1(1− lnx)2 ¶ · µ −1 x

¶ =

1

x ¡ 2− 2 lnx+ ln2 x

¢ Przykład 13.9 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = ln sinx (patrz (538)).

Rozwiązanie 13.9 Mamy ln sinx = lnu |u=sinx . Zatem

(ln sinx)0 = (lnu)0 ¯̄̄̄ u=sinx · u0 =

1

u · (sinx)0 = 1

u |u=sinx · cosx =

= 1

sinx · cosx = cotx

Przykład 13.10 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = ekx.

Rozwiązanie 13.10 Podstawmy ekx = eu |u=kx , zatem¡ ekx ¢0 = (eu)0

¯̄ u=kx

· u0 = eu · (kx)0 = eu|u=kx · k = ekx · k = kekx

Przykład 13.11 Obliczyć pochodną funkcji y = √ 1 + x2.

Rozwiązanie 13.11 Ponieważ y = √ u, u = 1 + x2, zatem³√

1 + x2 ´0 = ¡√ u ¢0 ¯̄̄ u=1+x2

· u0 = 1 2 √ u · 2x = x√

1 + x2 .

Pochodną tę możemy również wyznaczyć posługując się innym zapisem

d y

dx = d y

du · du dx

= 1

2 √ u · 2x = x√

1 + x2

194

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

13.1.3 Pochodna funkcji wyznaczonej w postaci parametrycznej

Niech funkcja y = f (x) będzie zdefiniowana równaniami parametrycznymi x = x (t) , y = y (t) , t−parametr. Wówczas jej pochodne obliczamy z poniższych wzorów

d y

dx = y0t x0t =

d y

d t dx

d t

(541)

d2 y

dx2 = x0y00 − y0x00

(x0)2

przy czym różniczkowanie zachodzi względem parametru t, tj. y0 = d y d t , x0 = dx

d t oraz x0 6= 0.

Przykład 13.12 Obliczyć d y dx , jeżeli x (t) = t3 + 3t+ 1, y (t) = 3t5 + 5t3 + 1.

Rozwiązanie 13.12 Mamy

y0t = d y

d t = 15t4 + 15t2

stąd d y

dx = 15t4 + 15t2

3t2 + 3 = 5t2

x0t = dx

d t = 3t2 + 3

13.1.4 Pochodne jednostronne

Niekiedy interesują nas wartósci pochodnych na krańcach przedziału, w którym analizujemy daną funkcję. Wówczas mamy do czynienia z pochodnymi jednostronnymi.

Definicja 13.4 Pochodną lewostronną funkcji f (x) w punkcie x0 (symbol f 0− (x0) lub f 0 (x0−))

oraz pochodną prawostronną funkcji f (x) w punkcie x0 (symbol f 0+ (x0) lub f 0 (x0+) okréslamy

następująco:

f 0 (x0−) def = lim ∆x→0−

f (x0 +∆x)− f (x0) ∆x

= lim x→x−0

f (x0 +∆x)− f (x0) ∆x

(542)

f 0 (x0+) def = lim ∆x→0+

f (x0 +∆x)− f (x0) ∆x

= lim x→x+0

f (x0 +∆x)− f (x0) ∆x

(543)

Szczególnym przypadkiem funkcji, która ma pochodne jednostronne jest funkcja y = |x|

f 0(x0) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ lim x→0−

−(x0 +∆x)− (−x0) ∆x

= −∆x ∆x

= −1 jeżeli x0 < 0

lim x→0+

(x0 +∆x)− x0 ∆x

= ∆x

∆x = 1 jeżeli x0 > 0

Pochodna funkcji istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne istnieją i są sobie równe:

f 0 (x) = f 0 (x0−) = f 0 (x0+)

1. Funkcja f (x) = √ 1− x2 jest ciągła w przedziale < −1; 1 > oraz różniczkowalna we

wnętrzu tego przedziału. Istnieją pochodne jednostronne f 0 (x = −1+) oraz f 0 (x = 1−).

2. Funkcja |sinx| jest ciągła w przedziale (−∞;∞) i różniczkowalna w każdym przedziale, którego wnętrze nie zawiera punktów kπ, k = 0, ±1, ±2, . . . (patrz rys. 67 b).

195

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

13.1.5 Pochodne nieskończone w punkcie

bπ π2

xsin

a 1− 1

21 x

Rysunek 67: Pochodne jednostronne i nieskończone.

Jeżeli granica (ewentualnie granica jednostronna) ilorazu różnicowego jest równa +∞ lub −∞, to mówimy, że funkcja ma w danym punkcie pochodną (ewentualnie pochodną jednostronną) nieskończoną, równą +∞ lub −∞.

1. Funkcja 3 √ x ma w punkcie x = 0 pochodną równą +∞, bowiem f (0 +∆x)− f (0)

∆x =

3 √ ∆x

∆x =

1 3 √ ∆x2

→ +∞ dla ∆x → 0. Funkcja ta jest ciągła, a jej wykres ma w odpowiednim punkcie styczną pionową.

2. Funkcja f (x) = √ 1− x2 ma pochodną równą f 0 (x) = − x√

1− x2 . W prawostronnym

otoczeniu punktu x = −1 + ∆x pochodna przyjmuje wartóśc +∞, a w lewostronnym otoczeniu punktu x = +1−∆x przyjmuje wartóśc −∞ (patrz rys. 67 a).

Uwaga 13.5 (O istnieniu pochodnych)

1. Istnienie f 0 (x0) zapewnia istnienie f 0 (x0−) i f 0 (x0+), ale nie na odwrót.

2. Jeżeli funkcja f (x) ma pochodną na przedziale (a; b) oraz istnieją f 0 (a+) i f 0 (b−), to mówimy, że istnieje f 0 (x) na przedziale domkniętym ha; bi.

3. Niekiedy piszemy f (0) (x) zamiast f (x) oraz f (1) (x) zamiast f 0 (x) : f (1) (x) ≡ f 0 (x). Ogólnie pochodną rzędu n (n−tą pochodną funkcji f (x)) oznaczamy symbolem f (n) (x) i okréslamy następująco:

f (n) (x) def = £ f (n−1) (x)

¤0 (544)

Zamiast f (2) (x) , f (3) (x) , . . . używamy także symboli f 00 (x), f 000 (x).

13.2 Przykłady

Przykład 13.13 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = sinx.

Rozwiązanie 13.13 Ponieważ

∆f

∆x =

sin (x+∆x)− sinx ∆x

= 2 sin x+∆x−x

2 cos x+∆x+x

2

∆x =

= sin ∆x

2 ∆x 2

· cos µ x+ ∆x

2

¶ 196

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Zatem

d f

dx = f

0 (x) = lim

∆x→0

∆f

∆x = lim ∆x→0

sin ∆x 2

∆x 2

· cos µ x+ ∆x

2

¶ = 1 · cosx = cosx (545)

czyli (sinx)0 = cosx.

Przykład 13.14 Wykorzystując wzór (544) wyznacz drugą pochodną funkcji f(x) = sinx.

Rozwiązanie 13.14 Ponieważ f(x) = f (0) = sinx, a f 0(x) = f (1) = cosx, to

f 00(x) = f (2)(x) = (f 0(x)) 0 = (cosx)0 = − sinx

Odp. Druga pochodna funkcji f(x) = sinx ma postać f 00(x) = − sinx.

Przykład 13.15 Oblicz drugą pochodną wielomianu f(x) = 3x3 − 2x2 + x− 8.

Rozwiązanie 13.15

f 0(x) = 3 · 3x2 − 2 · 2x+ 1 = 9x2 − 4x+ 1 f 00(x) = [f 0(x)]

0 = 2 · 9x− 4 = 18x− 4

Odp. Druga pochodna funkcji f(x) = 3x3 − 2x2 + x− 8 ma postać f 00(x) = 18x− 4.

Przykład 13.16 Wyznacz drugą pochodną funkcji f(x) = tanx.

Rozwiązanie 13.16 Ponieważ

d f

dx = f 0(x) = (tanx)0 =

µ sinx

cosx

¶0 = cosx · cosx− sinx · (− sinx)

cos2 x =

1

cos2 x =

= 1 + tan2 x zatem d2 f

dx2 = f 00(x) = (1 + tan2 x)0 = 2 tanx · 1

cos2 x = 2 sinx

cos3 x

Odp. Druga pochodna funkcji f(x) = tanx ma postać f 00(x) = 2 sinx cos3 x

.

Przykład 13.17 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = √ x dla x > 0.

Rozwiązanie 13.17 Niech x > 0 oraz x+∆x > 0. Zatem

∆f

∆x =

√ x+∆x−√x ∆x

=

√ x+∆x−√x ∆x

· √ x+∆x+

√ x√

x+∆x+ √ x =

1√ x+∆x+

√ x

Stąd

f 0 (x) = lim

∆x→0

∆f

∆x = lim ∆x→0

1√ x+∆x+

√ x =

1

2 √ x

(546)

Przykład 13.18 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = loga x, x > 0

197

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Rozwiązanie 13.18 Załóżmy, że ∆x > 0. Zatem

f (x+∆x)− f (x) ∆x

= loga (x+∆x)− loga x

∆x =

1

∆x loga x+∆x

x = 1

x · x ∆x

loga

µ 1 + ∆x

x

¶ Przyjmując, że z = x

∆x otrzymujemy

f (x+∆x)− f (x) ∆x

= 1

x · z loga

µ 1 +

1

z

¶ = 1

x loga

µ 1 +

1

z

¶z Jeżeli ∆x→ 0, to z = x

∆x →∞, a więc na mocy Definicji 11.9 mamy

lim z→∞

µ 1 +

1

z

¶z = e (547)

Dzięki ciągłósci funkcji logarytmicznej otrzymujemy38

lim z→∞

loga

µ 1 +

1

z

¶z = loga e =

1

loge a =

1

ln a

Zatem

f 0 (x) = (loga x) 0 = lim

∆x→0

∆f

∆x = lim ∆x→0

1

x loga

µ 1 +

1 x ∆x

¶ x ∆x

= 1

x loga e =

1

x ln a

Czyli

(loga x) 0 =

1

x ln a (548)

Jeżeli a = e, to loge x = lnx i

(lnx)0 = 1

x (549)

Przykład 13.19 Obliczyć pochodną funkcji wykładniczej y = ax, a > 0.

Rozwiązanie 13.19 Na podstawie definicji pochodnej mamy

(ax)0 = lim ∆x→0

ax+∆x − ax ∆x

= lim ∆x→0

ax a∆x − 1 ∆x

= ax lim ∆x→0

a∆x − 1 ∆x

= ax lim z→0

z ln(1+z) ln a

=

= ax ln a lim z→0

z

ln (1 + z) = ax ln a lim

z→0

1 1 z ln (1 + z)

= ax ln a lim z→0

1

ln (1 + z)1/z =(550)

= ax ln a lim y→∞

1

ln ³ 1 + 1

y

´y = ax ln a 1 ln lim y→∞

³ 1 + 1

y

´y = ax ln a 1 ln e

= ax ln a

W szczególnósci dla a = e mamy (ex)0 = ex (551)

38Korzystamy ze znanego wzoru: loga b · logb a = 1.

198

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

13.3 Geometryczny sens pochodnej

Interpretacja geometryczna pochodnej przedstawiona jest na rysunku 68. Iloraz różnicowy ∆f

∆x jest równy tangensowi kąta nachylenia β siecznej do osi 0x, czyli

współczynnikowi kierunkowemu tej siecznej. Na rysunku 68 przedstawiona jest funkcja f(x) = 0.5x2 − 0.1x oraz sieczna przecinająca krzywą f(x) w punktach x0 = 2.0 i x1 = 3.9. Jej współczynnik kierunkowy jest równy39

tanβ = ∆f

∆x = f(3.9)− f(2) 3.9− 2 =

7.215− 1.8 1.9

= 5.415

1.9 = 2.85 (552)

Przyjmijmy, że x1 = x0 +∆x. Jeżeli ∆x → 0, to x1 → x0. Pochodna f 0 (x0), a więc granica ilorazu różnicowego, jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej (linia przerywana) do krzywej y = f (x) w punkcie o odciętej x040

tanα = f 0 (x0) = x0 − 0.1 = 2− 0.1 = 1.9 (553)

gdzie α oznacza kąt nachylenia tej stycznej do osi 0x.

Uwaga 13.6 Styczna do krzywej y = f (x) w punkcie P (x0, f (x0)) ma równanie

y − y0 = f 0 (x0) (x− x0) (554)

Przykład 13.20 Napisać równanie stycznej do paraboli y = x2 w punkcie P (2, 4).

Rozwiązanie 13.20 Mamy tu f (x) = x2, więc f 0 (2) = 4. Równanie stycznej ma postać

y − 4 = 4 (x− 2)

stąd y = 4x− 4

Odp. y = 4x− 4 (patrz rys. 69).

xxxf 1.05.0)( 2 −=

9.385.2)(1 −= xxf

29.1)(2 −= xxf

0

2

4

6

8

1 2 3 4 βα

Rysunek 68: Funkcja y = 0.5x2 − 0.1x, sieczna i styczna.

-2 0

2

4

6

8

10

12

14

16

-2 -1 1 2 3 4

Rysunek 69: Parabola y = x2 i styczna do niej w punkcie x0 = 2.

39Skrót tan oznacza w całym wykładzie funkcję tangens, tg. 40 ∆f ∆x =

0.5(2+∆x)2−0.1(2+∆x)−1.8 ∆x =

0.5(4+4∆x+∆x2)−0.2−0.1∆x−1.8 ∆x =

1.8+1.9∆x+0.5∆x2−1.8 ∆x = 1.9 + 0.5∆x.

Przechodząc do granicy lim ∆x→0

∆f ∆x = lim∆x→0

(1.9 + 0.5∆x) = 1.9.

199

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Przykład 13.21 Obliczyć, jaki kąt z osią 0x tworzy styczna do paraboli y = x2 − 3x + 8 w punkcie x = 1.

Rozwiązanie 13.21 Jeżeli α oznacza kąt między osią x i styczną do krzywej y = f(x) w punkcie x = x0, to zachodzi związek tanα = f 0(x0). Obliczamy pochodną y0 = f 0(x) = 2x− 3. W punkcie x = 1 pochodna ta przybiera wartósć f 0(1) = −1. A więc tanα = −1. Stąd α = 135◦ (α = 3

4 π) (patrz rys. 70).

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-5 5

Rysunek 70: Parabola y = x2 − 3x+ 8 i styczna.

-25

-20

-10

-5

0

5

10

-2 -1 1 2 3 4 5

Rysunek 71: Funkcja y = x3−3x2−9x+ 2 i styczne.

Przykład 13.22 Obliczyć, w jakim punkcie styczna do krzywej y = x3 − 3x2 − 9x + 2 jest równoległa do osi 0x.

Rozwiązanie 13.22 Styczna jest równoległa do osi 0x, jeżeli y0 = tanα = 0. Obliczając pochodną i przyrównując ją do zera otrzymujemy

3x2 − 6x− 9 = 0

Rozwiązaniami są pierwiastki: x1 = −1, x2 = 3. Wartósci funkcji w tych punktach są równe: y(−1) = 7, y(3) = −25. Odp. Styczna jest równoległa do osi 0x w dwóch punktach P1(−1, 7) i P2(3,−25) (rys. 71).

13.4 Fizyczny sens pochodnej

13.4.1 Prędkóśc w ruchu prostoliniowym

Załóżmy, że punkt materialny M porusza się po osi 0x w ten sposób, że jego współrzędna x (położenie) w dowolnej chwili t jest równa wartósci pewnej funkcji x (t)

x = x (t) − równanie ruchu (555)

Ustalmy chwilę t i niech przyrost czasu ∆t będzie różny od 0. Chwilom t i t + ∆t odpowiadają pozycje x (t) i x (t+∆t) oraz przesunięcie ∆x = x (t+∆t)−x (t). Stosunek ∆x

∆t

jest prędkóscią średnią, a granica tego stosunku dla ∆t → 0 jest prędkóscią chwilową punktu M w chwili t. Oznaczamy ją ẋ (t)

ẋ (t) = lim ∆t→0

∆x

∆t = lim ∆t→0

x (t+∆t)− x (t) ∆t

(556)

200

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Z drugiej strony, granica ta jest pochodną funkcji x (t) w chwili t, zatem

ẋ (t) = x0 (t) (557)

W ruchu prostoliniowym prędkóśc jest pochodną funkcji okréslającej położenie.

13.4.2 Pojemnóśc cieplna

Niech T oznacza temperaturę pewnego ciała (w ◦C), a W ilóśc ciepła (w cal), które ciało musi pobrác, aby jego temperatura wzrosła od 0 ◦C do T . Załóżmy, że W jest funkcją T

W =W (T )

Jeżeli ustalimy T oraz ∆T , to iloraz różnicowy

∆W

∆T = W (T +∆T )−W (T )

∆T (558)

jest średnią pojemnóscią cieplną ciała w przedziale temperatur od T do T +∆T . Granica tego ilorazu dla ∆T → 0, czyli pochodna

W 0 (T ) =

dW

dT (T ) (559)

jest pojemnóscią cieplną ciała w temperaturze T .

13.5 Pochodna logarytmiczna

Przykład 13.23 Obliczyć pochodną funkcji y = xx.

Rozwiązanie 13.23 Aby obliczyć pochodną funkcji

y (x) = [p (x)]w(x) (560)

poddajemy ją najpierw obustronnemu logarytmowaniu

ln y (x) = w (x) · ln p (x) (561)

a następnie różniczkujemy jej logarytm

[ln y (x)]0 = y0 (x)

y (x) = w0 (x) ln p (x) + w (x)

p0 (x)

p (x) (562)

Wyrażenie

[ln y (x)]0 = y0 (x)

y (x) (563)

nazywamy pochodną logarytmiczną funkcji y (x). Znając pochodną logarytmiczną łatwo obliczyć zwykłą pochodną, mianowicie

y0 (x) = y (x)

∙ w0 (x) ln p (x) + w (x)

p0 (x)

p (x)

¸ (564)

201

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Przechodząc do polecenia otrzymujemy

ln y = x lnx

Stąd y0

y = 1 · lnx+ x · 1

x = lnx+ 1

Ostatecznie y0 (x) = (xx)0 = y (x) (lnx+ 1) = xx (1 + lnx)

Zadanie to możemy rozwiązać inną metodą, wykorzystując znane tożsamósci logarytmiczne. Mamy

z = aloga z (565)

Jeżeli z = xx, a a = e, to xx = elnx

x

= ex lnx

Stąd (xx)0 =

¡ elnx

x¢0 = ¡ ex lnx

¢0 = ex lnx (x lnx)0 = ex lnx (lnx+ 1)

A więc (xx)0 = xx (1 + lnx) (566)

Przykład 13.24 Obliczyć pochodną funkcji y(x) = (sinx)tanx w przedziale 0 < x < π/2.

Rozwiązanie 13.24 Ponieważ elnu = u, to sinx = eln sinx. Podnosząc obie strony do potęgi tanx otrzymujemy

y = (sinx)tanx = etanx ln sinx

Jest to funkcja ef(x), której pochodna jest równa ef(x)·f 0(x). Ponieważ wykładnik jest iloczynem, to

y0(x) = etanx ln sinx µ ln sinx

cos2 x + tanx

1

sinx cosx

¶ = etanx ln sinx

µ ln sinx

cos2 x + 1

¶ Odp. Pochodna funkcji y(x) = (sinx)tanx ma postać y0(x) = etanx ln sinx

¡ ln sinx cos2 x

+ 1 ¢ .

Przykład 13.25 Obliczyć pochodną funkcji y (x) = logx sinx (x > 0, x 6= 1, sinx > 0).

Rozwiązanie 13.25 Z definicji logarytmu wiemy, że wyrażenie y (x) = logx sinx jest równo- ważne równaniu sinx = xy(x). Logarytmując je obustronnie otrzymamy

ln sinx = y lnx

Stąd

y = ln sinx

lnx

Ostatecznie

y0 =

µ ln sinx

lnx

¶0 = (ln sinx)0 · lnx− (lnx)0 · ln sinx

ln2 x =

=

1

sinx · cosx · lnx− 1

x ln sinx

ln2 x = x lnx · cotx− ln sinx

x ln2 x

202

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Przykład 13.26 Obliczyć pochodną funkcji y = logx 2 (x > 0, x 6= 1).

Rozwiązanie 13.26 Ponieważ 41 loga b = 1

logb a , to logx 2 =

1 log2 x

. Więc

(y)0 =

µ 1

log2 x

¶0 = − 1

log22 x · (log2 x)0

Biorąc pod uwagę wzór (548), otrzymujemy

y0 = − 1 log22 x

· 1 x ln 2

13.6 Różniczka funkcji

Definicja 13.5 (Funkcji nieskończenie małej) Jeżeli

lim f (x)

g (x) = 0 (567)

przy czym lim oznacza granicę, gdy x → x0, x → ±∞ albo granicę jednostronną w punkcie x0 ∈ (−∞;∞), to mówimy, że funkcja f (x) jest w danym przej́sciu granicznym nieskończenie mała w porównaniu z g (x) i piszemy f (x) = o (g (x)).

Definicja 13.6 Jeżeli funkcja f (x) ma pochodną f 0 (x) oraz dx oznacza przyrost zmiennej x, dostatecznie bliski zeru, to

f (x0 + dx)− f (x0) = f 0 (x0) dx+ o (dx) (568)

gdzie o (dx) jest przy dx → 0 nieskończenie małą w porównaniu z dx. Iloczyn f 0 (x0) dx, w przybliżeniu równy przyrostowi funkcji ∆f = f (x0 + dx) − f (x0), nazywamy różniczką funkcji f (x) w punkcie x0 dla przyrostu dx zmiennej x i oznaczamy ją symbolem d f (x0).

Wyrażenie (568) można zapisác następująco

f (x0 + dx)− f (x0) = f 0 (x0) dx+ dx · α (dx) (569)

przy czym funkcja α (dx) spełnia warunki

lim dx→0

α (dx) = 0 α (0) = 0

Przykład 13.27 Obliczyć różniczkę funkcji f (x) = x3.

Rozwiązanie 13.27 Mamy

f (x+ dx)− f (x) = (x+ dx)3 − x3 = 3x2 dx+ dx ¡ 3x dx+ dx

2 ¢

gdzie: 3x2 dx− różniczka funkcji, równa iloczynowi pochodnej funkcji i przyrostu argumentu, α (dx) = 3xdx+ dx2, α (0) = 0.

41Przypomnienie: Wzór na zamianę podstawy logarytmu ma postác loga b · logb a = 1

203

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

styc zna

różniczka dxxf )(' 0

)()( 00 xfdxxf −+

)(dxo

)(xfy =

0x dxx +0 x

y

0

Rysunek 72: Różniczka funkcji f(x).

Mamy więc

d f (x0) def = f 0 (x0) · dx (570)

Na rysunku 72 przedstawiono interpretację geometryczną różniczki. Pomijając we wzorze (568) składnik o (dx), dostajemy wzór przybliżony:

f (x0 + dx) ≈ f (x0) + f 0 (x0) dx (571)

z którego można korzystác, gdy dx jest dostatecznie bliski zeru.

Definicja 13.7 Różniczką rzędu n (n ∈ N ) funkcji f (x) w punkcie x0 i dla przyrostu dx zmiennej x nazywamy liczbę

d nf (x0) = f

(n) (x0) dx n (572)

przy czym dxn ≡ (dx)n. Zamiast d nf (x0) piszemy krótko d nf . Jeżeli y = f (x), to zamiast d nf (x) piszemy także d ny. Stąd

f (n) ≡ d nf

dxn ≡ d

ny

dxn (573)

Przykład 13.28 Obliczyć w przybliżeniu ln 1.02.

Rozwiązanie 13.28 Korzystamy z wzoru (571) przyjmując f (x) = lnx, x = 1, dx = 0.02. Mamy zatem f 0 (1) = 1, f (1) = 0. Stąd ln 1.02 ≈ 0 + 1 · 0.02 = 0.02.

Przykład 13.29 Dwa oporniki o oporach R1 i R2 połączono równolegle. Jak w przybliżeniu zmieni się opór zastępczy R tego układu, jeżeli opór R2 zmieni się o dR2?

Rozwiązanie 13.29 Wartósć oporu zastępczego obliczamy na podstawie wzoru

1

R = 1

R1 + 1

R2

Stąd

R = R1R2 R1 +R2

Jego zmiana jest równa

∆R = R1 (R2 + dR2)

R1 +R2 + dR2 − R1R2 R1 +R2

= R21 dR2

(R1 +R2 + dR2) (R1 +R2)

Zatem przybliżona zmiana oporu zastępczego będzie równa

∆R ≈ R 2 1 dR2

(R1 +R2) 2

204

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

13.7 Twierdzenie Rolle’a i Lagrange’a.

Twierdzenie 13.6 (Rolle’a) Jeżeli funkcja f (x) jest ciągłą na przedziale ha; bi i istnieje f 0 (x) na przedziale (a; b) oraz

f (a) = f (b), to istnieje taki punkt c ∈ (a; b), że f 0 (c) = 0.

Oznacza to, że na łuku, którego końce mają te same rzędne (rys. 73), znajduje się co najmniej jeden punkt, w którym styczna jest równoległa do osi odciętych.

Przykład 13.30 Sprawdzíc, że funkcja f (x) = sin3 x + 3 4 cos2 x spełnia na przedziale h0, πi

założenie Twierdzenia Rolle’a i obliczyć wartósć c.

Rozwiązanie 13.30 Funkcja f (x) jest ciągłą na przedziale jako suma iloczynów funkcji ciąg- łych. Ponadto dla każdego x ∈ (0;π) istnieje pochodna

f 0 (x) = 3 sinx cosx

µ sinx− 1

2

¶ oraz f (0) = f (π) =

3

4

Liczba c ∈ (0;π) spełnia równanie f 0 (c) = 0, czyli 3 sin c · cos c · ¡ sin c− 1

2

¢ = 0. Stąd c1 =

π/6, c2 = π/2, c3 = 5 6 π.

Twierdzenie 13.7 (Lagrange’a o przyrostach) Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na przedziale domkniętym o końcach x0 i x wraz z pierwszą

pochodną wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c leżący między x0 i x, że

f (x)− f (x0) = f 0 (c) (x− x0) (574)

Oznacza to, że na łuku znajduje się co najmniej jeden punkt, w którym styczna jest równoległa do cięciwy łączącej końce łuku (rys. 74).

0)(' =cf

y

xa bc

)()( bfaf =

Rysunek 73: Twierdzenie Rolle’a.

)( 0xf

y

xx0 xc

)(xf

Rysunek 74: Twierdzenie Lagrange’a.

13.8 Twierdzenie Taylora

Twierdzenie 13.8 (Taylora) Jeżeli funkcja f (x) ma ciągłe pochodne do rzędu (n− 1) włącznie na przedziale domkniętym

o końcach x0 i x oraz ma pochodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c, leżący między x0 i x, że

f (x) = n−1X k=0

f (k) (x0)

k! (x− x0)k +

f (n) (c)

n! (x− x0)n =

n−1X k=0

f (k) (x0)

k! (x− x0)k +Rn (575)

gdzie: f (k)(x)− patrz wzór (544).

205

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Uwaga 13.7 (O szeregu (575))

1. Wzór (575) nazywamy wzorem Taylora z n−tą pochodną dla funkcji f w punkcie x0; ostatni składnik po prawej stronie nazywamy resztą wzoru Taylora i oznaczamy

symbolem Rn, f (n) (c)

n! (x− x0)n = Rn.

2. W przypadku, gdy x0 = 0, wzór (575) nazywa się wzoremMaclaurina z n−tą pochodną:

f (x) = n−1X k=0

f (k) (0)

k! xk +

f (n) (c)

n! xn (576)

3. Jeżeli reszta wzoru Taylora spełnia warunek

lim n→∞ Rn = 0 dla każdego42 x ∈ U (x0, ε) (577)

to dla każdego x ∈ U otrzymujemy równósć

f (x) = f (x0)+f 0 (x0) (x− x0)+

f 00 (x0)

2! (x− x0)2+ · · · =

∞X k=0

f (k) (x0)

k! (x− x0)k (578)

Prawa strona ostatniej równósci nosi nazwę szeregu Taylora o środku x0 dla funkcji f (x), a o funkcji mówimy, że jest rozwijalna w szereg Taylora o środku x0. Równósć (577) jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby szereg Taylora był zbieżny i aby zachodziła równósć (578).

4. W szczególnym przypadku, gdy x0 = 0 szereg Taylora przybiera prostszą postać

f (x) = f (0) + f 0 (0)x+ f 00 (0)

2! x2 + · · · =

∞X k=0

f (k) (0)

k! xk (579)

zwaną szeregiem Maclaurina funkcji f (x).

5. Rozwinięcie funkcji (1 + x)p w szereg Maclaurina ma postać

(1 + x)p = 1 + ³p 1

´ x+

³p 2

´ x2 + . . .+

³p n

´ xn + . . . (580)

Szereg (580) nosi nazwę szeregu dwumiennego Newtona, w którym

f (x) = (1 + x)p f (0) = 1

f 0 (x) = p (1 + x)p−1 f 0 (0) = p

f 00 (0) = p (p− 1) (1 + x)p−2 f 00 (0) = p (p− 1) f 000 (0) = p (p− 1) (p− 2) (1 + x)p−3 f 000 (0) = p (p− 1) (p− 2) . . . . . . . . . . . .

Przykład 13.31 Sprawdzíc, że funkcja f (x) = sin3 x + 3 4 cos2 x spełnia na przedziale h0, πi

założenie Twierdzenia Rolle’a i obliczyć wartósć c.

42Dla każdego x z otoczenia punktu x0.

206

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Rozwiązanie 13.31 Funkcja f (x) jest ciągłą na przedziale jako suma iloczynów funkcji ciąg- łych. Ponadto dla każdego x ∈ (0;π) istnieje pochodna

f 0 (x) = 3 sinx cosx

µ sinx− 1

2

¶ oraz f (0) = f (π) =

3

4

Liczba c ∈ (0;π) spełnia równanie f 0 (c) = 0, czyli 3 sin c · cos c · ¡ sin c− 1

2

¢ = 0. Stąd c1 =

π/6, c2 = π/2, c3 = 5 6 π.

Przykład 13.32 Przedstawíc funkcję f (x) = 3x5+2x+3 w postaci wzoru Taylora przyjmując, że x0 = −2.

Rozwiązanie 13.32 Skorzystamy z wzoru (575) dla x0 = −2. Ponieważ f (x) jest wielomia- nem piątego stopnia, to przyjmując n = 6 otrzymamy resztę we wzorze Taylora równą zeru. Mamy

f (−2) = −99 f 0 (x) = 15x4 + 2 f 0 (−2) = 242 f 00 (x) = 60x3 f 00 (−2) = −480 f 000 (x) = 180x2 f 000 (−2) = 720 f IV (x) = 360x f IV (−2) = −720 fV (x) = 360 fV (−2) = 360 fV I (x) = 0 = fV I (c)

Na podstawie wzoru Taylora z szóstą pochodną dostajemy

3x5 + 2x+ 3 = −99 + 242 (x+ 2)− 480 2 (x+ 2)2 +

720

6 (x+ 2)3−

−720 24 (x+ 2)4 +

360

120 (x+ 2)5

Odp.

3x5 + 2x+ 3 = −99 + 242 (x+ 2)− 240 (x+ 2)2 + 120 (x+ 2)3 − 30 (x+ 2)4 + 3 (x+ 2)5

Przykład 13.33 Napisać wzór Maclaurina z piątą pochodną dla funkcji f(x) = sinx.

Rozwiązanie 13.33 Obliczamy kolejne pochodne i ich wartósci dla x = 0

f(x) = sinx f(0) = 0 f 0(x) = cosx f 0(0) = 1 f 00(x) = − sinx f 00(0) = 0 f 000(x) = − cosx f 000(0) = −1 f IV (x) = sinx f IV (0) = 0 fV (x) = cosx

Stąd otrzymujemy

sinx = x

1! − x

3

3! + cos c

5! x5 (581)

Odp. Wzór Maclaurina z piątą pochodną dla funkcji f(x) = sinx ma postać (581).

207

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Na zakończenie podamy rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji trygonometrycznych, hiperbolicznych i wykładniczej:

sinx = x− x3 3! + x

5

5! − x7

7! + . . .+ (−1)k x2k+1

(2k+1)! + . . . x− dowolne

cosx = 1− x2 2! + x

4

4! − x6

6! + . . .+ (−1)k x2k

(2k)! + . . . x− dowolne

sinhx = x+ x 3

3! + x

5

5! + . . .+ x

2k+1

(2k+1)! + . . . x− dowolne

coshx = 1 + x 2

2! + x

4

4! + x

6

6! + . . .+ x

2k

(2k)! + . . . x− dowolne

ex = 1 + x+ x 2

2! + x

3

3! + x

4

4! + x

5

5! + . . . x− dowolne

e−x = 1− x+ x2 2! − x3

3! + x

4

4! − x5

5! + . . . x− dowolne

Poniżej przedstawiamy szeregi dwumienne Newtona dla p = −1, p = 1/2 :

1

1 + x = 1− x+ x2 − . . .+ (−x)n + . . . −1 < x < 1

1

1− x = 1 + x+ x 2 + . . .+ xn + . . . −1 < x < 1

√ 1 + x = 1 + 1

2 x− 1

2·4x 2 + 1·3

2·4·6x 3 + . . . −1 < x < 1√

1− x = 1− 1 2 x− 1

2·4x 2 − 1·3

2·4·6x 3 − . . . −1 < x < 1

13.9 Twierdzenie de l’Hospitala

Twierdzenie 13.9 (de l’Hospitala) Jeżeli

1. funkcje f(x) h(x)

oraz f 0(x) h0(x) są okréslone w pewnym sąsiedztwie S punktu x0

2. lim x→x0

f(x) = lim x→x0 h(x) = 0 albo lim

x→x0 f(x) = lim

x→x0 h(x) = ±∞

3. istnieje granica lim x→x0

f 0(x) h0(x) (włásciwa albo niewłásciwa),

to istnieje także lim x→x0

f(x) h(x) , przy czym

lim x→x0

f(x)

h(x) = lim x→x0

f 0(x)

h0(x) (582)

Uwaga 13.8 Twierdzenie de l’Hospitala43 (lub krótko: Twierdzenie H) jest także prawdziwe dla granic jednostronnych, dla granicy, gdy x → −∞ oraz dla granicy, gdy x → ∞. Przez S należy wówczas rozumiéc opowiednio: sąsiedztwo lewostronne lub prawostronne, przedział (−∞, a) albo (a,+∞), gdzie a jest liczbą dodatnią.

Uwaga 13.9 Z Twierdzenia de l’Hospitala korzystamy często przy obliczaniu:

1. granicy ilorazu f(x) h(x) , gdy dzielna i dzielnik dążą do zera albo do nieskończonósci (nieozna-

czonósć44 typu 0 0 i ∞∞),

43W praktyce czę́sciej posługujemy się terminem reguła de l’Hospitala. 44Nieoznaczonósci występujące w Twierdzeniu de l’Hospitala często nazywane są zagadnieniami typu

0 0 , ∞ ∞ , . . ..

208

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

2. granicy różnicy f(x)− h(x), gdy odjemna i odjemnik dążą do nieskończonósci (nieozna- czonósć typu ∞−∞),

3. granicy iloczynu f(x) · h(x), gdy jeden czynnik dąży do zera, a drugi do +∞ lub −∞ (nieoznaczonósć typu 0 ·∞),

4. granicy potęgi [f(x)]h(x), gdy f(x) → 0 i h(x) → ∞ albo f(x) → ∞ i h(x) → 0 albo f(x)→ 1 i h(x)→∞ (nieoznaczonósci typu 00,∞0 oraz 1∞).

Przykład 13.34 Obliczyć lim x→0

ln cos2 x sin2 x

.

Rozwiązanie 13.34 Niech f(x) = ln cos2 x, h(x) = sin2 x. Ponieważ f(x) → 0 i h(x) → 0, gdy x → 0, więc mamy do czynienia z zagadnieniem typu 0

0 . Ponieważ f 0(x) =

2 cosx(− sinx) 1 cos2 x

= −2 sinx cosx

= −2 tanx, h0(x) = 2 sinx cosx = sin 2x, to f 0(x) h0(x) = −

1 cos2 x

.

Zarówno f(x) h(x) , jak i f

0(x) h0(x) są okréslone w pewnym sąsiedztwie punktu 0. Ponadto istnieje

lim x→0

f 0(x) h0(x) = limx→0

¡ − 1 cos2 x

¢ = −1. Spełnione są więc założenia Twierdzenia 13.9 i na podstawie

wzoru (582) mamy

lim x→0

ln cos2 x

sin2 x = H lim x→0

µ − 1 cos2 x

¶ = −1

Odp. −1.

Uwaga 13.10 Jeżeli stosując Twierdzenie de l’Hospital’a otrzymamy stosunek pochodnych f 0(x) h0(x) , którego granica nie istnieje, to nie można niczego wnioskować o granicy stosunku funkcji f(x) h(x) . Wykorzystując regułę H w poniższym przykładzie:

lim x→∞

x+ sinx

x = ¯̄̄∞ ∞

¯̄̄ = H lim x→∞

1 + cosx

1

otrzymujemy stosunek pochodnych, którego granica nie istnieje. Natomiast zwykłe przekształce- nia pokazują, że granica stosunku funkcji istnieje, bowiem

lim x→∞

x+ sinx

x = lim x→∞

µ 1 +

sinx

x

¶ = 1 + 0 = 1

Wobec tego znak = H nabiera znaczenia zwykłego znaku równósci wtedy, gdy następująca po nim

granica stosunku pochodnych istnieje.

Przykład 13.35 Obliczyć lim x→1

lnx x−1 .

Rozwiązanie 13.35 lim x→1

lnx x−1 =

¯̄ 0 0

¯̄ = H lim x→1

1 x

1 = 1. Odp. 1.

Przykład 13.36 Obliczyć lim x→∞

lnx x .

Rozwiązanie 13.36 lim x→∞

lnx x = ¯̄∞ ∞ ¯̄ = H lim x→∞

1 x

1 = 0. Odp. 0.

Przykład 13.37 Obliczyć lim x→1−

¡ lnx · tan πx

2

¢ .

209

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Rozwiązanie 13.37 W tym przypadku mamy do czynienia z nieoznaczonóscią typu 0 ·∞. Możemy sprowadzić je do nieoznaczonósci typu 0

0 za pomocą przekształcenia lnx · tan πx

2 =

lnx

cot πx 2

. A więc

lim x→1−

³ lnx · tan πx

2

´ = lim x→1−

lnx

cot πx 2

= H lim x→1−

à 1 x

π 2 −1

sin2 πx 2

! = lim x→1−

µ −2 π

sin2 πx 2

x

¶ = −2 π

Odp. − 2 π .

Przykład 13.38 Obliczyć lim x→0+

xx.

Rozwiązanie 13.38 Jest to nieoznaczonósć typu 00. Sprowadzamy je do nieoznaczonósci typu ∞∞ :

lim x→0+

xx = ¯̄ 00 ¯̄ = lim x→0+

elnx x

= lim x→0+

ex lnx = e lim x→0+

x lnx = e

lim x→0+

ln x 1/x =

H e lim x→0+

1/x

−1/x2 = e0 = 1

Odp. 1.

Przykład 13.39 Wykorzystując Twierdzenie de l’Hospital’a obliczyć granicę lim x→0

e3x−3x−1 sin2 5x

.

Rozwiązanie 13.39 lim x→0

e3x−3x−1 sin2 5x

= ¯̄ 0 0

¯̄ = H lim x→0

3e3x−3 5 sin 10x

= ¯̄ 0 0

¯̄ . Otrzymalísmy ponownie nieozna-

czonósć typu 0 0 . Ponieważ warunki Twierdzenia 13.9 są spełnione, to funkcje f 0(x) i h0(x)

traktujemy jako pewne nowe funkcje f1(x) i h1(x) i stosujemy do nich Twierdzenie de l’Hospi- tal’a. W efekcie dochodzimy do wyrażenia

lim x→0

e3x − 3x− 1 sin2 5x

=

¯̄̄̄ 0

0

¯̄̄̄ = H lim x→0

3e3x − 3 5 sin 10x

=

¯̄̄̄ 0

0

¯̄̄̄ = H lim x→0

9e3x

50 cos 10x = 9

50

Obliczenia przedstawione w Przykładzie 13.39 zapiszemy w postaci symbolicznej

lim x→x0

f(x)

h(x) = lim x→x0

f 0(x)

h0(x) = lim x→x0

f 00(x)

h00(x) (583)

Przykład 13.40 Obliczyć granicę funkcji lim x→0

2 cosx−2+x2 x2 sin2 x

.

Rozwiązanie 13.40 Również tutaj Twierdzenie de l’Hospital’a należy stosować kilka razy. Mianowicie

g = lim x→0

f(x)

h(x) = lim x→0

2 cosx− 2 + x2 x2 sin2 x

=

¯̄̄̄ 0

0

¯̄̄̄ = H

= lim x→0

f 0(x)

h0(x) = lim x→0

−2 sinx+ 2x 2x sin2 x+ x2 sin 2x

=

¯̄̄̄ 0

0

¯̄̄̄ = H

= lim x→0

f 00(x)

h00(x) = lim x→0

−2 cosx+ 2 2 sin2 x+ 4x sin 2x+ 2x2 cos 2x

=

¯̄̄̄ 0

0

¯̄̄̄ = H

= lim x→0

f 000(x)

h000(x) = lim x→0

2 sinx

6 sin 2x+ 12x cos 2x− 4x2 sin 2x = ¯̄̄̄ 0

0

¯̄̄̄ = H

= lim x→0

f (4)(x)

h(4)(x) = lim x→0

2 cosx

24 cos 2x− 32x sin 2x− 8x2 cos 2x = 1

12

A więc regułę de l’Hospitala musielísmy stosować aż czterokrotnie. Odp. 1 12 .

210

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Przykład 13.41 Wyznaczyć lim x→1

¡ 1 x−1 −

1 lnx

¢ .

Rozwiązanie 13.41 Mamy tu do czynienia z nieoznaczonóscią typu ∞ − ∞. Jeżeli lim x→a

[f(x)− h(x)]45 prowadzi do nieoznaczonósci typu∞−∞, to możemy zastosować podstawie- nia u(x) = 1

f(x) oraz v(x) = 1

h(x) . Wówczas przy x→ a zachodzi u(x)→ 0 i v(x)→ 0. A więc

f(x)− h(x) = 1 u(x)

− 1 v(x)

= v(x)− u(x) u(x)v(x)

(584)

W ten sposób zagadnienie ∞−∞ zostało sprowadzone do postaci 0 0 . Zastosujemy do niego

poznaną regułę

lim x→1

µ 1

x− 1 − 1

lnx

¶ = lim

x→1

lnx− x+ 1 (x− 1) lnx =

¯̄̄̄ 0

0

¯̄̄̄ = H lim x→1

1 x − 1

lnx+ x−1 x

=

¯̄̄̄ 0

0

¯̄̄̄ = H

= lim x→1

− 1 x2

1 x + 1 x2

= −1 2

Przykład 13.42 Wyznaczyć lim x→(π/2)−

(tanx)tan 2x.

Rozwiązanie 13.42 Jest to nieoznaczonósć typu ∞0. Ograniczymy się do przypadku π/4 < x < π/2. Wówczas tanx > 0, a tan 2x przyjmuje wartósć skończoną. Ponieważ (tanx)tan 2x = etan 2x ln tanx = e

ln tan x cot 2x , a

lim x→(π/2)−

e ln tan x cot 2x = e

lim x→(π/2)−

ln tan x cot 2x

= eA

gdzie

A = lim x→(π/2)−

ln tanx

cot 2x = ¯̄̄∞ ∞

¯̄̄ = H

lim x→(π/2)−

1 tanx

1 cos2 x −2

sin2 2x

= lim x→(π/2)−

µ −1 2

sin2 2x

tanx cos2 x

¶ =

= −1 2

lim x→(π/2)−

4 sin2 x cos2 x sinx cosx

cos2 x = −2 lim

x→(π/2)− sin2 x cosx

sinx =

= −2 lim x→(π/2)−

sinx cosx = 0

Zatem lim x→(π/2)−

(tanx)tan 2x = e0 = 1. Odp. 1.

Przykład 13.43 Wyznaczyć lim x→∞

¡ 1 + a

x

¢x .

Rozwiązanie 13.43 Jest to nieoznaczonósć typu 1∞. Zakładamy, że 1 + a x > 0. Warunek

ten zachodzi, gdy x > |a|. Zlogarytmujemy funkcję f(x) = ¡ 1 + a

x

¢x i poszukamy jej granicy

A = lim x→∞

ln f(x) = lim x→∞

h x ln

³ 1 + a

x

´i = |∞ · 0| = lim

x→∞

ln x+a x 1 x

=

¯̄̄̄ 0

0

¯̄̄̄ = H

= lim x→∞

x x+a

−a x2

− 1 x2

= lim x→∞

ax

x+ a = a

Stąd lim x→∞

¡ 1 + a

x

¢x = ea. Odp. ea.

45Mogą zachodzíc przypadki: f(x)→∞ oraz h(x)→∞ lub f(x)→ −∞ oraz h(x)→ −∞.

211

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

13.10 Ekstrema funkcji

Zakładamy, że funkcja f(x) jest okréslona w pewnym otoczeniu punktu x0.

Definicja 13.8 Mówimy, że funkcja f(x) ma w punkcie x0:

1. maksimum lokalne włásciwe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie sąsiedztwo S punktu x0, że dla każdego x ∈ S spełniona jest nierównósć:

f(x) < f(x0) (585)

2. maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie U punktu x0, że dla każdego x ∈ U spełniona jest nierównósć:

f(x) ≤ f(x0) (586)

3. minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie U punktu x0, że dla każdego x ∈ U spełniona jest nierównósć:

f(x) ≥ f(x0) (587)

4. minimum lokalne włásciwe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie sąsiedztwo S punktu x0, że dla każdego x ∈ S spełniona jest nierównósć:

f(x) > f(x0) (588)

Uwaga 13.11 Maksimum i minimum nazywamy ekstremami. Zamiast maksimum (minimum) lokalne mówimy krótko: maksimum (minimum).

Twierdzenie 13.10 (Fermata - warunek konieczny ekstremum) Jeżeli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pierwszą pochodną,

to f 0(x0) = 0.

Uwaga 13.12 Funkcja może miéc ekstremum tylko w tych punktach, w których pochodna nie istnieje, bąd́z jest równa zeru.

0

5

10

15

20

25

-4 -2 2 4

Rysunek 75: Funkcja y = x2.

0

1

2

3

4

5

-4 -2 2 4

Rysunek 76: Funkcja y = |x|.

212

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-4 -2 2 4

Rysunek 77: Funkcja y = x2/3.

-100

-50

0

50

100

-4 -2 2 4

Rysunek 78: Funkcja y = x3.

Każda z funkcji x2, |x| , 3 √ x2 ma w punkcie x = 0 minimum lokalne włásciwe, ale tylko

pierwsza z nich jest różniczkowalna w tym punkcie.

Uwaga 13.13 Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia 13.10 nie zachodzi. Pochodna funkcji y = x3 przyjmuje w punkcie x = 0 wartósć równą 0, ale funkcja w tym punkcie nie ma ekstremum (rys. 78).

Twierdzenie 13.11 (Pierwszy warunek wystarczający ekstremum) Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 i posiada pochodną f 0(x) na pewnym sąsiedztwie

S(x0; δ), przy czym

f 0(x) < 0 dla x0 − δ < x < x0 i f 0(x) > 0 dla x0 < x < x0 + δ (589)

to funkcja ta ma w punkcie x0 minimum lokalne włásciwe; jeżeli natomiast zamiast warunku (589) spełniony jest warunek

f 0(x) > 0 dla x0 − δ < x < x0 i f 0(x) < 0 dla x0 < x < x0 + δ (590)

to funkcja f(x) ma w punkcie x0 maksimum lokalne włásciwe.

Wniosek 13.1 Jeżeli f 0(x0) = 0 i spełniony jest warunek (589), to funkcja f(x) ma w punkcie x = x0 minimum lokalne włásciwe; jeżeli f 0(x0) = 0 i spełniony jest warunek (590), to funkcja f(x) ma w punkcie x = x0 maksimum lokalne włásciwe.

Twierdzenie 13.12 (Drugi warunek wystarczający ekstremum) Jeżeli funkcja f(x) ma na pewnym otoczeniu punktu x0 pochodne do rzędu n włącznie,

pochodna f (n)(x) jest ciągła w punkcie x0, n jest liczbą parzystą, a ponadto f (k)(x0) = 0 dla k = 1, 2, . . . , n − 1 oraz f (n)(x0) 6= 0, to funkcja f(x) ma w punkcie x0 maksimum włásciwe, gdy f (n)(x0) < 0, natomiast minimum lokalne włásciwe, gdy f (n)(x0) > 0.

Twierdzenie 13.13 Jeżeli f 0(x) > 0 dla x ∈ (a; b), to funkcja f(x) jest rosnąca na przedziale (a; b); jeżeli f 0(x) < 0 dla x ∈ (a; b), to funkcja f(x) jest malejąca na przedziale (a; b).

213

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Maksimum lokalne

Minimum lokalneMinimum

globalne

a b

x

y Maksimum globalne

Definicje minimum i maksimum globalnego i lokalnego

Rysunek 79: Ekstrema lokalne i globalne.

0

2

4

6

8

10

-4 -2 2 4

Rysunek 80: Funkcja y = |x2 − 1|.

-30

-20

-10

0

10

20

30

-4 -2 2 4

Rysunek 81: Funkcja y = −x3 + 6x.

Uwaga 13.14 Funkcja okréslona na przedziale otwartym może miéc wartósć największą (naj- mniejszą) tylko w takim punkcie, w którym ma maksimum (minimum). Funkcja okréslona na przedziale domkniętym (jednostronnie domkniętym) może miéc wartósć największą (najmniej- szą) tylko w takim punkcie, w którym ma ekstremum lub na końcu tego przedziału.

Przykład 13.44 Znalézć ekstremum funkcji y = |x2 − 1|.

Rozwiązanie 13.44 Ponieważ |x2 − 1| ≥ 0, to funkcja ma w punkcie x = −1 oraz x = 1 minimum równe 0. W tych dwóch punktach pochodna nie istnieje (nie ma stycznej do wykresu funkcji). Dla x < −1 lub x > 1 mamy y(x) = x2 − 1, więc pochodna istnieje i jest równa y0 = 2x 6= 0 i ekstremum nie ma. Dla −1 < x < 1 otrzymujemy y = 1 − x2, stąd y0 = −2x, więc dla x = 0 pochodna jest równa 0. W tym punkcie jest maksimum f(0) = 1 (patrz rys. 80). Odp. Dwa minima: y(−1) = y(1) = 0 i maksimum y(0) = 1.

Przykład 13.45 Znalézć ekstremum funkcji y = −x3 + 6x.

214

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Rozwiązanie 13.45 Obliczamy pochodną y0 = −3x2+6 = 3(2−x2), a następnie znajdujemy jej miejsca zerowe 2 − x2 = 0. Stąd x1 = −

√ 2 i x2 =

√ 2. Tylko w tych dwóch punktach

analizowana funkcja może miéc ekstremum. Ponieważ w dostatecznie małym sąsiedztwie punktu − √ 2 mamy y0 < 0 dla x < −

√ 2 i y0 > 0 dla x > −

√ 2, więc w tym punkcie funkcja

ma minimum: y ¡ − √ 2 ¢ = −

¡ − √ 2 ¢3 + 6

¡ − √ 2 ¢ = −4

√ 2. Ponieważ w dostatecznie małym

sąsiedztwie punktu √ 2 mamy y0 > 0 dla x <

√ 2 i y0 < 0 dla x >

√ 2, to w punkcie

√ 2 funkcja

ma maksimum y ¡√ 2 ¢ = −

¡√ 2 ¢3 + 6

¡ − √ 2 ¢ = 4 √ 2 (patrz rys. 81).

Odp. Minimum y ¡ − √ 2 ¢ = −4

√ 2, maksimum y

¡√ 2 ¢ = 4 √ 2.

13.11 Wklęsłóśc, wypukłóśc i punkt przegięcia funkcji

Zakładamy, że funkcja y = f(x) ma pochodną na przedziale (a; b).

Definicja 13.9 Mówimy, że krzywa y = f(x) jest:

1. wypukła na przedziale (a; b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x0 ∈ (a; b) styczna poprowadzona do tej krzywej w punkcie (x0, f(x0)) jest położona pod tą krzywą - patrz rysunek 82;

2. wklęsła na przedziale (a; b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x0 ∈ (a; b) styczna poprowadzona do tej krzywej w punkcie (x0, f(x0)) jest położona nad tą krzywą - patrz rysunek 83.

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

Rysunek 82: Funkcja wypukła.

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

Rysunek 83: Funkcja wklęsła.

Twierdzenie 13.14 Jeżeli ∀x ∈ (a; b) f 00(x) < 0, to krzywa y = f(x) jest wklęsła na przedziale (a; b).

Twierdzenie 13.15 Jeżeli ∀x ∈ (a; b) f 00(x) > 0, to krzywa y = f(x) jest wypukła na przedziale (a; b).

Definicja 13.10 Punkt P0(x0, f(x0)) nazywamy punktem przegięcia krzywej y = f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy:

1. istnieje styczna do krzywej y = f(x) w punkcie P0,

2. krzywa y = f(x) jest wypukła na lewostronnym sąsiedztwie punktu x0 i wklęsła na pewnym prawostronnym sąsiedztwie tego punktu albo na odwrót.

215

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Jeżeli funkcja f(x) ma na pewnym otoczeniu punktu x0 drugą pochodną, która jest ciągła w punkcie x0, to prawdziwe są następujące twierdzenia:

Twierdzenie 13.16 (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) Jeżeli P0(x0, f(x0)) jest punktem przegięcia krzywej y = f(x), to f 00(x0) = 0.

Twierdzenie 13.17 (Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia) Jeżeli f 00(x) zmienia znak w punkcie x0, to P0(x0, f(x0)) jest punktem przegięcia krzywej

y = f(x).

-30

-20

-10

0

10

20

30

-4 -2 2 4

Rysunek 84: Ekstrema funkcji y = −x3 + 6x.

Jeżeli w punkcie x0 f 0(x0) = 0, a f 00(x0) < 0, to funkcja f(x) ma w punkcie x0 maksimum lokalne, natomiast, gdy przy f 0(x0) = 0 zachodzi f 00(x0) > 0, to funkcja f(x) ma w punkcie x0 minimum lokalne. Z analizy Przykładu 13.45 wiemy, że dla x = 3

√ 2 funkcja

y(x) = −x3 + 6x osiąga maksimum; wartóśc jej drugiej pochodnej w tym punkcie jest równa y00

¡ 3 √ 2 ¢ = −6 3

√ 2,

a więc jest mniejsza od zera. Funkcja y(x) = −x3 + 6x osiąga minimum dla x = − 3

√ 2; wartóśc drugiej

pochodnej w tym punkcie jest równa y00 ¡ − 3 √ 2 ¢ = 6 3 √ 2,

a więc jest większa od zera.

Poję́c wklęsłóśc i wypukłóśc funkcji używamy do analizy tak zwanego tempa zmian wartósci funkcji:

1. jeżeli funkcja jest rosnąca i wypukła w przedziale (a; b), to mówimy, że rósnie coraz szybciej w tym przedziale,

2. jeżeli funkcja jest rosnąca i wklęsła w przedziale (a; b), to mówimy, że rósnie coraz wolniej w tym przedziale,

3. jeżeli funkcja jest malejąca i wypykła w przedziale (a; b), to mówimy, że maleje coraz wolniej w tym przedziale,

4. jeżeli funkcja jest malejąca i wklęsła w przedziale (a; b), to mówimy, że maleje coraz szybciej w tym przedziale.

Na rysunkach 85 - 88 przedstawiono wykresy funkcji o różnych tempach zmian wartósci.

5

10

15

20

25

30

-4 -2 0 2 4

Rysunek 85: Funkcja rósnie coraz szybciej.

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.5 1 1.5 2

Rysunek 86: Funkcja rósnie coraz wolniej.

216

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

5

10

15

20

25

30

-4 -2 0 2 4

Rysunek 87: Funkcja maleje coraz wolniej.

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Rysunek 88: Funkcja maleje coraz szybciej.

Twierdzenie 13.18 Jeżeli dla każdego x ∈ (a; b): f 0(x) > 0 i f 00(x) > 0, to funkcja f(x) rósnie coraz szybciej w przedziale (a; b), f 0(x) > 0 i f 00(x) < 0, to funkcja f(x) rósnie coraz wolniej w przedziale (a; b), f 0(x) < 0 i f 00(x) > 0, to funkcja f(x) maleje coraz wolniej w przedziale (a; b), f 0(x) < 0 i f 00(x) < 0, to funkcja f(x) maleje coraz szybciej w przedziale (a; b).

Przykład 13.46 Zbadać tempo zmian funkcji f(x) = x 1+x2

.

Rozwiązanie 13.46 Mamy f 0(x) = 1−x 2

(1+x2)2 , a f 00 (x) = −2x(3−x

2)

(1+x2)3 . Otrzymujemy stąd, że

(patrz rys. 89) f 00(x) = 0 ⇐⇒ x1 = 0; x2 = −

√ 3; x3 =

√ 3

f 00(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ ¡ − √ 3; 0 ¢ ∪ ¡√ 3;∞

¢ f 00(x) < 0 ⇐⇒ x ∈

¡ −∞;−

√ 3 ¢ ∪ ¡ 0; √ 3 ¢

Zestawienie znaków pierwszej i drugiej pochodnej przedstawiamy w poniższej tabeli. Porównując je stwierdzamy, że funkcja maleje coraz szybciej w przedziałach (−∞;−

√ 3) i (1;

√ 3), maleje

coraz wolniej w przedziałach (− √ 3;−1) i (

√ 3;∞), rósnie coraz szybciej w przedziale (−1; 0),

rósnie coraz wolniej w przedziale (0; 1).

x . . . − √ 3 . . . −1 . . . 0 . . . 1 . . .

√ 3 . . .

f 0(x) − − − 0 + + + 0 − − − f 00(x) − 0 + + + 0 − − − 0 +

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -2 2 4

)(xf

)(' xf

)('' xf

)('' xf

Rysunek 89: Funkcja y = x1+x2 i jej 1 i 2 pochodna.

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

-6 -4 -2 2 4 6

)(xf

)(' xf

)('' xf

Rysunek 90: Funkcja y = x4 − 4x3 − 90x2 + 12x+ 7 i jej 1 i 2 pochodna.

217

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Przykład 13.47 Znalézć przedziały, na których wykres funkcji y = x4− 4x3− 90x2+12x+7 jest: a) wypukły, b) wklęsły oraz wyznaczyć punkty przegięcia tego wykresu.

Rozwiązanie 13.47 Obliczamy kolejno: f 0(x) = 4x3 − 12x2 − 180x + 12; f 00(x) = 12x2 − 24x− 180 = 12(x + 3)(x− 5). Warunek

f 00(x) = 0 jest więc spełniony tylko w punktach x1 = −3 i x2 = 5. W każdym z tych punktów druga pochodna zmienia znak, więc na podstawie Twierdzenia 13.16 są to odcięte punktów przegięcia. Mamy więc y = 650 dla x = −3 oraz y = −2058 dla x = 5. Ponadto f 00(x) > 0 na przedziale (−∞;−3) oraz na przedziale (5;∞), a zatem są to przedziały, na których wykres funkcji jest wypukły. Na przedziale (−3; 5) wykres jest wklęsły, ponieważ f 00(x) < 0 (patrz Twierdzenia 13.13 i 13.14).

13.12 Asymptoty

Definicja 13.11 (Asymptot)

1. Prostą o równaniu x = c nazywamy asymptotą pionową lewostronną krzywej y = f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f(x) jest okréslona na pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu c oraz lim

x→c− f(x) = −∞ albo lim

x→c− f(x) =∞.

2. Prostą o równaniu x = c nazywamy asymptotą pionową prawostronną krzywej y = f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f(x) jest okréslona na pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu c oraz lim

x→c+ f(x) = −∞ albo lim

x→c+ f(x) =∞.

3. Jeżeli prosta x = c jest jednoczésnie asymptotą lewostronną i prawostronną krzywej y = f(x), to nazywamy ją asymptotą pionową dwustronną (krótko: asymptotą pionową) tej krzywej.

4. Prostą o równaniu y = mx + k nazywamy asymptotą ukósną (gdy m 6= 0) albo asymptotą poziomą (gdy m = 0) lewostronną krzywej y = f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f(x) jest okréslona na pewnym przedziale (−∞; a) oraz lim

x→−∞ [f(x)− (mx+ k)] =

0 (patrz 62).

5. Prostą o równaniu y = mx + k nazywamy asymptotą ukósną (gdy m 6= 0) albo asymptotą poziomą (gdym = 0) prawostronną krzywej y = f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f(x) jest okréslona na pewnym przedziale (a;∞) oraz lim

x→∞ [f(x)− (mx+ k)] =

0.

6. Jeżeli prosta y = mx + k jest jednoczésnie asymptotą ukósną (poziomą, gdy m = 0) lewostronną i prawostronną krzywej y = f(x), to nazywamy ją asymptotą ukósną dwustronną (krótko: asymptotą ukósną) tej krzywej.

Zamiast asymptota ukósna mówimy też asymptota pochyła.

Twierdzenie 13.19 Prosta y = mx + k jest asymptotą ukósną (poziomą, gdy m = 0) lewostronną krzywej y = f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice skończone

lim x→−∞

f(x)

x = m i lim

x→−∞ [f(x)−mx] = k (591)

218

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Twierdzenie 13.20 Prosta y = mx + k jest asymptotą ukósną (poziomą, gdy m = 0) prawostronną krzywej y = f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice skończone

lim x→∞

f(x)

x = m i lim

x→∞ [f(x)−mx] = k (592)

Przykład 13.48 Znalézć asymptoty krzywej y = e1/x.

Rozwiązanie 13.48 Prosta x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną, ponieważ lim x→0+

y =

∞, nie jest to asymptota obustronna, gdyż lim x→0−

y = 0. Obliczamy m = lim x→−∞

e1/x

x = 0 oraz

lim x→−∞

¡ e1/x − 0

¢ = 1. Prosta y = 1 jest asymptotą lewostronną. Obliczymy teraz granice:

lim x→∞

e1/x

x = 0 oraz lim

x→∞

¡ e1/x − 0

¢ = 1 (593)

Prosta y = 1 jest asymptotą poziomą prawostronną, jest to asymptota pozioma obustronna. Odp. x = 0 asymptota pionowa prawostronna; y = 1 asymptota pozioma obustronna.

13.13 Badanie funkcji

Wcelu zbadania funkcji okréslonej wzoremwykonujemy następujące operacje matematyczne:

1. Znajdujemy dziedzinę naturalną (jeżeli inna dziedzina nie jest podana), obliczamy granice na końcach dziedziny oraz badamy, czy funkcja ma szczególne cechy, np. parzystóśc, nieparzystóśc, okresowóśc, miejsca zerowe, wartóśc dla x = 0.

2. Badamy istnienie asymptot wykresu funkcji oraz, jeżeli istnieją, piszemy ich równania.

3. Znajdujemy przedziały, na których funkcja jest rosnąca i takie, na których jest malejąca. Badamy istnienie ekstremów oraz, jeżeli istnieją, wyznaczamy je.

4. Znajdujemy przedziały, na których wykres jest wklęsły i takie, na których jest wypukły. Badamy istnienie punktów przegięcia, jeżeli istnieją, wyznaczamy je.

5. Zapisujemy uzyskane dane o funkcji w tzw. tabeli zmiennósci funkcji.

6. Sporządzamy wykres funkcji.

Przykład 13.49 Zbadać przebieg funkcji y = x3 − 4x2 + 4x+ 2.

Rozwiązanie 13.49 Df = (−∞; +∞). Dla każdego x 6= 0 mamy

y = x3 µ 1− 4 x + 4

x2 + 2

x3

¶ (594)

Jeżeli x→ −∞, to x3 → −∞, a wyrażenie w nawiasie dąży do 1. Zatem lim x→−∞

y = −∞. Jeżeli x → ∞, to x3 → ∞, a wyrażenie w nawiasie, jak poprzednio, dąży do 1, więc lim

x→∞ y = ∞.

Obliczamy pierwszą pochodną:

y0 = 3x2 − 8x+ 4 = 3 µ x− 2

3

¶ (x− 2) (595)

219

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Pochodna jest dodatnia, więc funkcja jest rosnąca w przedziale ¡ −∞; 2

3

¢ i w przedziale (2,∞).

Pierwsza pochodna jest ujemna w przedziale ¡ 2 3 , 2 ¢ - funkcja jest w nim malejąca. Pochodna

przyjmuje wartósć 0 w punktach x = 2 3 oraz x = 2. Na podstawie Twierdzenia 13.11 stwierdzamy,

że funkcja ma w punkcie x = 2 3 maksimum, y(2

3 ) = 86

27 , a minimum w punkcie x = 2 równe

y(2) = 2. Obliczamy drugą pochodną: y00 = 6x − 8. Ponieważ y00 = 0 ⇐⇒ x = 4 3 , to druga

pochodna zmienia znak w punkcie x = 4 3 . Wykres funkcji ma punkt przegięcia w punkcie

P ¡ 4 3 , 70 27

¢ . Na przedziale

¡ −∞; 4

3

¢ wykres funkcji jest wklęsły, zás na przedziale

¡ 4 3 ;∞ ¢ -

wypukły. Na podstawie uzyskanych wyników sporządzamy tabelę zmiennósci funkcji46 oraz tworzymy jej wykres.

x −∞ . . . 2 3

. . . 4 3

. . . 2 . . . ∞ y0(x) + + 0 − − − 0 + + y00(x) − − − − 0 + + + + y(x) −∞ % max = 86

27 & pp = 70

27 & min = 2 % ∞

-4

-2

0

2

4

6

8

-3 -2 -1 1 2 33 2

27 86 pp

-2

0

2

4

6

8

-3 -2 -1 1 2 3

Rysunek 91: Wykresy funkcji y = x3 − 4x2 + 4x+ 2 i y0 = 3x2 − 8x+ 4.

46pp oznacza punkt przegięcia.

220

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

13.14 Przykłady

-2

-1

0

1

2

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

Rysunek 92: Funkcja y = |x|(x − 1)2 i jej pochodna.

W punkcie tym szczegółowo omówimy badanie przebiegu pewnych funkcji - elementarnych i nieelemen- tarnych.

Przykład 13.50 Znalézć ekstrema i naszkicować wyk- res funkcji y = |x| (x− 1)2.

Rozwiązanie 13.50 Funkcję y(x) i jej pochodną y0(x) musimy analizować w dwóch przedziałach: dla x < 0 oraz dla x > 0. Pochodna ma postać:

y0(x) =

½ [x(x− 1)2]0 = 3x2 − 4x+ 1 dla x > 0

[−x(x− 1)2]0 = −3x2 + 4x− 1 dla x < 0

W punkcie x = 0 pochodna nie istnieje, ponieważ y0(0+) = lim x→0+

(3x2 − 4x+ 1) = 1, a y0(0−) = lim

x→0− (−3x2 + 4x− 1) = −1. Stwierdzamy, że funkcja y(x) jest ciągła w punkcie

x = 0, gdyż y(0) = lim x→0 y(x) = 0. Znajdujemy punkty zerowe pochodnej rozwiązując równanie

y0(x) = 0. Dla x ∈ (0;∞) otrzymujemy x1 = 13 i x2 = 1, natomiast dla x ∈ (−∞; 0) równanie y0(x) = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych. Funkcja może miéc ekstrema tylko w punktach: 0, 1

3 i 1. W punkcie x = 0 funkcja ma minimum lokalne włásciwe równe 0, gdyż funkcja y(x)

jest w tym punkcie ciągła oraz dla każdego x należącego do sąsiedztwa punktu 0 o dostatecznie małym promieniu (0 < r < 1) mamy y0(x) < 0, gdy x < 0 i y0(x) > 0, gdy x > 0. W punkcie x = 1

3 występuje maksimum lokalne włásciwe równe 4

27 , ponieważ pochodna y0(x) zmienia w

tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. Podobnie stwierdzamy, że w punkcie x = 1 jest minimum lokalne włásciwe, równe 1. Odp. ymin = 0 dla x = 0 i x = 1; ymax = 427 dla x =

1 3 . Wykresy przedstawia rysunek 92

(y0(x)− linia przerywana).

Przykład 13.51 Wyznaczyć przedziały monotonicznósci poniższych funkcji i podać rodzaj monotonicznósci:

a) y1(x) = x

1 + x2 b) y2(x) =

√ x lnx

c) y3(x) = x4 − 4

3 x3 + 3 d) y4(x) = x2 (x2 − 9)3

(596)

Rozwiązanie 13.51 Na rysunkach 93 i 94 przedstawiono przebiegi funkcji (linia ciągła pogrubiona) oraz ich pierwszych (linia ciągła cienka) i drugich (linia przerywana) pochodnych. Na podstawie miejsc zerowych pochodnych (o ile istnieją) można lokalizować ekstrema i punkty przegięcia badanych funkcji.

y1(x) = x

1 + x2 y01(x) =

1− x2

(1 + x2)2 y001(x) =

2x (x2 − 3) (1 + x2)3

y2(x) = √ x lnx y02(x) =

2 + lnx

2 √ x

y002(x) = − lnx

4 ( √ x) 3

221

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 2 4

-2

-1

0

2

3

1 2 3 4

Rysunek 93: Funkcje y1 = x1+x2 i y2 = √ x lnx.

-4

-2

0

4

6

-2 -1 1 2

-1000

-800

-600

-400

-200

200

400

600

800

1000

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Rysunek 94: Funkcje y3 = x4 − 43x3 + 3 i y4 = x2 ¡ x2 − 9

¢3. y3(x) = x

4 − 4 3 x3 + 3 y03(x) = 4x

3 − 4x2 y003(x) = 12x2 − 8x

y4 = x 2 (x2 − 9)3 y04 = 8x7 − 162x5 + 972x3 − 1458x y004 = 56x6 − 810x4 + 2916x2 − 1458

1.

y01 = − x 2−1

(1+x2)2 y01 = 0⇐⇒ x = ±1 y1min(−1) = −12 y1max(1) =

1 2 (597)

Funkcja jest malejąca w przedziałach: x ∈ (−∞;−1) ∪ (1;∞); rosnąca w przedziale x ∈ (−1; 1).

2.

y02 = lnx+2 2 √ x

y02 = 0⇐⇒ x = e−2 y2min(e−2) = −2e−1 (598)

Funkcja jest malejąca w przedziale: x ∈ (0; e−2); rosnąca w przedziale x ∈ (e−2;∞).

3.

y03 = 4x 3 − 4x2 y03 = 0⇐⇒ x1,2 = 0, x3 = 1 y3min(1) = 173 (599)

Funkcja jest malejąca w przedziale: x ∈ (−∞; 1); rosnąca w przedziale x ∈ (1;∞).

222

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

4.

y04 = 8x 7 − 162x5 + 972x3 − 1458x

y04 = 0⇐⇒ x1 = 0, x2,3 = −3, x4,5 = 3, x6 = −32 , x7 = 3 2

(600)

y4max(0) = 0 y4min ¡ −3 2

¢ = −177147

256 y4min

¡ 3 2

¢ = 177147

256

Funkcja jest malejąca w przedziałach: x ∈ ¡ −∞;−3

2

¢ ∪ ¡ 0; 3

2

¢ ; rosnąca w przedziałach

x ∈ ¡ −3 2 ; 0 ¢ ∪ ¡ 3 2 ;∞ ¢ .

Przykład 13.52 Zbadać funkcje i sporządzíc ich wykresy.

ya = x 3 − 4x2 + 4x+ 1 yb = x2e1/x yc = 3

√ x3 − 6x2

yd = xe −x2/2 ye = xe

−x yf = x− ln(x+ 1) yg = xe

1/x yh = 2x−1 (x−1)2 yi = x+

lnx x

yj = x+ sinx yk = 3 p (x+ 1)2 − 3

p (x− 1)2 yl = x− 4x2

(601)

Rozwiązanie 13.52 (Wykresy, ekstrema, punkty przegięcia, asymptoty)47

a) (patrz rysunek 95)

Funkcja 1 pochodna 2 pochodna ya = x

3 − 4x2 + 4x+ 1 y0a = 3x2 − 8x+ 4 y00a = 6x− 8 Asymptoty − − −

yb = x 2e1/x y0b = (2x− 1)e1/x y00b = 2x

2−2x+1 x2

e1/x

Asymptoty − y = 2x− 1 y = 2

-4

-2

0

2

4

-1 1 2 3

-2

0

2

4

6

8

-3 -2 -1 1 2 3

Rysunek 95: Funkcje ya = x3 − 4x2 + 4x+ 1 i yb = x2e1/x.

47Podobnie, jak w poprzednim przykładzie przedstawiono przebiegi funkcji (linia ciągła pogrubiona) oraz ich pierwszych (linia ciągła cienka) i drugich (linia przerywana) pochodnych.

223

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

b) (patrz rysunek 96)

Funkcja 1 pochodna 2 pochodna

yc = 3 √ x3 − 6x2 y0c = x−43√x(x−6)2 y

00 c = − 83√x4(x−6)5

Asymptoty y = x− 2 y = 1, x = 0, x = 6 y = 0, x = 0, x = 6 yd = xe

−x2/2 y0d = (1− x2) e−x 2/2 y00d = x(x

2 − 3)e−x2/2 Asymptoty y = 0 y = 0 y = 0

-4

-2

0

2

4

6

-4 -2 2 4 6 8

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Rysunek 96: Funkcje yc = ¡ x3 − 6x2

¢1/3 i yd = xe−x2/2. c) (patrz rysunek 97)

Funkcja 1 pochodna 2 pochodna ye = xe

−x y0e = (1− x) e−x y00e = (x− 2)e−x Asymptoty y = 0+ y = 0+ y = 0+

yf = x− ln(x+ 1) y0f = xx+1 y00f = 1

(x+1)2

Asymptoty x = −1 y = 1, x = −1 y = 0, x = −1

-2

0

1

-1 1 2 3 4 5

-4

-2

0

2

6

8

-2 -1 1 2 3 4

Rysunek 97: Funkcje ye = xe−x i yf = x− ln (x+ 1).

224

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

d) (patrz rysunek 98)

Funkcja 1 pochodna 2 pochodna yg = xe

1/x y0g = e 1/x x−1

x y00g = e

1/xx−3

Asymptoty y = x+ 1, x = 0 y = 1, x = 0 y = 0, x = 0 yh =

2x−1 (x−1)2 y

0 h = − 2x(x−1)3 y

00 h =

4x+2 (x−1)4

Asymptoty y = 0, x = 1 y = 0, x = 1 y = 0, x = 1

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5

0

5

10

20

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Rysunek 98: Funkcje yg = xe1/x i yh = 2x−1(x−1)2 .

e) (patrz rysunek 99)

Funkcja 1 pochodna 2 pochodna

yi = x+ lnx x

y0i = x2+1−lnx x2

y00i = −3+2 lnx x3

Asymptoty y = x y = 1, x = 0 y = 0, x = 0 yj = x+ sinx y

0 j = 1 + cos x y

00 j = − sinx

Ograniczenia y = x± 1; ypp = x

-10

-8

-6

-4

0

2

4

6

8

-1 1 2 3 4

-4

-2

0

2

4

-4 -2 2 4

Rysunek 99: Funkcje yi = x+ lnxx i yj = x+ sinx.

225

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

f) (patrz rysunek 100)

Funkcja 1 pochodna 2 pochodna

yk = 3 p (x+ 1)2 − 3

p (x− 1)2 y0k = 23

3√x−1− 3 √ x+1

3√x−1 3 √ x+1

y00k = 2 9

3 √ (x−1)4

− 2 9

3 √ (x+1)4

Asymptoty y = 0, x = ±1 y = 0, x = ±1 yl = x− 4/x2 y0l = x

3+8 x3

y00l = − 24x4 Ograniczenia y = x y = 1 y = 0, x = 0

-4

-3

-2

-1 0

1

2

3

4

-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

0

2

4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Rysunek 100: Funkcje yk = (x+ 1)2/3 − (x− 1)2/3 i yl = x− 4x2 .

Funkcja Ekstrema Wartóśc y ya = x

3 − 4x2 + 4x+ 1 xmax = 23 xmin = 2 y(xmax) = 59 27 y(xmin) = 1

yb = x 2e1/x xmin =

1 2

y(xmin) = 1 4 e2

yc = 3 √ x3 − 6x2 xmax = 0 xmin = 4 y(xmax) = 0 y(xmin) = − 3

√ 32

yd = xe −x2/2 xmax = 1 xmin = −1 y(xmax) = 1√e y(xmin) = −

1√ e

ye = xe −x xmax = 1 y(xmax) =

1 e

yf = x− ln(x+ 1) xmin = 0 y(xmin) = 0 yg = xe

1/x xmin = 1 y(xmin) = e yh =

2x−1 (x−1)2 xmin = 0 y(xmin) = −1

yi = x+ lnx x

nie ma yj = x+ sinx xmin = π − lokalne y(xmin) = π yk =

3 p (x+ 1)2 − 3

p (x− 1)2 xmax = 1 xmin = −1 y(xmax) = 3

√ 4 y(xmin) = − 3

√ 4

yl = x− 4x2 xmax = −2 y(xmax) = −3

Tablica 3: Funkcje i ich ekstrema.

226

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Funkcja Pierwsza pochodna y0 = 0 ya = x

3 − 4x2 + 4x+ 1 y0a = 3x2 − 8x+ 4 x1 = 23 x2 = 2 yb = x

2e1/x y0b = (2x− 1)e1/x x = 12 yc =

3 √ x3 − 6x2 y0c = x−43√

x(x−6)2 x = 4

yd = xe −x2/2 y0d = (1− x2) e−x

2/2 x1 = −1 x2 = 1 ye = xe

−x y0e = (1− x)e−x x = 1 yf = x− ln(x+ 1) y0f = xx+1 x = 0 yg = xe

1/x y0g = e 1/x x−1

x x = 1

yh = 2x−1 (x−1)2 y

0 h = − 2x(x−1)3 x = 0

yi = x+ lnx x

y0i = x2+1−lnx x2

nie ma y0 6= 0 yj = x+ sinx y

0 j = 1 + cosx x = ±(2k − 1)π

yk = 3 p (x+ 1)2 − 3

p (x− 1)2 y0k =

2

3

3√x−1− 3 √ x+1

3√x−1 3 √ x+1

nie ma y0 6= 0

yl = x− 4

x2 y0l =

x3+8 x3

x = −2

Tablica 4: Funkcje i miejsca zerowe pierwszych pochodnych.

Funkcja Druga pochodna y00 = 0 y(xpp) ya = x

3 − 4x2 + 4x+ 1 y00a = 6x− 8 x = 43 y = 43 27

yb = x 2e1/x y00b =

2x2−2x+1 x2

e1/x nie ma y00 6= 0 yc =

3 √ x3 − 6x2 y00c = − 83√(x−6)5 3√x4 nie ma y

00 6= 0

yd = xe −x2/2 y00d = x(x

2 − 3)e−x2/2 x1 = −

√ 3

x2 = √ 3

x3 = 0 ye = xe

−x y00e = (x− 2)e−x x = 2 yf = x− ln(x+ 1) y00f = 1(x+1)2 nie ma y

00 6= 0 yg = xe

1/x y00g = e 1/xx−3 nie ma y00 6= 0

yh = 2x−1 (x−1)2 y

00 h =

4x+2 (x−1)4 x = −

1 2

yi = x+ lnx x

y00i = −3+2 lnx x3

x = e3/2

yj = x+ sinx y 00 j = − sinx x = ±kπ 48

yk = 3 p (x+ 1)2 − 3

p (x− 1)2 y00k =

2 9

3 √ (x−1)4

− 2 9

3 √ (x+1)4

x = 0 y = 0

yl = x− 4

x2 y00l = − 24x4 nie ma y00 6= 0

Tablica 5: Funkcje i miejsca zerowe drugich pochodnych.

227

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Funkcja Punkty nieciągłósci pochodnych yb(x) x = 0 yc(x) x1 = 0, x2 = 6 yf(x) x = −1 yg(x) x = 0 yh(x) x = 1 yi(x) x = 0 yk(x) x1 = −1, x2 = 1 yl(x) x = 0

Tablica 6: Punkty nieciągłósci pochodnych.

W ostatniej tabeli wymieniono punkty, w których nie istnieją pochodne rozważanych funkcji.

13.15 Tabele zmiennósci funkcji analizowanych w Przykładzie 13.52

Zmiennóśc funkcji ya(x) = x3 − 4x2 + 4x+ 1 ya(x) = x

3 − 4x2 + 4x+ 1→ Df = R x −∞ . . . 2

3 . . . 4

3 . . . 2 . . . ∞

y0a(x) + + 0 − − − 0 + + y00a(x) − − − − 0 + + + + ya(x) −∞ % max = 5927 & pp =

43 27

& min = 1 % ∞ funkcja wklęsła pp funkcja wypukła

Tablica 7: Tabela zmiennósci funkcji ya = x3 − 4x2 + 4x+ 1.

Zmiennóśc funkcji yb(x) = x2e1/x

yb(x) = x 2e1/x → Df = R− {0}

x −∞ . . . 0 . . . 1 2

. . . ∞ Asymptoty y0b(x) − − 0 −∞ − 0 + + y = 2x+ 1 y00b (x) + + 0 + + + + + x = 0

+

yb(x) ∞ & 0 ∞ & min = 14e2 % ∞ x = 0+ f. wypukła funkcja wypukła

Tablica 8: Tabela zmiennósci funkcji yb = x2e1/x.

4950

49Zapis R− {0} jest równoważny zapisowi R\{0}. 50W punkcie x = 0 pierwsza i druga pochodna funkcji yb(x) = x2e1/x nie istnieje. Funkcje opisujące te

pochodne nie są ciągłe w x = 0.

228

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Zmiennóśc funkcji yc(x) = 3 √ x3 − 6x2

yc(x) = 3 √ x3 − 6x2 → Df = R

x −∞ . . . 0 . . . 4 . . . 6 . . . ∞ Asymptoty y0c(x) + + + − − 0 + + + + + x = 0 x = 6 y00c (x) + + + + + + + + − − − x = 0 x = 6 yc(x) −∞ % 0 &

min

− 3 √ 32

% 0 % ∞ y = x− 2 funkcja wypukła f. wklęsła

Tablica 9: Tabela zmiennósci funkcji yc = ¡ x3 − 6x2

¢1/3. 51

Zmiennóśc funkcji yd(x) = xe−x 2/2

yd(x) = xe −x2/2 → Df = R

x −∞ . . . − √ 3 . . . −1 . . . 0 . . . 1 . . .

√ 3 . . . ∞

y0d(x) − − − − 0 + + + 0 − − − − y00d(x) − − 0 + + + 0 − − − 0 + + yd(x) 0 &

pp

− √ 3

e3/2

& min− 1√ e

% pp 0

% max1√ e

& pp √ 3

e3/2

& 0

wklęsła pp f. wypukła pp f. wklęsła pp f. wyp.

Tablica 10: Tabela zmiennósci funkcji yd = xe−x 2/2.

Zmiennóśc funkcji ye(x) = xe−x

ye(x) = xe −x → Df = R

x −∞ . . . 0 . . . 1 . . . 2 . . . ∞ Asymptoty y0e(x) + + + + 0 − − − 0− y = 0 y00e (x) − − − − − − 0 + + y = 0 ye(x) −∞ % 0 %

max

= e−1 & pp

= 2e−2 & 0 y = 0

funkcja wklęsła pp f. wypukła

Tablica 11: Tabela zmiennósci funkcji ye = xe−x.

Zmiennóśc funkcji yf(x) = x− ln(x+ 1) yf(x) = x− ln(x+ 1)→ Df = (−1;∞)

x −1+ . . . 0 . . . ∞ Asymptoty y0f(x) − − 0 + + x = −1+ y = 1− y00f (x) + + + + + x = −1+ y = 0+ yf(x) ∞ & min = 0 % ∞ x = −1+

funkcja wypukła

Tablica 12: Tabela zmiennósci funkcji yf = x− ln (x+ 1).

51W punktach x = 0 i x = 6 pierwsza i druga pochodna funkcji yc(x) = 3 √ x3 − 6x2 nie istnieje. Funkcje

opisujące te pochodne nie są w nich ciągłe.

229

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Zmiennóśc funkcji yg(x) = xe1/x

yg(x) = xe 1/x → Df = R− {0}

x −∞ . . . 0 . . . 1 . . . ∞ Asymptoty y0g(x) + + 0 − − 0 + + x = 0+ y = 1− y00g (x) − − 0 + + + + + x = 0+ y = 0+ yg(x) −∞ % 0 ∞ & min = e % ∞ y = x+ 1

f. wklęsła funkcja wypukła

Tablica 13: Tabela zmiennósci funkcji yg = xe1/x.

52

Zmiennóśc funkcji yh(x) = 2x−1(x−1)2 yh(x) =

2x−1 (x−1)2 → Df = R− {1}

x −∞ . . . −1 2 . . . 0 . . . 1

2 . . . 1 . . . ∞ Asymp.

y0h(x) 0 − − − − 0 + + + + − − 0− x = 1 y = 0−

y00h(x) 0 − − 0 + + + + + + + + 0+ x = 1 y = 0

yh(x) 0 − − pp−8

9

& min−1 % 0 % % & & 0 + x = 1 y = 0

wklęsła pp funkcja wypukła f. wypukła

Tablica 14: Tabela zmiennósci funkcji yh = 2x−1(x−1)2 .

53

Zmiennóśc funkcji yi(x) = x+ lnxx yi(x) = x+

lnx x → Df = R+ = (0;∞)

x 0+ . . . 0.6529 . . . 1 . . . e3/2 . . . ∞ Asymp. y0i(x) + + + + 2 + + + + x = 0

+ y = 1 y00i (x) − − − − −3 − 0 + + x = 0+ y = 0 yi(x) −∞ % 0 % 1 % 4.82 % ∞ x = 0+ y = x

funkcja wklęsła pp f. wypukła

Tablica 15: Tabela zmiennósci funkcji yi = x+ lnxx .

52W punkcie x = 0 pierwsza i druga pochodna funkcji yg(x) = xe1/x nie istnieje. Funkcje opisujące te pochodne nie są w nim ciągłe. 53W punkcie x = 1 pierwsza i druga pochodna funkcji yh(x) = 2x−1(x−1)2 nie istnieje. Funkcje opisujące te

pochodne nie są w nim ciągłe.

230

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Zmiennóśc funkcji yj(x) = x+ sinx yj(x) = x+ sinx→ Df = R

x −∞ . . . −π . . . 0 . . . π . . . ∞ Asymp. y0j(x) · · · + 0 + 2 + 0 + · · · y00j (x) · · · ± 0 + 0 − 0 ± · · ·

yj(x) −∞ % pp

−π min

−π % 0 % pp

π

max

π % ∞

y = x+ 1 y = x− 1 ypp = x

f. wypukła f. wklęsła

Tablica 16: Tabela zmiennósci funkcji yj = x+ sinx.

Asymptot nie ma. Można jednak wyznaczýc funkcje, pomiędzy którymi znajduje się yj(x). Są to: y = x+ 1, y = x− 1. Punkty przegięcia leżą na ypp = x.

Zmiennóśc funkcji yk = 3 p (x+ 1)2 − 3

p (x− 1)2

yk = 3 p (x+ 1)2 − 3

p (x− 1)2 → Df = R

x −∞ . . . −1 . . . 0 . . . 1 . . . ∞ Asymp. y0k(x) 0

− − Ã + 4 3

+ Ã − 0− x = −1 x = 1 y00k(x) 0

− − Ã − 0 + Ã + 0+ x = −1 x = 1 yk(x) 0

− & min− 3√4 % pp 0

% max3√4 & 0+ y = 0 funkcja wklęsła funkcja wypukła

Tablica 17: Tabela zmiennósci funkcji yk = (x+ 1)2/3 − (x− 1)2/3.

54

Zmiennóśc funkcji yl = x− 4/x2 yl = x− 4/x2 → Df = R− {0}

x −∞ . . . −2 . . . 0 . . . 3 √ 4 . . . ∞ Asymp.

y0l(x) 1 − + 0 − Ã + + + 1+ y = 1 x = 0

y00l (x) 0 − − − − Ã − − − 0− y = 0 x = 0

yl(x) −∞ % max−3 & &−∞ −∞ % % 0 % ∞ x = 0 funkcja wklęsła à funkcja wklęsła

Tablica 18: Tabela zmiennósci funkcji yl = x− 4x2 .

55

54W punktach x = −1 i x = 1 pierwsza i druga pochodna funkcji yk = 3 p (x+ 1)2 − 3

p (x− 1)2 nie istnieje.

Funkcje opisujące te pochodne nie są w nich ciągłe. 55W punkcie x = 0 pierwsza i druga pochodna funkcji yl = x − 4/x2 nie istnieje. Funkcje opisujące te

pochodne nie są w nim ciągłe.

231

docsity.com

14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. MATEMATYKA

14 Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych.

14.1 Definicja funkcji dwóch zmiennych i n− zmiennych Na wstępie podamy definicję funkcji dwóch zmiennych.

Definicja 14.1 (Funkcji dwóch zmiennych)

1. Funkcja f dwóch zmiennych x1, x2 odwzorowująca zbiór X ⊂ R2 w zbiór U ⊂ R jest przyporządkowaniem każdemu punktowi P (x1, x2) ∈ X dokładnie jednej liczby z ∈ U. Piszemy przy tym

f : X → U lub z = f(x1, x2) dla (x1, x2) ∈ X lub z = f(P ) dla P ∈ X.

2. Zbiór X jest dziedziną funkcji f (symbol Df). Jeżeli funkcja f jest okréslona wzorem i jej dziedzina nie jest podana, to przyjmujemy, że jest nią zbiór wszystkich punktów P (x1, x2), dla których wzór ten ma sens liczbowy. Jest to tak zwana dziedzina naturalna funkcji f .

3. Zbiór wszystkich wartósci, jakie przyjmuje funkcja f w swojej dziedzinie jest przeciw- dziedziną tej funkcji (symbol Rf).

Uwaga 14.1 Symbole x1, x2 oznaczają zmienne niezależne, zás z− zmienną zależną. W przypadku rozpatrywanej funkcji dwóch zmiennych, zmienne niezależne oznaczać będziemy literami x i y.

y

x-1/2 0

1

-2

-1

Rysunek 101: Rozwiązanie przykładu.

Przeanalizujemy poniższy przykład.

Przykład 14.1 Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji z =

q x

x2+y2+2x − 1.

Rozwiązanie 14.1 Mamy tu f(x, y) = q

x x2+y2+2x

− 1.

A więc (x, y) ∈ Df ⇔ x x2+y2+2x

−1 ≥ 0⇔ x+x2+y2 x2+y2+2x

≤ 0⇔ x+x2+y2 ≥ 0∧x2+y2+2x < 0. Zachodzi to wtedy i tylko wtedy, gdy

¡ x+ 1

2

¢2 +y2 ≥ 1

4 ∧(x+1)2+y2 < 1.Oznacza to,

że do dziedziny naturalnej Df analizowanej funkcji należą wszystkie te i tylko te punkty płaszczyzny (x, y), które nie należą do wnętrza koła o środku w punkcie

¡ −1 2 , 0 ¢

i promieniu 1 2 i jednoczésnie są punktami wewnętrznymi

koła o środku w punkcie (−1, 0) i promieniu 1 (patrz rys. 101).

Odp. n (x, y) :

¡ x+ 1

2

¢2 + y2 ≥ 1

4 ∧ (x+ 1)2 + y2 < 1

o .

Definicja 14.2 (Odległósci w R2) Odległósć ρAB punktów A(a1, a2) i B(b1, b2) w przestrzeni R2 okréslamy wzorem

AB = ρAB =

q (a1 − b1)2 + (a2 − b2)2 (602)

232

docsity.com

MATEMATYKA 14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.

Definicja 14.3 (Otoczenia w R2) Otoczeniem kołowym (otoczeniem) U (P0; r) punktu P0 ∈ R2 o promieniu r > 0 jest zbiór

wszystkich punktów P ∈ R2, dla których

ρP0P < r (603)

Definicja 14.4 Otoczeniem prostokątnym punktu P0 o bokach 2p i 2q, p > 0, q > 0, nazywamy zbiór punktów P = (x, y) spełniających nierównósci

|x− x0| < p |y − y0| < q (604)

Definicja 14.5 (Sąsiedztwa w R2) Sąsiedztwem kołowym (sąsiedztwem) S (P0; r) punktu P0 ∈ R2 o promieniu r > 0 jest zbiór

wszystkich punktów P ∈ R2, dla których

0 < ρP0P < r (605)

Definicja 14.6 Sąsiedztwem prostokątnym punktu P0 o bokach 2p i 2q, p > 0, q > 0, nazywamy zbiór punktów P = (x, y) spełniających nierównósci

0 < |x− x0| < p 0 < |y − y0| < q (606)

Definicja 14.7 Punkt P nazywamy punktem wewnętrznym zbioru E, jeżeli pewne otoczenie punktu P zawiera się w E . Zbiór punktów wewnętrznych zbioru E nazywamy wnętrzem zbioru E.

Definicja 14.8 Punkt P nazywamy punktem zewnętrznym zbioru E, jeżeli otoczenie zbioru P jest rozłączne ze zbiorem E. Zbiór punktów zewnętrznym względem zbioru E nazywamy zewnętrzem zbioru E.

Definicja 14.9 (Funkcji ograniczonej) Funkcję f(P ) nazywamy ograniczoną w zbiorze X, jeżeli istnieje taka liczba M , że dla

każdego P (x, y) ∈ X spełniona jest nierównósć: |f(P )| ≤M .

Jeżeli n = 3, to zmienne niezależne x1, x2, x3 najczę́sciej oznaczamy literami x, y, z, natomiast zmienną zależną opisujemy inną literą, np. u, v lub f . Zachodzi wówczas P (x, y, z) ∈ X, X ∈ R3 oraz u, v, f ∈ U . Przestrzeń R2 z odległóscią (602) nazywamy 2−wymiarową przestrzenią euklidesową.

Definicja 14.10 (Funkcji n zmiennych) Funkcja f , n zmiennych x1, x2, . . . , xn, odwzorowująca zbiór X⊂ Rn w zbiór U ⊂ R jest

przyporządkowaniem każdemu punktowi P (x1, x2, . . . , xn) ∈ X dokładnie jednej liczby f ∈ U. Piszemy przy tym

f : X → U (607) lub u = f(x1, x2, . . . , xn) dla (x1, x2, . . . , xn) ∈ X lub u = f(P ) dla P ∈ X.

Definicja 14.11 (Odległósci w Rn) Odległósć ρAB punktów A(a1, a2, . . . , an) i B(b1, b2, . . . , bn) w przestrzeni Rn okréslamy

wzorem

ρAB =

q (a1 − b1)2 + (a2 − b2)2 + . . .+ (an − bn)2 (608)

233

docsity.com

14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. MATEMATYKA

Definicja 14.12 (Otoczenia w Rn) Otoczeniem U (P0; r) punktu P0 ∈ Rn o promieniu r > 0 jest zbiór wszystkich punktów

P ∈ Rn, dla których ρP0P < r (609)

Definicja 14.13 (Sąsiedztwa w Rn) Sąsiedztwem S (P0; r) punktu P0 ∈ Rn o promieniu r > 0 jest zbiór wszystkich punktów

P ∈ Rn, dla których 0 < ρP0P < r (610)

14.2 Granica funkcji dwóch zmiennych

Niech będzie dany ciąg (Pn) , n = 1, 2, . . . punktów przestrzeni R2 i niech P0 będzie punktem tej przestrzeni.

Definicja 14.14 (Granicy) Mówimy, że ciąg (Pn) punktów jest zbieżny do punktu P0, albo, że granicą ciągu (Pn) jest

P0, co zapisujemy lim n→∞ Pn = P0 (611)

wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg odległósci punktów Pn od punktu P0 jest zbieżny do 0, tzn.

lim n→∞ ρPnP0 = 0 (612)

Twierdzenie 14.1 Jeżeli Pn (xn, yn) i P0(a, b) dla n ∈ N , to Pn → P0 wtedy i tylko wtedy, gdy56

lim n→∞ xn = a i lim

n→∞ yn = b (613)

Niech funkcja f będzie funkcją okrésloną w zbiorze Z i niech P0 będzie punktem skupienia tego zbioru.

Definicja 14.15 (Heinego granicy funkcji dwóch zmiennych) Liczbę g nazywamy granicą funkcji f(P ) w punkcie P0 i piszemy

lim P→P0

f(P ) = g lub lim x→a y→b f(x, y) = g (614)

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu punktów (Pn) , Pn ∈ Z, Pn 6= P0 zbieżnego do P0 ciąg (f (Pn)) jest zbieżny do g.

Z definicji granicy w sensie Heinego wynika, że funkcja f(x, y) okréslona w pewnym sąsiedztwie punktu (a, b) ma w tym punkcie granicę równą liczbie g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu punktów (xn, yn) z sąsiedztwa (a, b) i takiego, że xn → a, yn → b, ciąg f(xn, yn)→ g. 56Zapis Pn → P0 oznacza, że lim

n→∞ Pn = P0.

234

docsity.com

MATEMATYKA 14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.

Definicja 14.16 (Cauchy’ego granicy funkcji dwóch zmiennych) Liczbę g nazywamy granicą funkcji f(P ) w punkcie P0, co zapisujemy lim

P→P0 f(P ) = g, wtedy

i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, że dla każdego punktu P ∈ S(P0; δ) wartósci funkcji f(P ) różnią się od liczby g mniej niż o ε, tzn.

lim P→P0

f(P ) = g ⇔ ∀ε ∃δ > 0 ∀P ∈ S (0 < ρPP0 < δ)⇒ (|f(P )− g| < ε (615)

Z definicji granicy w sensie Cauchy’ego wynika, że funkcja f(x, y) okréslona w pewnym otoczeniu punktu (a, b) jest w tym punkcie ciągła, jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla każdego punktu (x, y) z tego otoczenia z zachodzenia nierównósci |x− a| < δ oraz |y − b| < δ wynika, że |f(x, y)− f(a, b)| < ε. Oczywíscie powyższy warunek jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy

lim (x,y)→(a,b)

f(x, y) = f(a, b)

Uwaga 14.2 (O równoważnósci definicji granic funkcji dwóch zmiennych)

1. Definicje Cauchy’ego i Heinego granicy funkcji dwóch zmiennych są równoważne.

2. Granicę funkcji dwóch zmiennych nazywamy także granicą 2− krotną lub granicą podwójną.

Definicja 14.17 (Granic niewłásciwych funkcji dwóch zmiennych według Heinego) Jeżeli dla każdego ciągu (Pn) punktów, spełniających warunki podane w Definicji Heinego,

odpowiadający mu ciąg wartósci (f (Pn)) jest rozbieżny do +∞ (−∞), to mówimy, że rozważana funkcja ma w punkcie P0 granicę niewłásciwą +∞ (−∞) i piszemy

lim P→P0

f(P ) = +∞ lub lim P→P0

f(P ) = −∞ (616)

Definicja 14.18 (Granicy niewłásciwej +∞ według Cauchy’ego) Liczba g jest granicą niewłásciwą +∞ funkcji f w punkcie P0 wtedy i tylko wtedy, gdy

∀A ∃δ > 0 ∀P ∈ S ¡ 0 < ρPP0 < δ

¢ ⇒ (f(P ) > A) (617)

Definicja 14.19 (Granicy niewłásciwej −∞ według Cauchy’ego) Liczba g jest granicą niewłásciwą −∞ funkcji f w punkcie P0 wtedy i tylko wtedy, gdy

∀A ∃δ > 0 ∀P ∈ S ¡ 0 < ρPP0 < δ

¢ ⇒ (f(P ) < A) (618)

Definicja 14.20 (Granicy iterowanej) Jeżeli istnieje liczba

lim x→x0

∙ lim y→y0 f(x, y)

¸ lub lim

y→y0

∙ lim x→x0 f(x, y)

¸ (619)

to nazywamy ją granicą iterowaną funkcji f(x, y), gdy najpierw y → y0, a następnie x→ x0 (lub odwrotnie).

Uwaga 14.3 Z istnienia granic iterowanych nie wynika istnienie granicy podwójnej.

235

docsity.com

14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. MATEMATYKA

Przykład 14.2 Obliczyć lim x→0 y→0

x4−y4 x+y

.

Rozwiązanie 14.2 Dziedziną naturalną Df funkcji f(x, y) = x 4−y4 x+y

jest suma dwóch półpłasz- czyzn: x + y < 0 i x + y > 0. Punkt P0(0, 0) jest punktem skupienia zbioru Df . Rozważmy dowolny ciąg (Pk) = ((xk, yk)) punktów zbioru Df , zbieżny do punktu P0(0, 0), tzn. taki, że xk → 0 i yk → 0. Ponieważ f(Pk) = x

4 k−y4k xk+yk

= (xk − yk) (x2k + y2k), więc na mocy Definicji 14.15 (Heinego) mamy

lim x→0 y→0

x4 − y4 x+ y

= lim k→∞

(xk − yk) ¡ x2k + y

2 k

¢ = 0 (620)

Odp. Granica jest równa 0.

Przykład 14.3 Wykazać, że granica podwójna

lim x→0 y→0

x2 + y2

x2 − xy + y2 (621)

nie istnieje.

Rozwiązanie 14.3 Rozważmy dwa ciągi punktów:

(P 1k ) =

µµ 1

k , 1

k

¶¶ i (P 2k ) =

µµ 0, 1

k

¶¶ (622)

zbieżne do punktu P0(0, 0). Ponieważ f(x, y) = x2+y2

x2−xy+y2 , to po podstawieniu (622) mamy:

f ¡ P 1k ¢ =

1 k2 + 1 k2

1 k2 − 1 k2 + 1 k2

= 2 k2

1 k2

−→ k→∞

2

(623)

f ¡ P 2k ¢ =

1 k2

1 k2

−→ k→∞

1

Przykład 14.4 Wyznaczyć granice iterowane funkcji z Przykładu 14.3.

Rozwiązanie 14.4 Mamy

lim x→0

∙ lim y→0

x2 + y2

x2 − xy + y2 ¸ = lim

x→0 1 = 1

(624)

lim y→0

∙ lim x→0

x2 + y2

x2 − xy + y2

¸ = lim

y→0 1 = 1

Przykład 14.5 Wyznaczyć granice iterowane funkcji

lim x→0 y→0

x2 − y2 x2 − xy + y2 (625)

236

docsity.com

MATEMATYKA 14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.

Rozwiązanie 14.5 Mamy

lim x→0

∙ lim y→0

x2 − y2 x2 − xy + y2

¸ = lim

x→0 1 = 1

(626)

lim y→0

∙ lim x→0

x2 − y2 x2 − xy + y2

¸ = lim

y→0 (−1) = −1

Przykład 14.6 Dana jest funkcja

f(x, y) = £ x2 + (y − 1)2

¤ cos

1

x cos

1

y − 1 (627)

Zbadać istnienie granicy podwójnej w punkcie P0(0, 1) oraz granic iterowanych

lim x→0

∙ lim y→1 f(x, y)

¸ i lim y→1

h lim x→0 f(x, y)

i (628)

Rozwiązanie 14.6 ZbiórDf = {(x, y) : x 6= 0 ∧ y 6= 1} jest dziedziną naturalną funkcji (627). Punkt P0(0, 1) jest punktem skupienia tego zbioru. Wézmy dowolny ciąg (Pk) = ((xk, yk)) punktów zbioru Df , zbieżny do punktu P0(0, 1), tzn. taki, że xk → 0 i yk → 1. Ponieważ

0 ≤ ¯̄̄̄£ x2 + (y − 1)2

¤ cos

1

x cos

1

y − 1

¯̄̄̄ ≤ |x|2 + |y − 1|2

więc 0 ≤ |f(xk, yk)| ≤ |xk|2 + |yk − 1|2

Stąd na mocy twierdzenia o trzech ciągach mamy:

lim x→0 y→1

£ x2 + (y − 1)2

¤ cos

1

x cos

1

y − 1 = 0

Natomiast zauważmy, że dla funkcji

f(x, y) = x2 cos 1

x cos

1

y − 1 + (y − 1) 2 cos

1

x cos

1

y − 1

przy ustalonym x nie istnieje granica lim y→1 f(x, y), ponieważ lim

y→1 cos 1

y−1 nie istnieje. Oznacza to,

że pierwsza z granic iterowanych nie istnieje. Podobnie przy ustalonym y nie istnieje granica lim x→0 f(x, y), ponieważ lim

x→0 cos 1

x nie istnieje. Stąd wynika, że druga z granic iterowanych również

nie istnieje. Odp. Granica podwójna istnieje i wynosi 0. Granice iterowane nie istnieją.

14.3 Ciągłóśc funkcji dwóch zmiennych

Definicję ciągłósci funkcji dwóch zmiennych zapisujemy następująco:

Definicja 14.21 (Ciągłósci funkcji dwóch zmiennych) Funkcja f(P ) dwóch zmiennych jest ciągła w punkcie P0 wtedy i tylko wtedy, gdy

lim P→P0

f(P ) = f(P0) (629)

237

docsity.com

14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. MATEMATYKA

Definicja 14.22 (Ciągłósci na zbiorze) Funkcja f(P ) dwóch zmiennych jest ciągła na pewnym zbiorze Z ⊂ R2, jeżeli jest ciągła w

każdym punkcie tego zbioru.

Twierdzenie 14.2 (O lokalnym zachowaniu znaku) Jeżeli funkcja f(P ) okréslona na pewnym otoczeniu punktu P0 jest w tym punkcie ciągła i

f(P0) > 0 to ∃δ > 0 ∀P ∈ S(P0; δ) f(P ) > 0 oraz, jeżeli (630)

f(P0) < 0 to ∃δ > 0 ∀P ∈ S(P0; δ) f(P ) < 0

Twierdzenie 14.3 (O ograniczonósci funkcji) Jeżeli funkcja f(P ) jest ciągła na obszarze domkniętym i ograniczonym D, to f(P ) jest

ograniczona na obszarze D.

Twierdzenie 14.4 (Weierstrassa o osiąganiu kresów) Jeżeli funkcja f(P ) jest ciągła na obszarze domkniętym i ograniczonym D, to

∃P1 ∈ D f(P1) = sup P∈D f(P )

(631)

∃P2 ∈ D f(P2) = inf P∈D f(P )

Twierdzenie 14.5 (Darboux o przyjmowaniu wartósci pósrednich) Jeżeli funkcja f(P ) jest ciągła na obszarze domkniętym i ograniczonym D i

µ ∈ * inf P∈D f(P ); sup

P∈D f(P )

+ (632)

to ∃P0 ∈ D f(P0) = µ (633)

Twierdzenie 14.6 (Cantora o ciągłósci jednostajnej) Jeżeli funkcja f(P ) jest ciągła na obszarze domkniętym i ograniczonym D, to

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀P1, P2 ∈ D 0 < ρP1P2 < δ ⇒ |f(P1)− f(P2)| < ε (634)

Uwaga 14.4 Funkcję f(P ), dla której spełniona jest teza Twierdzenia 14.6 nazywamy funkcją jednostajnie ciągłą na obszarze D.

Przykład 14.7 Wyznaczyć zbiór wszystkich punktów, w których funkcja

f(x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎩ cos

1

x2 + y2 gdy (x, y) 6= (0, 0)

0 gdy (x, y) = (0, 0)

(635)

jest ciągła.

238

docsity.com

MATEMATYKA 14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.

Rozwiązanie 14.7 Wézmy dowolny punkt P0(0, 0) 6= (0, 0) oraz sąsiedztwo S punktu P0 o promieniu na tyle małym, że punkt (0, 0) /∈ S. Niech (Pk) = ((xk, yk)) będzie dowolnym ciągiem punktów Pk ∈ S zbieżnym do punktu P0(x0, y0). Ponieważ

lim P→P0

f(P ) = lim k→∞ f(Pk) = lim

k→∞ cos

1

x2k + y 2 k

= cos

∙ lim k→∞

1

x2k + y 2 k

¸ = cos

1

x20 + y 2 0

(636)

oraz

f(P0) = cos 1

x20 + y 2 0

(637)

więc funkcja f(x, y) jest ciągła w każdym punkcie (x, y) 6= (0, 0). W punkcie P0(0, 0) funkcja nie jest ciągła. Dla ciągu (Pk) =

¡¡ 1 k , 0 ¢¢ zbieżnego do punktu P0(0, 0), ciąg (f(Pk)) = (cos k2)

nie ma granicy. Oznacza to, że lim x→0 y→1 f(x, y) nie istnieje, a więc funkcja nie może być ciągła w

punkcie P0(0, 0). Odp. Funkcja jest ciągła na zbiorze {(x, y) : x2 + y2 > 0}.

14.4 Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych

),( yx

),( yyx ∆+

),( yxx ∆+

xx ∆+x

y yy ∆+

xy

Rysunek 102: Położenie punktów w kole.

Niech f będzie funkcją okrésloną na pewnym kole zawartym w przestrzeniR2 i niech (x, y), (x+∆x, y), (x, y+ ∆y) będą punktami tego koła (patrz rys. 102). Różnice

f(x+∆x, y)− f(x, y) oraz f(x, y +∆y)− f(x, y) (638)

nazywamy przyrostami wartósci funkcji f w punkcie (x, y) odpowiadającymi przyrostowi ∆x pierwszej zmiennej, względnie przyrostowi ∆y drugiej zmiennej. Ponadto, niech ∆x 6= 0 oraz ∆y 6= 0. Wówczas ilorazy

f(x+∆x, y)− f(x, y) ∆x

oraz f(x, y +∆y)− f(x, y)

∆y (639)

nazywamy ilorazami różnicowymi funkcji f odpowiadającymi przyrostowi ∆x pierwszej zmiennej, względnie przyrostowi ∆y drugiej zmiennej.

Definicja 14.23 (Pochodnych cząstkowych)

1. Granicę ilorazu różnicowego

f(x+∆x, y)− f(x, y) ∆x

(640)

gdy ∆x → 0 nazywamy pochodną cząstkową funkcji f w punkcie (x, y) względem zmiennej x i oznaczamy symbolem ∂f

∂x (x, y), tzn.

∂f

∂x (x, y) = lim

∆x→0

f(x+∆x, y)− f(x, y) ∆x

(641)

239

docsity.com

14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. MATEMATYKA

2. Granicę ilorazu różnicowego

f(x, y +∆y)− f(x, y) ∆y

(642)

gdy ∆y → 0 nazywamy pochodną cząstkową funkcji f w punkcie (x, y) względem zmiennej y i oznaczamy symbolem ∂f

∂y (x, y), tzn.

∂f

∂y (x, y) = lim

∆y→0

f(x, y +∆y)− f(x, y) ∆y

(643)

z

x

y

S

G

α

β

0

Rysunek 103: Geometryczny sens pochodnych cząstkowych.

Poniżej podamy kilka informacji uzupełnia- jących.

Uwaga 14.5 Zapis ∂f ∂x i ∂f ∂y został wprowadzony

przez Leibniza. Symbol ∂ oznacza, że mamy do czynienia z funkcją wielu zmiennych, a obliczana jest pochodna względem jednej z nich. W praktyce, do przedstawiania pochodnych cząstkowych względem zmiennych niezależnych używane są też symbole wprowadzone przez Lagrange’a

fx(x, y) fy(x, y)

Uwaga 14.6 Pochodna cząstkowa ∂f ∂x (x, y) jest

pochodną funkcji f(x, y)|y=const będącej zawęże- niem funkcji f przez ustalenie drugiej zmiennej. Analogicznie, pochodna cząstkowa ∂f

∂y (x, y)

jest pochodną funkcji f(x, y)|x=const będącej zawężeniem funkcji f przez ustalenie pierwszej zmiennej

∂f

∂x (x, y) =

d

dx

³ f(x, y)|y=const

´ (644)

∂f

∂y (x, y) =

d

d y (f(x, y)|x=const) (645)

Wynika stąd, że obliczanie pochodnych cząstkowych, zwane też różniczkowaniem cząst- kowym, należy wykonywać według znanych reguł, z tym, że przy różniczkowaniu cząstkowym względem x należy uważać y za stałą, a przy różniczkowaniu względem y należy x uważać za stałą.

Przykład 14.8 Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji f(x, y) = x3y2.

Rozwiązanie 14.8 ∂f

∂x (x, y) = 3x2y2

∂f

∂y (x, y) = 2x3y

Przykład 14.9 Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji f(x, y) = x 2

y + y x .

240

docsity.com

MATEMATYKA 14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.

Rozwiązanie 14.9

∂f

∂x (x, y) =

2x

y − y x2

∂f

∂y (x, y) = −x

2

y2 + 1

x

Przykład 14.10 Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji f(x, y) = e−x/y.

Rozwiązanie 14.10

∂f

∂x (x, y) = −1

y e−x/y

∂f

∂y (x, y) =

x

y2 e−x/y

14.5 Geometryczny sens pochodnych cząstkowych

Niech G będzie pewnym prostokątem, a S wykresem funkcji z = f(x, y) dla (x, y) ∈ G. Wówczas

fx(x, y) = tanα fy(x, y) = tanβ (646)

gdzie: α i β są kątami, które styczne do krzywych

z = f(x, y)|y=const z = f(x, y)|x=const

tworzą odpowiednio z osiami 0x i 0y (patrz rys. 103).

14.5.1 Styczna i normalna do krzywej

2.51.250-1.25-2.5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

Rysunek 104: Styczne do okręgu.

Pochodne cząstkowe mogą býc wykorzystywane do wyznaczania stycznej i normalnej do krzywej danej równaniem f(x, y) = 0.

Twierdzenie 14.7 Jeżeli krzywa K jest dana równaniem ogólnym f(x, y) = 0 klasy C1 i punkt M = (x, y) leży na tej krzywej, to wektor o współrzędnych [fx(M), fy(M)] jest wektorem normalnym (czyli prostopadłym) do krzywej K w punkcie M i oznaczamy go

grad f(M) = [fx(M), fy(M)] (647)

Wniosek 14.1 Jeżeli krzywaK jest dana równaniem ogólnym f(x, y) = 0 klasy C1 i punktM = (x, y) leży na tej krzywej, to styczna do krzywej K w punkcie M ma równanie

fx(M)(X − x) + fy(M)(Y − y) = 0 (648)

a normalna do krzywej K w punkcie M ma równanie

X − x fx(M)

= Y − y fy(M)

(649)

241

docsity.com

14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. MATEMATYKA

Przykład 14.11 Napisać równanie stycznej do okręgu

x2 + y2 = 1 (650)

przechodzącą przez punkt (1, 3).

Rozwiązanie 14.11 Niech (x, y) będzie punktem stycznósci. Zgodnie z (648) równanie stycz- nej do okręgu w punkcie (x, y) ma postać

2x(X − x) + 2y(Y − y) = 0 (651)

przy czym (X,Y ) jest dowolnym punktem płaszczyzny. Powyższe równanie powinno być speł- nione przez parę liczb X = 1, Y = 3. A więc

2x(1− x) + 2y(3− y) = 0 (652)

Zauważmy, że punkt stycznósci (x, y) należy do okręgu, a więc spełnia równanie (650). Rozwią- zując układ równań (652) i (650) otrzymujemy dwa punkty: (1, 0) i (−4/5, 3/5). Wstawiając te wartósci do (651) dostajemy dwie proste: X = 1 i 4X − 3Y + 5 = 0. Są to styczne do okręgu (650) przechodzące przez punkt (1, 3)(rysunek 104).

14.6 Pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Jeżeli funkcja f ma w każdym punkcie prostokąta G pochodną cząstkową fx(fy), to fx(fy) jest funkcją okrésloną w prostokącie G.

Definicja 14.24 Pochodną cząstkową pierwszego rzędu pochodnych cząstkowych ∂f ∂x , ∂f ∂y wzglę-

dem zmiennych x, y oznaczamy jednym z symboli

∂2f

∂x2 ∂2f

∂y2 ∂2f

∂x∂y

∂2f

∂y∂x (653)

i nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego funkcji f(x, y).

Uwaga 14.7 Pochodne ∂ 2f ∂x2

= fxx, ∂2f ∂y2

= fyy nazywamy czystymi, a pochodne ∂ 2f ∂x∂y

= fxy, ∂2f ∂y∂x

= fyx mieszanymi drugiego rzędu.

Uwaga 14.8 Rozpisując symbol ∂ 2f ∂x2

otrzymujemy:

∂2f

∂x2 (x, y) = lim

∆x→0

fx(x+∆x, y)− fx(x, y) ∆x

(654)

Podobnie interpretuje się pozostałe wyrażenia (653).

Twierdzenie 14.8 (Schwarza) Jeżeli funkcja f(x, y) ma na pewnym prostokącie G (obszarze) ciągłe pochodne mieszane

rzędu drugiego, to w każdym punkcie prostokąta G (obszaru) są one sobie równe

∂2f

∂x∂y = ∂2f

∂y∂x lub fxy = fyx (655)

242

docsity.com

MATEMATYKA 14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.

Przykład 14.12 Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji f(x, y) = x3y2.

Rozwiązanie 14.12 Pochodne pierwszego rzędu wyznaczylísmy w Przykładzie 14.8. Są one równe

fx = 3x 2y2 fy = 2x

3y

Teraz możemy wyznaczyć wszystkie pochodne drugiego rzędu

fxx = 6xy 2 fyy = 2x

3 fxy = 6x 2y fyx = 6x

2y

Widzimy, że fxy = 6x2y = fyx.

Przykład 14.13 Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji f(x, y) = x 2

y + y x .

Rozwiązanie 14.13 Pochodne pierwszego rzędu obliczylísmy w Przykładzie 14.9. Były one odpowiednio równe

fx = 2x

y − y x2

fy = − x2

y2 + 1

x

Wyznaczymy pochodne rzędu drugiego.

fxx = 2

y + 2y

x3 fyy =

2x2

y3 fxy = −

2x

y2 − 1 x2

fyx = − 2x

y2 − 1 x2

14.7 Różniczkowalnóśc funkcji. Różniczka zupełna

O różniczkowalnósci funkcji mówi definicja:

Definicja 14.25 Funkcja f(x, y) jest różniczkowalna w punkcie P (x, y), jeżeli jest okréslona na pewnym otoczeniu U tego punktu i istnieją takie liczby A1 i A2, że w dostatecznie małym otoczeniu punktu P (takim, że (x+∆x, y +∆y) ∈ U) przyrost wartósci funkcji

∆f = f(x+∆x, y +∆y)− f(x, y) = A1∆x+A2∆y + ρα (656)

gdzie: ρ = p ∆x2 +∆y2 i lim

ρ→0 α = 0 (α zależy od ρ).

Twierdzenie 14.9 Jeżeli funkcja f ma na pewnym otoczeniu punktu P pochodne cząstkowe fx i fy, które są w tym punkcie ciągłe, to jest w tym punkcie różniczkowalna.

Twierdzenie 14.10 Różniczkowalnósć funkcji f w punkcie P zapewnia jej ciągłósć w tym punkcie.

Twierdzenie 14.11 Różniczkowalnósć funkcji f w punkcie P zapewnia istnienie pochodnych cząstkowych fx i fy w tym punkcie, przy czym A1 = fx(P ), A2 = fy(P ).

Definicja 14.26 Jeżeli funkcja f(x, y) jest różniczkowalna w punkcie P0(x0, y0), to

d f = lim ρ→0 ∆f =

∂f

∂x (P0) dx+

∂f

∂y (P0) d y (657)

nazywamy różniczką zupełną funkcji f w punkcie P0. Wielkósci dx i d y nazywamy różni- czkami zmiennych niezależnych.

243

docsity.com

14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. MATEMATYKA

Uwaga 14.9 Zachodzi wzór przybliżony

∆f ≈ d f (658)

gdzie: ∆f− przyrost wartósci funkcji; d f− różniczka zupełna funkcji, ale należy pamiętać, że jednak ∆f 6= d f i

∆f = d f + ρα (659)

gdzie

α = ∆f − d fp ∆x2 +∆y2

(660)

Przykład 14.14 Oszacować przyrost∆V objętósci walca V = πr2h odpowiadający przyrostowi promienia d r i przyrostowi wysokósci dh walca.

Rozwiązanie 14.14 Przyrost ∆V , którego moduł jest zwany błędem bezwzględnym objętósci, szacujemy za pomocą różniczki objętósci

∆V ≈ dV = ∂V

∂r d r +

∂V

∂h dh = 2πrhd r + πr

2 dh

Aby oszacować ∆V

V , czyli błąd względny objętósci, dzielimy powyższą równósć przez V = πr2h

∆V

V = dV

V = 2πrh d r + πr2 dh

πr2h = 2

d r

r + dh

h

Przykład 14.15 Obliczyć różniczkę objętósci prostopadłóscianu o bokach a, b, c.

Rozwiązanie 14.15 Objętósć prostopadłóscianu wyraża się wzorem

V = abc

Jak widzimy, jest to funkcja trzech zmiennych niezależnych: V = V (a, b, c). Korzystając z wzoru (657) zastosowanego do funkcji trzech zmiennych, otrzymujemy:

∂V

∂a = bc

∂V

∂b = ac

∂V

∂c = ab

A więc różniczkę objętósci prostopadłóscianu zapiszemy

dV = ∂V

∂a d a+

∂V

∂b d b+

∂V

∂c d c = bcd a+ acd b+ ab d c

Stąd dV

V = d a

a + d b

b + d c

c

Niech f (x, y) będzie funkcją klasy C2 w pewnym otoczeniu punktu P (x, y).

Definicja 14.27 Różniczką drugiego rzędu funkcji f (x, y) w punkcie P (lub drugą różniczką funkcji) nazywamy wyrażenie

d 2 f (x, y) = fxx (x, y) dx

2 + 2fxy (x, y) dxd y + fyy (x, y) d y 2 (661)

w którym dx, d y oznaczają dowolne przyrosty zmiennych x, y. Druga różniczka jest formą kwadratową przyrostów dx, d y. Współczynnikami tej formy są drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y).

244

docsity.com

MATEMATYKA 14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.

14.8 Pochodna funkcji złożonej

Twierdzenie 14.12 Jeżeli funkcja f (x, y) jest okréslona w obszarze D, a para funkcji x = g (t) , y = h (t) odwzorowuje przedział (α, β) w obszar D, to funkcja złożona

F (t) = f (x, y) ¯̄̄ x=g(t) y=h(t)

(662)

jest okréslona w przedziale (α, β). Jeżeli dodatkowo funkcje g (t) i h (t) są różniczkowalne dla pewnego argumentu t ∈ (α, β), a funkcja jest różniczkowalna w punkcie (x, y) = (g (t) , h (t)), to funkcja złożona (662) ma dla argumentu t pochodną

F 0 (t) = fx (x, y) ¯̄̄ x=g(t) y=h(t)

g0 (t) + fy (x, y) ¯̄̄ x=g(t) y=h(t)

h0 (t) (663)

14.8.1 Pierwsza pochodna funkcji F (g (t) , h (t))

Wzór (663) zapiszemy w symbolice Leibniza

dF

d t = ∂F

∂g

d g

d t + ∂F

∂h

dh

d t (664)

Jest to wzór na pierwszą pochodną funkcji złożonej.

14.8.2 Druga pochodna funkcji F (g (t) , h (t))

Jak pamiętamy, druga pochodna jest pochodną pierwszej pochodnej. Zatem

d2 F

d t2 = d

d t

µ ∂F

∂g

d g

d t + ∂F

∂h

dh

d t

¶ Stąd

d2 F

d t2 = ∂2F

∂g2

µ d g

d t

¶2 + 2 ∂2F

∂g∂h

d g

d t

dh

d t + ∂2F

∂h2

µ dh

d t

¶2 + ∂F

∂g

d2 g

d t2 + ∂F

∂h

d2 h

d t2 (665)

14.8.3 Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych

Na wstępie podamy twierdzenie o przyrostach funkcji dwóch zmiennych.

Twierdzenie 14.13 Jeżeli f (x, y) jest funkcją klasy C1 w otoczeniu U punktu P0 = (x0, y0) i jeżeli punkt P1 = (x0 + h, y0 + k) ∈ U, P0 6= P1, to przyrost funkcji odpowiadający punktom P0 i P1 wyraża się wzorem

f (P1)− f (P0) = fx ³ eP´h+ fy ³ eP´ k (666)

w którym eP jest pewnym punktem odcinka P0P1 różnym od końców tego odcinka. Twierdzenie 14.14 Jeżeli f (x, y) jest funkcją klasy C2 w otoczeniu U punktu P0 = (x0, y0) i jeżeli punkt P1 = (x0 + h, y0 + k) ∈ U, P0 6= P1, to przyrost funkcji odpowiadający punktom P0 i P1 wyraża się wzorem

f (P1)− f (P0) = fx (P0)h+ fy (P0) + 1

2

h fxx ³ eP´h2 + 2fxy ³ eP´hk + fyy ³ eP´ k2i (667)

w którym eP jest pewnym punktem odcinka P0P1 między P0 i P1. Jest to wzór Taylora z drugimi pochodnymi.

245

docsity.com

14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. MATEMATYKA

Przyjmując oznaczenia P0 (x, y) i P1 (x+ dx, y + d y) zapiszemy wzór Taylora w postaci różniczkowej

f (x+ dx, y + d y)− f (x, y) = fx dx+ fy d y + 1

2

h efxx dx2 + 2 efxy dxd y + efyy d y2i (668) 14.9 Ekstremum funkcji dwóch zmiennych

14.9.1 Definicja ekstremum

Definicja 14.28 Powiedzenie, że funkcja f ma w punkcie P0 maksimum oznacza, że P0 jest punktem wewnętrznym dziedziny funkcji i że istnieje otoczenie punktu P0, w którym największą wartóscią funkcji f jest f(P0), co zapisujemy symbolicznie

∨ δ>0

∧ PP0<δ

f(P ) ≤ f(P0) (669)

Jeżeli we wszystkich punktach sąsiedztwa funkcja f przyjmuje wartósci mniejsze niż w punkcie P0, czyli

∨ δ>0

∧ 0<PP0<δ

f(P ) < f(P0) (670)

to mówimy, że funkcja f ma w punkcie P0 maksimum włásciwe.

Definicja minimum i minimum włásciwego różni się od powyższej tylko kierunkiem nierównósci między f(P ) i f(P0). Ekstremum jest nazwą obejmującą maksimum i minimum. Ekstremum jest lokalną

własnóscią funkcji, charakteryzującą rozkład wartósci funkcji w dowolnie małym otoczeniu danego punktu.

14.9.2 Formy liniowe i kwadratowe dwóch zmiennych

Twierdzenie 14.15 Forma liniowa dwóch zmiennych niezerowa

ϕ (x, y) = Ax+By (671)

nie ma ekstremum.

Oznacza to, że w dowolnym otoczeniu pewnego punktu P0 istnieje punkt w którym funkcja ma wartóśc większą niż w P0 oraz punkt, w którym funkcja ma wartóśc mniejszą niż w P0. Wykresem formy liniowej są tak zwane linie ekwiskalarne. Są to linie, wzdłuż których

funkcja przyjmuje te same wartósci. W przestrzeni R2 liniami ekwiskalarnymi są proste o równaniach Ax+By = const, a w przestrzeni R3− płaszczyzny.

Definicja 14.29 Formą kwadratową dwóch zmiennych nazywamy funkcję postaci

Φ (x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 (672)

jeżeli co najmniej jedna ze stałych A,B,C, zwanych współczynnikami formy nie jest zerem.

Definicja 14.30 Wyróżnikiem formy kwadratowej nazywamy liczbę

w =

¯̄̄̄ A B B C

¯̄̄̄ = AC −B2 (673)

Zauważmy, że jeżeli w > 0, to AC > B2 ≥ 0 i liczby A,C są tego samego znaku.

246

docsity.com

MATEMATYKA 14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.

Klasyfikacja form kwadratowych

1. Każda forma kwadratowa ma w początku układu wartóśc 0.

2. Formę kwadratową nazywamy okrésloną, jeżeli wszędzie poza początkiem układu ma wartósci różne od zera i stałego znaku. Przy tym nazywamy ją okrésloną dodatnio (np. Φ (x, y) = x2 + y2) lub okrésloną ujemnie (np. Φ (x, y) = −x2 − y2) zależnie od tego, czy wartósci tej formy są dodatnie czy ujemne.

3. Formę kwadratową nazywamy półokrésloną, jeżeli w pewnych punktach poza począt- kiem układu przyjmuje wartóśc 0, ale nie przyjmuje wartósci różnych znaków. Przy tym nazywamy ją półokrésloną dodatnio (np. Φ (x, y) = (x+ y)2) lub półokrésloną ujemnie (np. Φ (x, y) = − (x+ y)2) zależnie od tego, czy forma przyjmuje wartósci dodatnie czy ujemne.

4. Formę kwadratową nazywamy nieokrésloną lub znakozmienną (np. Φ (x, y) = x2 − y2), jeżeli w pewnych punktach przyjmuje wartósci dodatnie, a w innych ujemne.

Twierdzenie 14.16 Forma kwadratowa Φ (x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 o wyróżniku w = AC −B2 jest: 1. okréslona, jeżeli w > 0, przy czym jest okréslona dodatnio, gdy A > 0 i C > 0, względnie okréslona ujemnie, gdy A < 0 i C < 0 (elipsy).

2. półokréslona, jeżeli w = 0, i wówczas zeruje się na pewnej prostej przechodzącej przez początek układu, a poza nią przyjmuje wartósci dodatnie, gdy A > 0 lub C > 0, względnie wartósci ujemne, gdy A < 0 lub C < 0 (prosta).

3. nieokréslona, jeżeli w < 0, i wówczas zeruje się na dwóch prostych przecinających się w początku układu, a we wnętrzach czterech kątów między tymi prostymi jest na przemian dodatnia i ujemna (dwie proste prostopadłe oraz hiperbole).

14.9.3 Warunek konieczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych

Przedstawimy podstawowe twierdzenie.

Twierdzenie 14.17 Jeżeli funkcja f(x, y) ma w punkcie (x0, y0) ekstremum i jest w tym punkcie różniczkowalna, to obie pochodne cząstkowe 1 rzędu w tym punkcie są równe zeru

fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0 (674)

Przykład 14.16 Czy funkcja z = x2y + yex ma ekstremum?

Rozwiązanie 14.16 Funkcja z = x2y+yex jest różniczkowalna na całej płaszczýznie. Pochod- na zy = x2 + ex jest wszędzie dodatnia, zatem funkcja nie ma ekstremum.

Przykład 14.17 Czy funkcja z = x4 + y2 ma ekstremum?

Rozwiązanie 14.17 Pochodne cząstkowe funkcji z są równe: zx = 4x3, zy = 2y. Przyrównu- jąc je do zera otrzymujemy układ równań 4x3 = 0, 2y = 0, którego jedynym rozwiązaniem jest punkt (0, 0). Poza tym punktem nie ma ekstremum. W punkcie (0, 0) jest minimum włásciwe.

Przykład 14.18 Czy funkcja z = x2y ma ekstremum?

Rozwiązanie 14.18 Pochodne cząstkowe opisywane są równaniami: zx = 2xy, zy = x2. Przyjmują wartósć zero we wszystkich punktach osi 0y. Funkcja nie ma jednak ekstremum, ponieważ w sąsiedztwie punktu (0, 0) dla y = x > 0 jest z > 0, a dla y = x < 0 jest z < 0.

247

docsity.com

14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. MATEMATYKA

14.9.4 Warunek wystarczający ekstremum funkcji dwóch zmiennych

Mówi o tym twierdzenie.

Twierdzenie 14.18 Jeżeli funkcja f(x, y) jest klasy C2 w otoczeniu punktu P0(x0, y0) i ma obie pochodne cząstkowe 1 rzędu w tym punkcie równe zeru

fx(P0) = fy(P0) = 0 (675)

a wyznacznik pochodnych cząstkowych 2 rzędu, tzw. Hessian57 (lub wyznacznik Hessa), funkcji f jest w tym punkcie dodatni

W (P0) =

¯̄̄̄ fxx(P0) fxy(P0) fxy(P0) fyy(P0)

¯̄̄̄ > 0 (676)

to funkcja ta ma w punkcie P0 ekstremum włásciwe. Charakter tego ekstremum zależy od znaku drugich pochodnych czystych w punkcie P0

fxx(P0) fyy(P0) (677)

Jeżeli są one dodatnie, to funkcja ma w punkcie P0 minimum włásciwe, jeżeli ujemne, to maksimum włásciwe.

Przykład 14.19 Wyznaczyć ekstremum funkcji f(x, y) = x2 + xy + y2 − 2x− y. Rozwiązanie 14.19 Obliczamy pierwsze pochodne i przyrównujemy je do zera

fx(x, y) = 2x+ y − 2 = 0 fy(x, y) = x+ 2y − 1 = 0

stąd x = 1, y = 0

Jest to jedyny punkt, w którym fx = fy = 0. Ekstremum może wystąpíc tylko w tym punkcie. W celu zbadania, czy w wyznaczonym punkcie występuje ekstremum i jakie, obliczymy wartósci drugich pochodnych w tym punkcie. Są one równe: fxx = fyy = 2, fxy = 1, a wyznacznik W = 3. Oznacza to, że w punkcie (1, 0) jest minimum włásciwe.

14.9.5 Warunek wykluczający ekstremum funkcji dwóch zmiennych

Jeżeli co najmniej jedna z pochodnych fx(P0), fy(P0) jest różna od zera, to na mocy Twierdzenia 14.17 funkcja f nie ma ekstremum w punkcie P0. Jeżeli fx(P0) = fy(P0) = 0, to możemy korzystác z następującego twierdzenia.

Twierdzenie 14.19 Jeżeli funkcja f(x, y), klasy C2 w otoczeniu punktu P0, ma w tym punkcie obie pochodne cząstkowe 1 rzędu równe zeru, ale wyznacznik drugich pochodnych jest w tym punkcie ujemny

fx(P0) = fy(P0) = 0 W (P0) < 0 (678)

to funkcja nie ma ekstremum w tym punkcie.

Uwaga 14.10 Jeżeli w punkcie P0

fx(P0) = fy(P0) =W (P0) = 0 (679)

to niczego nie możemy powiedziéc o istnieniu lub braku ekstremum. Wézmy, na przykład dwie funkcje z = x4+ y4 i z = x3+ y3. W obu przypadkach w punkcie P0 = (0, 0) zachodzi warunek (679), jednak pierwsza funkcja ma w nim ekstremum włásciwe, a druga nie ma ekstremum (patrz poniższe rysunki).

57czyt. hesjan.

248

docsity.com

MATEMATYKA 14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.

0

200

400

600

800

1000

-5

5 -4-224 -15

-10

-5

5

10

15

-2 -1 1 2-2 -1 1 2

Rysunek 105: Przebiegi funkcji: z = x4 + y4 i z = x3 + y3.

14.10 Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych

Niech funkcje f (x, y) i g (x, y) są okréslone i ciągłe w pewnym obszarze płaskimD. Mówimy, że funkcja f (x, y) osiąga w punkcie (x0, y0) ∈ D maksimum (minimum) warunkowe, przy warunku

g (x, y) = c (680)

jeżeli punkt (x0, y0) spełnia równanie (680) oraz istnieje takie otoczenie U punktu (x0, y0), że dla każdego punktu (x, y) ∈ U spełniającego warunek (680) zachodzi nierównóśc

f (x, y) ≤ f (x0, y0) − maksimum

f (x, y) ≥ f (x0, y0) − minimum (681)

Warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych z = f (x, y) przy warunku ograniczającym g (x, y) = cmożna sformułowác za pomocą różniczki funkcji. Niech funkcje f (x, y) i g (x, y) są klasy C1 w obszarze D. Funkcja f (x, y) może miéc ekstrema w tych punktach, dla których zeruje się różniczka funkcji

d z = d f = fx dx+ fy d y = 0 (682)

przy czym z warunku ograniczającego (680) wynika, że różniczki dx i d y są od siebie zależne i spełniają równanie

d g = gx dx+ gy d y = 0 d c = 0 (683)

Wyznaczając z równania (683) d y = −gxgy dx i podstawiając do równania (682) otrzymujemy

d z = d f =

µ fx −

gx gy fy

¶ dx = 0 (684)

gdzie dx jest dowolnym przyrostem. Z ostatniego równania wynika, że aby różniczka d z była równa zeru przy dowolnym przyróscie dx musi býc spełniony warunek

fx − gx gy fy = 0 (685)

który można zapisác w postaci wyznacznikowej¯̄̄̄ fx fy gx gy

¯̄̄̄ = 0

249

docsity.com

14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. MATEMATYKA

Zatem punkty stacjonarne, w których funkcja f (x, y) może osiągác ekstrema warunkowe spełniają układ równań ⎧⎨⎩

¯̄̄̄ fx fy gx gy

¯̄̄̄ = 0

g (x, y) = c (686)

Praktycznie warunek konieczny na ekstremum otrzymujemy wprowadzając tzw. me- todę mnożnika Lagrange’a. Polega ona na wprowadzeniu pomocniczej funkcji Lagrange’a w postaci:

L (λ, x, y) = f (x, y) + λ (c− g (x, y)) (687) i znalezieniu dla niej warunku koniecznego na istnienie ekstremum bezwarunkowego tej funkcji rozpatrywanej jako funkcji trzech zmiennych:⎧⎨⎩ Lλ = c− g (x, y) = 0Lx = fx − λgx = 0

Ly = fy − λgy = 0 (688)

Eliminując z układu równań czynnik nieoznaczony λ = fx gx = fy gy otrzymujemy warunek koniecz-

ny na ekstremum zapisany w postaci (686). Warunek dostateczny istnienia ekstremum warunkowego dla funkcji z = f (x, y)

przy warunku g (x, y) = c dotyczy znaku różniczki drugiego rzędu d2 z w punkcie stacjonarnym. Przyjmijmy założenie, że funkcje f (x, y) i g (x, y) są klasy C2 w pewnym otoczeniu punktu stacjonarnego. Wtedy

d 2 z = d (d z) =

∂x (d z) dx+

∂y (d z) d y =

= ∂

∂x (fx dx+ fy d y) dx+

∂y (fx dx+ fy d y) d y = (689)

= fxx dx 2 + fxy d y dx+ fxy d y dx+ fyy d y

2 + fy d 2 y =

= fxx dx 2 + 2fxy d y dx+ fyy d y

2 + fy d 2 y

Biorąc pod uwagę ograniczenie

g (x, y) = c mamy d g = 0 i d2 g = d (d g) = 0 (690)

czyli d 2 g = gxx dx

2 + 2gxy d y dx+ gyy d y 2 + gy d

2 y = 0

Eliminując d2 y z ostatniego równania i wstawiając do (689) mamy

d 2 z =

µ fxx −

fy gy gxx

¶ dx

2 + 2

µ fxy −

fy gy gxy

¶ d y dx+

µ fyy −

fy gy gyy

¶ =

= (fxx − λgxx) dx2 + 2 (fxy − λgxy) dxd y + (fyy − λgyy) d2 y

Obliczając pochodne drugiego rzędu funkcji Lagrange’a

Lxx = fxx − λgxx Lxy = fxy − λgxy = Lyx Lyy = fyy − λgyy

(691)

250

docsity.com

MATEMATYKA 14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.

i wstawiając je do d2 z otrzymujemy formę kwadratową

d 2 z = Lxx dx

2 + 2Lxy dxd y + Lyy d 2 y

Biorąc pod uwagę (683) otrzymujemy

d y = − gx gy dx

i dochodzimy do relacji

d 2 z =

£ Lxxg

2 y − 2Lxygxgy + Lyyg2x

¤ dx2 g2y

(692)

A więc warunki dostateczne na ekstremum warunkowe funkcji z = f (x, y) w punkcie stacjonarnym są następujące:

1. dla minimum: forma kwadratowa d2 z dodatnio okréslona przy warunku d g = 0;

2. dla maksimum: forma kwadratowa d2 z ujemnie okréslona przy warunku d g = 0.

Łatwo zauważýc, że druga różniczka jest dodatnio (ujemnie) okréslona w punkcie stacjonar- nym, gdy wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest dodatnie (ujemne). Wyrażenie to ze znakiem ujemnym zapiszemy za pomocą wyznacznika, zwanego Hessianem obrzeżonym

¯̄ H̄ ¯̄ =

¯̄̄̄ ¯̄ 0 gx gygx Lxx Lxy gy Lyx Lyy

¯̄̄̄ ¯̄ = − £g2yLxx − 2gxgyLxy + g2xLyy¤ (693)

Zatem

d 2 z jest

⎧⎨⎩ dodatnio okréslonaujemnie okréslona przy warunku d g = 0⇐⇒ ¯̄ H̄ ¯̄ < 0¯̄

H̄ ¯̄ > 0

(694)

Wniosek 14.2 Dla każdej wartósci stacjonarnej funkcji

z = f (x, y) lub L (λ, x, y) = f (x, y) + λ [c− g (x, y)]

dodatnia wartósć ¯̄ H̄ ¯̄ wystarcza, aby stwierdzíc względne maksimum funkcji z (x, y), zás ujemna

wartósć ¯̄ H̄ ¯̄ wystarcza, aby stwierdzíc względne minimum funkcji z (x, y).

Test wyznacznikowy dla względnego ekstremum warunkowego funkcji z = f (x, y) przy warunku g (x, y) = c dla

L (λ, x, y) = f (x, y) + λ [c− g (x, y)]

ma postać Warunek Maksimum Minimum

warunek konieczny Lλ = Lx = Ly = 0 Lλ = Lx = Ly = 0 warunek dostateczny

¯̄ H̄ ¯̄ > 0

¯̄ H̄ ¯̄ < 0

Przykład 14.20 Znalézć ekstremum funkcji z(x, y) = xy przy warunku x+ y = 6.

251

docsity.com

14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. MATEMATYKA

Rozwiązanie 14.20 Zauważamy, że g (x, y) ma postać:

g (x, y) = x+ y

a c = 6. Stąd funkcja Lagrange’a przyjmie postać

L (λ, x, y) = xy + λ (6− x− y) Warunki konieczne dla tej wartósci stacjonarnej g (x, y) są równe:⎧⎨⎩ Lλ = 6− x− y = 0Lx = y − λ = 0

Ly = x− λ = 0 ⇐⇒

⎧⎨⎩ x+ y = 6−λ+ y = 0−λ+ x = 0 Rozwiązaniami powyższego układu są wartósci: λ̄ = 3, x̄ = 3 i ȳ = 3. Badamy warunek dostateczny:

gx = 1 gy = 1 Lxx = 0 Lxy = 1 Lxy = 1 Lyy = 0

Zatem ¯̄ H̄ ¯̄ =

¯̄̄̄ ¯̄ 0 1 11 0 1 1 1 0

¯̄̄̄ ¯̄ = 2 > 0

W punkcie x̄ = 3, ȳ = 3 funkcja z (x, y) = xy osiąga przy warunku x+y = 6 maksimum równe z (3, 3) = 9.

Przykład 14.21 Znalézć ekstremum funkcji z (x, y) = x2 + y2 przy warunku x+ 4y = 2.

Rozwiązanie 14.21 Funkcja Lagrange’a ma postać

L (λ, x, y) = x2 + y2 + λ (2− x− 4y) zás funkcja

g (x, y) = x+ 4y

Piszemy warunki konieczne dla tej wartósci stacjonarnej g (x, y)⎧⎨⎩ Lλ = 2− x− 4y = 0Lx = 2x− λ = 0 Ly = 2y − 4λ = 0

⇐⇒

⎧⎨⎩ x+ 4y = 2−λ+ 2x = 0−4λ+ 2y = 0 Wartósć stacjonarna z (x, y) zdefiniowana jest przez rozwiązanie

λ̄ = 4

17 x̄ =

2

17 ȳ =

4

17

Badamy warunek dostateczny:

gx = 1 gy = 4 Lxx = 2 Lxy = 0 Lxy = 0 Lyy = 2

Stąd ¯̄ H̄ ¯̄ =

¯̄̄̄ ¯̄ 0 1 41 2 0 4 0 2

¯̄̄̄ ¯̄ = −34 < 0

A więc w punkcie x̄ = 2 17 , ȳ = 4

17 funkcja z (x, y) osiąga minimum.

252

docsity.com

MATEMATYKA 14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.

14.11 Pochodna kierunkowa i gradient funkcji dwóch zmiennych

14.11.1 Pochodna kierunkowa

Niech f (x, y) będzie funkcją okrésloną w otoczeniu punktu P0 = (x0, y0), a l niech będzie półprostą o początku P0.

Definicja 14.31 Granicę

lim P→P0 P∈l

f (P )− f (P0) PP0

(695)

nazywamy pochodną kierunkową funkcji f (x, y) w punkcie P0 w kierunku l i oznaczamy symbolem

∂f (x, y)

∂l (P0) (696)

P0 l

( )yxf ,

gra d

l f ∂ ∂

Rysunek 106: Gradient funkcji f(x, y) i pochodna kierunkowa.

Jeżeli półprosta l jest równoległa do osi Ox i zgodnie z nią skierowana, to ∂f

∂l = ∂f ∂x , w przeciwnym przypadku

∂f ∂l = −∂f

∂x . Gdy l jest równoległa do osi Oy, to ∂f

∂l = ∂f ∂y

lub ∂f ∂l = −∂f

∂y .

Niech α = (x, l) będzie miarą kąta skierowanego między osią Ox i półprostą l. Półprosta l ma wówczas równania

x = x0 + t cosα y = y0 + t sinα (697)

W tym przypadku granica (695) może býc zapisana

∂f

∂l (P0) = lim

t→0 t>0

f (x0 + t cosα, y0 + t sinα)− f (x0, y0) t

(698)

Twierdzenie 14.20 Jeżeli f (x, y) jest funkcją różniczkowalną w punkcie P0, to

∂f

∂l (P0) =

∂f

∂x (P0) cosα+

∂f

∂y (P0) sinα (699)

gdzie α jest miarą skierowanego kąta kierunkowego półprostej l.

14.11.2 Gradient

Niech f (x, y) będzie funkcją różniczkowalną w punkcie P0.

Definicja 14.32 Gradientem funkcji f (x, y) w punkcie P0 = (x0, y0) nazywamy wektor, którego współrzędnymi są pochodne cząstkowe funkcji f (x, y) w punkcie P0

grad f (P0) =

∙ ∂f

∂x (P0) ,

∂f

∂y (P0)

¸ (700)

Z dwóch ostatnich relacji wynika, że:

1. pochodna kierunkowa w kierunku l jest iloczynem skalarnym gradientu i wersora osi l;

253

docsity.com

14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. MATEMATYKA

2. pochodna kierunkowa w kierunku l jest miarą rzutu gradientu na ós l (patrz rysunek 106).

Ponadto, jeżeli grad f (P0) 6= 0, to

1. pochodna kierunkowa w punkcie P0 przyjmuje największą wartóśc, gdy jest obliczana w kierunku gradientu;

2. gradient jest wektorem, którego moduł jest równy maksymalnej wartósci pochodnej kierunkowej w danym punkcie;

3. gradient ma kierunek i zwrot półprostej, na której pochodna kierunkowa osiąga w danym punkcie największą wartóśc.

Twierdzenie 14.21 Jeżeli f (x, y) jest funkcją klasy C1 w otoczeniu punktu P0 i jeżeli grad f (P0) 6= 0, to grad f (P0) jest wektorem prostopadłym do linii ekwiskalarnej funkcji f (x, y) w punkcie P0.

14.12 Funkcje trzech zmiennych

Zbiór wszystkich uporządkowanych trójek liczb rzeczywistych nazywamy 3−wymiarową przestrzenią rzeczywistą i oznaczamy R3. Poszczególne trójki liczb nazywamy punktami tej przestrzeni i oznaczamy P = (x, y, z) , P0 (x0, y0, z0) itp. Odległóśc dwóch dowolnych punktów P, P0 tej przestrzeni oznaczamy ρ (P,P0) i definiu-

jemy wzorem

ρ (P,P0) =

q (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 (701)

PrzestrzeńR3 z tak okrésloną odległóscią nazywamy 3−wymiarową przestrzenią euklidesową.

Definicja 14.33 Otoczeniem kulistym (otoczeniem) punktu P0 o promieniu δ, δ > 0 nazywamy zbiór punktów P , których odległósć od punktu P0 jest mniejsza od δ

U (P0, δ) = {P : PP0 < δ} (702)

Definicja 14.34 Sąsiedztwem kulistym (sąsiedztwem) punktu P0 o promieniu δ, δ > 0 nazy- wamy zbiór punktów P , których odległósć od punktu P0 jest dodatnia i mniejsza od δ

S (P0, δ) = {P : 0 < PP0 < δ} (703)

Mówimy, że ciąg punktów Pn (xn, yn, zn) jest zbieżny do punktu P0 (x0, y0, z0), jeżeli PnP0 → 0 lub, co jest równoważne, jeżeli jednoczésnie xn → x0, yn → y0, zn → z0 Funkcję, której dziedzina D zawiera się w R3, a przeciwdziedzina w R nazywamy funkcją

rzeczywistą trzech zmiennych rzeczywistych. Zapisujemy to równóscią

u = f (P ) lub u = f (x, y, z) (704)

dla P = (x, y, z) ∈ D. Argumentem tej funkcji jest trójka liczb, a poszczególne liczby w tej trójce są współrzędnymi argumentu. Mówimy o nich, że są to wartósci pierwszej, drugiej, trzeciej zmiennej w danej funkcji. Wykres funkcji f (x, y, z) trzech zmiennych istnieje tylko jako pojęcie abstrakcyjne, tzn.

jako zbiór czwórek liczb (x, y, z, u), gdzie (x, y, z) ∈ D, zás u = f (x, y, z), ale nie może býc

254

docsity.com

MATEMATYKA 14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.

przedstawiony rysunkiem. Możliwa jest natomiast geometryczno-fizyczna interpretacja funkcji trzech zmiennych w postaci pola skalarnego, jakim jest na przykład temperatura lub gęstóśc w pewnej bryle fizycznej, potencjał grawitacyjny w przestrzeni otaczającej planetę itp. Zbiór punktów przestrzeni Oxyz, w których funkcja f (x, y, z) ma tę samą wartóśc f (x, y, z) = const = c jest na ogół pewną powierzchnią. Nazywamy ją powierzchnią ekwiskalarną. Przykładem funkcji trzech zmiennych jest objętóśc stożka ściętego wyrażona wzorem

V = π

3 h ¡ R2 + rR+ r2

¢ dla R, r, h dodatnich.

14.12.1 Formy liniowe i kwadratowe trzech zmiennych

Definicja 14.35 Forma liniowa trzech zmiennych niezerowa jest to funkcja

ϕ (x, y, z) = Ax+By + Cz [A,B,C] 6= 0 (705)

Powierzchniami ekwiskalarnymi tej funkcji są płaszczyzny wzajemnie równoległe i prostopa- dłe do wektora [A,B,C].

Definicja 14.36 Forma kwadratowa trzech zmiennych jest to funkcja postaci

Φ (x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2 + 2Dyz + 2Exz + 2Fxy (706)

przy założeniu, że co najmniej jedna ze stałych A, B, C, D, E, F , zwanych współczynnikami formy, nie jest zerem.

Każda forma ma w początku układu wartóśc 0. Zapiszemy formę kwadratową (706) w postaci

Φ (x, y, z) = a11x 2 + a22y

2 + a33z 2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz (707)

i założymy symetrię współczynników, tzn. a12 = a21, a13 = a31, a23 = a32.

Twierdzenie 14.22 (Sylvestra) Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby forma kwadratowa (707) była dodatnio okréslona, jest koniunkcja nierównósci

a11 > 0

¯̄̄̄ a11 a12 a21 a22

¯̄̄̄ > 0

¯̄̄̄ ¯̄ a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

¯̄̄̄ ¯̄ > 0 (708)

Twierdzenie 14.23 Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby forma kwadratowa (707) była ujemnie okréslona, jest

a11 < 0

¯̄̄̄ a11 a12 a21 a22

¯̄̄̄ > 0

¯̄̄̄ ¯̄ a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

¯̄̄̄ ¯̄ < 0 (709)

255

docsity.com

14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. MATEMATYKA

14.13 Pochodne cząstkowe i różniczki funkcji trzech zmiennych

Niech f (x, y, z) będzie funkcją trzech zmiennych okrésloną w pewnej kuli i niech punkt P = (x, y, z) oraz punkty (x+∆x, y, z) , (x, y +∆y, x) , (x, y, z +∆z) należą do tej kuli.

Definicja 14.37 Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f (x, y, z) w punkcie P odpowiednio względem x, y i z nazywamy granice

fx (P ) = ∂f

∂x = lim

∆x→0

f (x+∆x, y, z)− f (x, y, z) ∆x

fy (P ) = ∂f

∂y = lim

∆y→0

f (x, y +∆y, z)− f (x, y, z) ∆y

fz (P ) = ∂f

∂z = lim

∆z→0

f (x, y, z +∆z)− f (x, y, z) ∆z

(710)

Jeżeli pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są okréslone w pewnej kuli, to różniczkując je powtórnie otrzymujemy dziewię́c pochodnych cząstkowych drugiego rzędu, które można przedstawíc w postaci macierzy Hessa⎡⎣ fxx fxy fxzfyx fyy fyz

fzx fzy fzz

⎤⎦ (711) Pochodne fxx, fyy, fzz nazywamy pochodnymi czystymi, pozostałe - pochodnymi mieszany-

mi. Jeżeli pochodne te są ciągłe, to na mocy Twierdzenia Schwarza (patrz Twierdzenie 14.8, str. 242) spełnione są równósci

fxy = fyx fyz = fzy fxz = fzx (712)

14.13.1 Różniczkowalnóśc funkcji trzech zmiennych

Niech f (x, y, z) będzie funkcją trzech zmiennych okrésloną w pewnym otoczeniu U punktu (x, y, z). Jeżeli istnieją liczby A, B, C takie, że dla dowolnego punktu

(x+∆x, y +∆y, z +∆z) ∈ U

zachodzi równóśc

f (x+∆x, y +∆y, z +∆z)− f (x, y, z) = A∆x+B∆y + C∆z + ρα (713)

przy czym ρ =

p ∆x2 +∆y2 +∆z2 lim

ρ→0 α = 0 (714)

to mówimy, że funkcja f (x, y, z) jest różniczkowalna w punkcie (x, y, z), wyrażenie A∆x+ B∆y + C∆z nazywamy różniczką zupełną funkcji f (x, y, z) w punkcie (x, y, z), a wyraz ρα− resztą.

Twierdzenie 14.24 Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest różniczkowalna w punkcie P = (x, y, z), to jest w tym punkcie ciągła i ma w tym punkcie pochodne cząstkowe, które są równe współczynni- kom różniczki

fx (P ) = A fy (P ) = B fz (P ) = C (715)

256

docsity.com

MATEMATYKA 14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.

i jeżeli punkt P1 = (x+∆x, y +∆y, z +∆z) należy do dziedziny funkcji f (x, y, z), to zachodzi równósć

f (P1)− f (P ) = fx (P )∆x+ fy (P )∆y + fz (P )∆z + ρα (716) przy czym

ρ = PP1 lim ρ→0 α = 0 (717)

Drugą różniczką funkcji trzech zmiennych f (x, y, z) w punkcie P nazywamy formę kwadratową przyrostów dx, d y, d z, której współczynnikami są drugie pochodne funkcji f (x, y, z) w punkcie P

d 2 f = fxx dx

2 + fyy d y 2 + fzz d z

2 + 2fxy dxd y + 2fxz dxd z + 2fyz d y d z (718)

14.14 Ekstremum funkcji trzech zmiennych

14.14.1 Warunek konieczny ekstremum funkcji trzech zmiennych

Twierdzenie 14.25 Jeżeli funkcja f (x, y, z) ma w punkcie P0 ekstremum i jest w tym punkcie różniczkowalna, to wszystkie trzy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f (x, y, z) w punkcie P0 są równe zeru

fx (P0) = fy (P0) = fz (P0) = 0 (719)

Uwaga 14.11 Nie zawsze funkcja, której pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w danym punk- cie są równe zeru ma w tym punkcie ekstremum. Wézmy na przykład funkcję u = x2+y2−z2. Ma ona pochodne ux = 2x, uy = 2y, uz = −2z. Jedynym punktem, w którym ux = uy = uz = 0 jest punkt (0, 0, 0). W tym przypadku nie jest to jednak ekstremum.

14.14.2 Warunek wystarczający ekstremum funkcji trzech zmiennych

Twierdzenie 14.26 Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest klasy C2 w otoczeniu punktu P0 i jeżeli w punkcie P0 pierwsza różniczka funkcji f (x, y, z) znika

fx (P0) = fy (P0) = fz (P0) = 0

a druga różniczka jest formą dodatnio okrésloną, czyli drugie pochodne funkcji f (x, y, z) w punkcie P0 spełniają nierównósci

fxx > 0

¯̄̄̄ fxx fxy fyx fyy

¯̄̄̄ > 0

¯̄̄̄ ¯̄ fxx fxy fxzfyx fyy fyz fzx fzy fzz

¯̄̄̄ ¯̄ > 0 (720)

to funkcja f (x, y, z) ma w punkcie P0 minimum włásciwe.

Twierdzenie 14.27 Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest klasy C2 w otoczeniu punktu P0 i jeżeli w punkcie P0 pierwsza różniczka funkcji f (x, y, z) znika

fx (P0) = fy (P0) = fz (P0) = 0

a druga różniczka jest formą ujemnie okrésloną, czyli drugie pochodne funkcji f (x, y, z) w punkcie P0 spełniają nierównósci

fxx < 0

¯̄̄̄ fxx fxy fyx fyy

¯̄̄̄ > 0

¯̄̄̄ ¯̄ fxx fxy fxzfyx fyy fyz fzx fzy fzz

¯̄̄̄ ¯̄ < 0 (721)

to funkcja f (x, y, z) ma w punkcie P0 maksimum włásciwe.

257

docsity.com

14. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. MATEMATYKA

14.14.3 Warunek wykluczający ekstremum funkcji trzech zmiennych

Twierdzenie 14.28 Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest klasy C2 w otoczeniu punktu P0 i jeżeli w punkcie P0 pierwsza różniczka funkcji f (x, y, z) znika a druga jest formą nieokrésloną, to funkcja f (x, y, z) nie ma ekstremum w punkcie P0.

14.15 Pochodna kierunkowa i gradient funkcji trzech zmiennych

14.15.1 Pochodna kierunkowa

Niech f (x, y, z) będzie funkcją trzech zmiennych okrésloną w otoczeniu punktu P0, a l− półprostą o początku P0. Granicę

∂f

∂l (P0) = lim

P→P0 P∈l

f (P )− f (P0) PP0

(722)

nazywamy pochodną kierunkową funkcji f (x, y, z) w punkcie P0 w kierunku l.

Twierdzenie 14.29 Jeżeli f (x, y, z) jest funkcją trzech zmiennych, różniczkowalną w punkcie P0, to

∂f

∂l (P0) =

∂f

∂x (P ) cosα+

∂f

∂y (P ) cosβ +

∂f

∂z (P ) cos γ (723)

gdzie α, β, γ są miarami kątów kierunkowych półprostej l względem układu Oxyz.

14.15.2 Gradient

Niech f (x, y, z) jest funkcją trzech zmiennych, różniczkowalną w punkcie P0. Gradientem funkcji f (x, y, z) w punkcie P nazywamy wektor

grad f (P ) =

∙ ∂f

∂x (P ) ,

∂f

∂y (P ) ,

∂f

∂z (P )

¸ (724)

Twierdzenie 14.30 Jeżeli f (x, y, z) jest funkcją trzech zmiennych klasy C1 w otoczeniu punktu P i jeżeli grad f (P ) 6= 0, to grad f (P ) jest wektorem prostopadłym do powierzchni ekwiskalarnej funkcji f (x, y, z) w punkcie P .

14.15.3 Nabla - operator różniczkowy Hamiltona

Definicja 14.38 Nablą nazywamy znak ∇, którym Hamilton oznaczył wektorowy operator różniczkowy

∇ = ∙ ∂

∂x , ∂

∂y , ∂

∂z

¸ (725)

Działanie tego operatora na funkcję skalarną f (x, y, z) definiujemy równóscią

∇f = ∙ ∂

∂x , ∂

∂y , ∂

∂z

¸ f =

∙ ∂f

∂x , ∂f

∂y , ∂f

∂z

¸ Zauważmy, że

∇f = grad f (726)

258

docsity.com

MATEMATYKA 15. FUNKCJE UWIKŁANE

15 Funkcje uwikłane

15.1 Funkcje uwikłane jednej zmiennej

-4

-2

0

2

4

-4 -2 2 4

Rysunek 107: Funkcja y2−2xy−1 = 0.

Jeżeli jest dany wzór okréslający funkcję dwóch zmiennych x i y, który dla dowolnie obranego x należy rozwiązác względem y, aby wyznaczýc wartóśc tej funkcji, to mówimy, że funkcja jest dana w sposób uwikłany, jest funkcją uwikłaną. Równanie

x2y + y − x = 0 (727) ma dla dowolnego x ∈ R dokładnie jedno rozwiązanie

y = x

x2 + 1

Równanie y2 − 2xy − 1 = 0 (728)

ma dla dowolnego x ∈ R dwa rozwiązania

y = x+ √ x2 + 1 y = x−

√ x2 + 1

Istnieją więc dwie funkcje ciągłe, okréslone w R i spełniające te równania (patrz rysunek 107). Prosta przerywana obrazuje asymptotę obu gałęzi.

-4

-3

-2

-1 0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Rysunek 108: Funkcja x = 12

³ y2 + 1y

´ .

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Rysunek 109: Funkcja uwikłana y3−2xy+ 1 = 0.

Wézmy funkcję y3 − 2xy + 1 = 0 (729)

Jest to równanie trzeciego stopnia względem y. Uzyskanie wzoru algebraicznego okréslają- cego y = f (x) w sposób jawny jest trudne. Możemy do niego doj́śc w sposób pósredni. Zamienimy role zmiennych i rozwiążemy to równanie względem x. Funkcja x = ϕ (y) otrzymana w ten sposób będzie funkcją odwrotną do szukanej funkcji y = f (x). Mamy więc

x = 1

2

µ y2 +

1

y

¶ (730)

259

docsity.com

15. FUNKCJE UWIKŁANE MATEMATYKA

Wykres tej funkcji (patrz rysunek 108) jest jednoczésnie wykresem funkcji odwrotnych po zamianie miejscami osi układu współrzędnych. Na podstawie twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej (Twierdzenie 13.4, str. 193)

obliczamy

f 0 (x) = 1

ϕ0 (y) =

1 2y3−1 2y2

= 2y2

2y3 − 1 (731)

Twierdzenie 15.1 Jeżeli lewa strona równania

F (x, y) = 0 (732)

jest funkcją klasy C1 w pewnym otoczeniu U punktu (x0, y0) i jeżeli

F (x0, y0) = 0 Fy (x0, y0) 6= 0 (733)

to istnieje przedział H = (x0 − h, x0 + h) , h > 0, w którym istnieje dokładnie jedna funkcja

y = f (x) (734)

taka, że ∧ x∈H F (x, f (x)) = 0

oraz przyjmująca dla argumentu x0 wartósć y0

y0 = f (x0)

Funkcja ta ma w przedziale H ciągłą pochodną daną wzorem

f 0 (x) = −Fx (x, f (x)) Fy (x, f (x))

(735)

Jest to wzór na pochodną funkcji uwikłanej. Otrzymujemy go z relacji

d

dx F (x, y) =

d

dx F (x, f (x)) = Fx + Fyf

0 = 0

Funkcję (734) nazywamy elementem funkcji uwikłanej zmiennej x danej równaniem (732) w otoczeniu punktu (x0, y0). Jest to również rozwiązanie równania (732) względem y w otoczeniu punktu (x0, y0).

Twierdzenie 15.2 Jeżeli lewa strona równania

F (x, y) = 0 (736)

jest funkcją klasy C2 w pewnym otoczeniu U punktu (x0, y0) i jeżeli

F (x0, y0) = 0 Fy (x0, y0) 6= 0

to funkcja uwikłana y = f (x) dana równaniem (736) w otoczeniu punktu (x0, y0) jest funkcją klasy C2 i zachodzą związki

f 0 = −Fx (x, f (x)) Fy (x, f (x))

f 00 = −F 2yFxx + 2FxyFxFy − F 2xFyy

F 3y (737)

260

docsity.com

MATEMATYKA 15. FUNKCJE UWIKŁANE

Twierdzenie 15.3 Warunkiem wystarczającym na to, aby funkcja uwikłana y = f (x) dana równaniem F (x, y) = 0, F ∈ C2, miała w punkcie (x, y) ekstremum włásciwe jest, aby

F (x, y) = 0 Fx (x, y) = 0 (738)

oraz Fy (x, y) 6= 0 Fxx (x, y) 6= 0 (739)

Jeżeli warunki te są spełnione, to charakter ekstremum zależy od znaku f 00, mianowicie

f 00 = −Fxx Fy

½ > 0 minimum < 0 maksimum

32.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5-3

3

2.5

2

1.5

1

0.5 0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

1P

2P

Rysunek 110: Ekstrema funkcji F (x, y) = x2 − 2xy − 3y2 + 4 = 0.

Przedstawioną teorię zilustrujemy przykładami.

Przykład 15.1 Zbadać funkcję uwikłaną zmiennej x daną równaniem

F (x, y) = x2y3 + y − 3 (740)

w otoczeniu punktu x0 = 0, y0 = 3.

Rozwiązanie 15.1 Funkcja F (x, y) jest funkcją klasy C2. Stwierdzamy, że F (0, 3) = 0 oraz

Fx (x, y) = 2xy 3 Fx (0, 3) = 0

Fy (x, y) = 3x 2y2 + 1 Fy (0, 3) = 1 6= 0

Fxx (x, y) = 2y 3 Fxx (0, 3) = 54 6= 0

f 00 (0) = −Fxx (0, 3) Fy (0, 3)

= −54

Funkcja uwikłana y = f (x) dana równaniem (740) ma dla argumentu x = 0 w otoczeniu punktu (0, 3) maksimum włásciwe.

Przykład 15.2 Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej zmiennej x danej równaniem

F (x, y) = x2 − 2xy − 3y2 + 4 = 0 (741)

Rozwiązanie 15.2 Warunkiem koniecznym ekstremum funkcji y = f (x) jest f 0 = −Fx Fy = 0,

a więc Fx (x, y) = 2x− 2y (742)

Rozwiązując układ równań (741) i (742), otrzymujemy dwa punkty P1 = (1, 1) i P2 = (−1,−1). Stwierdzamy, że w obu tych punktach spełniony jest warunek (739) oraz że f 00 (1) > 0, f 00 (−1) < 0. Element funkcji uwikłanej danej równaniem (741) ma w punkcie P1 minimum. Element funkcji uwikłanej danej równaniem (741) ma w punkcie P2 maksimum (patrz rysunek 110).

261

docsity.com

16. CAŁKA NIEOZNACZONA MATEMATYKA

16 Całka nieoznaczona

16.1 Pojęcie funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej

Na wstępie podamy definicję funkcji pierwotnej.

Definicja 16.1 Mówimy, że funkcja F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale E, gdy dla każdego x ∈ E wartósć pochodnej funkcji F (x) jest równa wartósci funkcji f(x), tzn. gdy

F 0(x) = f(x) dla x ∈ E (743)

Twierdzenie 16.1 (O funkcji pierwotnej) Jeżeli F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale x ∈ E, a symbol const oznacza

dowolną funkcję stałą na przedziale E, to funkcja Φ(x) okréslona wzorem

Φ(x) = F (x) + const dla x ∈ E (744)

jest również funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale E.

Dowód 16.1 Φ0(x) = F 0(x) + (const)0 = F 0(x) = f(x) dla x ∈ E.

Twierdzenie 16.2 (O różnicy funkcji pierwotnych) Jeżeli F (x) i Φ(x) są funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) na przedziale E, to różnica tych

funkcji jest stałą na przedziale E

Φ(x)− F (x) = const dla x ∈ E (745)

Dowód 16.2 Ponieważ F 0(x) = f(x), Φ0(x) = f(x) dla x ∈ E, więc [Φ(x)− F (x)]0 = 0 = (const)0 dla x ∈ E.

Wniosek 16.1 Jeżeli F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale E, to wyrażenie F (x) + const dla x ∈ E przedstawia dowolną funkcję pierwotną funkcji f(x) na przedziale E.

Uwaga 16.1 Funkcję stałą nazywamy krótko: stałą i oznaczamy C lub C1, C2, a także C 0, C 00

itp.

Twierdzenie 16.3 (O całce nieoznaczonej) Jeżeli F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale E, a C dowolną stałą, to

wyrażenie F (x) + C dla x ∈ E (746)

nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) na przedziale E, oznaczamy symbolem R f(x) dx58

i piszemy Z f(x) dx = F (x) + C (747)

Uwaga 16.2 Używane są następujące terminy:

f(x) − funkcja podcałkowa x − zmienna całkowania dx − różniczka zmiennej całkowania f(x) dx − wyrażenie podcałkowe C − stała całkowania

58Czytamy: całka f od x dx.

262

docsity.com

MATEMATYKA 16. CAŁKA NIEOZNACZONA

Funkcje potęgowe Funkcje wykładniczeZ xn dx =

1

n+ 1 xn+1 + C, n 6= −1

Z ex dx = ex + C

Z 1

x dx = ln |x|+ C

Z ax dx =

1

ln a ax + C a > 0, a 6= 1

Funkcje trygonometryczne Funkcje hiperboliczneZ sinxdx = − cosx+ C

Z sinhxdx = coshx+ C

Z cosxdx = sinx+ C

Z coshxdx = sinhx+ C

Z tanx dx = − ln |cosx|+ C

Z tanhxdx = ln coshx+ C

Z cotxdx = ln |sinx|+ C

Z cothxdx = ln |sinhx|+ C

Z 1

cos2 x dx = tanx+ C

Z 1

cosh2 x dx = tanhx+ C

Z 1

sin2 x dx = − cotx+ C

Z 1

sinh2 x dx = − cothx+ C

Tablica 19: Całki elementarne: funkcje potęgowe, wykładnicze, trygonometryczne i hiperboliczne.

Wniosek 16.2 Całka nieoznaczona jest to wyrażenie, które przedstawia dowolną funkcję pier- wotną funkcji podcałkowej. Wyznaczenie całki nieoznaczonej polega na wskazaniu funkcji, której pochodna jest równa funkcji podcałkowej. Równósć (747) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zależnósć (743). A więcZ

f(x) dx = F (x) + C dla x ∈ E ⇔ F 0(x) = f(x) dla x ∈ E (748)

Ze znanych wzorów na pochodne wynikają bezpósrednio podstawowe wzory na tzw. całki elementarne. Są one zebrane w tabelach 19 i 20. Wnastępnych dwóch tabelach zamieszczone są tożsamósci trygonometryczne oraz pochodne

funkcji cyklometrycznych i hiperbolicznych.

Uwaga 16.3 Symbol całki nieoznaczonej składa się ze znaku całki R i ze znaku różniczki dx.

Znak różniczki wskazuje, która ze zmiennych jest zmienną całkowania.

Wniosek 16.3 Z xn dx =

xn+1

n+ 1 + C ponieważ d

dx

µ xn+1

n+ 1 + C

¶ = xn

Z xr d r =

xr

lnx + C ponieważ d

d r

µ xr

lnx + C

¶ = xr

263

docsity.com

16. CAŁKA NIEOZNACZONA MATEMATYKA

Funkcje wymierne (a > 0) Funkcje niewymierne (a > 0)

Z dx

a2 + x2 = 1

a arctan

x

a + C

Z dx√ a2 + x2

= arsinh x

a =

= ln ¡ x+ √ x2 + a2

¢ + CZ

dx

a2 − x2 = 1

a artanh

x

a = 1

2a ln a+ x

a− x + C

|x| < a

Z dx√ a2 − x2

= arcsin x

a + C

a > |x|

Z dx

x2 − a2 = − 1

a arcoth

x

a = 1

2a ln x− a x+ a

+ C

|x| > a

Z dx√ x2 − a2

= arcosh x

a =

= ln ¯̄ x+ √ x2 − a2

¯̄ + C

|x| > a

Tablica 20: Całki elementarne: funkcje wymierne i niewymierne.

Wniosek 16.4Z p cos td t = p sin t+ C ponieważ

d

d t (p sin t+ C) = p cos t

Z p cos td p =

1

2 p2 cos t+ C ponieważ d

d p

µ 1

2 p2 cos t+ C

¶ = p cos t

Uwaga 16.4 Całka z zera jest równa stałejZ 0 dx = C

Uwaga 16.5 Całka ze stałej jest równa zmiennej całkowania pomnożonej przez stałąZ 1 dx = x+ C

Z a dx = a

Z dx = ax+ C

Przykład 16.1 Czy równósć Z x dx =

1

2 x2 + C dla x ∈ R (749)

jest prawdziwa?

Rozwiązanie 16.1 Tak, ponieważµ 1

2 x2 + C

¶0 = x dla x ∈ R (750)

264

docsity.com

MATEMATYKA 16. CAŁKA NIEOZNACZONA

sin arcsinx = x tan arctanx = x cos arccosx = x

sin arccosx = √ 1− x2 tan arcsinx = x√

1− x2 cos arcsinx =

√ 1− x2

sin arctanx = x√ 1 + x2

tan arccosx =

√ 1− x2 x

cos arctanx = 1√ 1 + x2

sin arccot x = 1√ 1 + x2

tan arccotx = 1

x cos arccotx =

x√ 1 + x2

cot arccotx = x cot arcsinx =

√ 1− x2 x

cot arccosx = x√ 1− x2

cot arctanx = 1

x

Tablica 21: Tożsamósci trygonometryczne - funkcje trygonometryczne i cyklometryczne.

funkcje trygonometryczne funkcje hiperboliczne d

dx arcsinx =

1√ 1− x2

d

dx arsinhx =

£ ln ¡ x+ √ x2 + 1

¢¤0 =

1√ x2 + 1

d

dx arccosx = − 1√

1− x2 d

dx arcoshx =

£ ln ¡ x+ √ x2 − 1

¢¤0 =

1√ x2 − 1

d

dx arctanx =

1

1 + x2 d

dx artanhx =

∙ 1

2 ln

µ 1 + x

1− x

¶¸0 =

1

1− x2

d

dx arccotx = − 1

1 + x2 d

dx arcothx =

∙ 1

2 ln

µ x− 1 x+ 1

¶¸0 =

1

x2 − 1

Tablica 22: Pochodne funkcji odwrotnych - funkcje cyklometryczne i hiperboliczne.

Przykład 16.2 Czy równósć Z 1

x dx = lnx+ C dla x > 0 (751)

jest prawdziwa?

Rozwiązanie 16.2 Tak, ponieważ

(lnx+ C)0 = 1

x (752)

Równósć Z 1

x dx = ln(−x) + C dla x < 0 (753)

jest prawdziwa, gdyż dla x < 0 mamy [ln(−x)]0 = 1−x(−1) = 1

x . Równósci (751) i (753)

zapisujemy Z 1

x dx = ln |x|+ C dla x 6= 0 (754)

265

docsity.com

16. CAŁKA NIEOZNACZONA MATEMATYKA

przy czym C oznacza dowolną stałą z przedziału (0;∞) oraz dowolną stałą z przedziału (−∞; 0).

16.2 Całkowanie

Wyznaczanie funkcji pierwotnej nazywamy całkowaniem. Jest to proces odwrotny do różniczkowania, lecz znacznie trudniejszy. Na przykład, dla pewnych, nawet dóśc prostych funkcji

ex 2

e−x 2 ex

x

1

lnx

sinx

x

cosx

x

1√ 1 + x3

(755)

nie umiemy funkcji pierwotnej wyrazíc przy pomocy skończenie wielu znanych funkcji elemen- tarnych. O takich funkcjach mówimy, że są to funkcje niecałkowalne elementarnie, a ich całki nazywamy całkami nieelementarnymi. Najprostsza metoda wyznaczania całek nieelementarnych polega na całkowaniu kolejnych wyrazów nieskończonych szeregów potęgo- wych, które są przybliżoną postacią funkcji podcałkowych. Na przykład, funkcję ex

2 można

rozwiną́c w szereg potęgowy

ex 2

= 1 + x2 + 1

2! x4 +

1

3! x6 +

1

4! x8 +

1

5! x10 +

1

6! x12 +O

¡ x13 ¢

i następnie całkowác kolejno wyraz po wyrazieZ ex

2

dx =

Z µ 1 + x2 +

x4

2! + x6

3! + · · ·

¶ dx = C + x+

x3

3 + x5

2! · 5 + x7

3! · 7 + · · · (756)

16.3 Twierdzenia o całce nieoznaczonej

16.3.1 Podstawowe tożsamósci

Podstawą naszych rozważań jest równoważnóścµZ f(x) dx = F (x) + C dla x ∈ E

¶ ⇔ µ d

dx F (x) = f(x) dla x ∈ E

¶ (757)

Załóżmy, że d dx F (x) = f(x) dla x ∈ E . Wówczas obie strony tej równósci są prawdziwe.

Jeżeli w miejsce F (x) wstawimy funkcję f(x), to otrzymamy tożsamóśc

d

dx

Z f(x) dx = f(x) dla x ∈ E (758)

Jeżeli zás w (757) wstawimy funkcję F (x), to otrzymamy tożsamóścZ d

dx F (x) dx = F (x) + C dla x ∈ E (759)

Mówimy, że całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania, a różniczko- wanie jest działaniem odwrotnym do całkowania.

Całka sumy lub różnicy jest równa sumie lub różnicy całek.

Twierdzenie 16.4 Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są ciągłe na przedziale E, toZ [f(x)± g(x)] dx =

Z f(x) dx±

Z g(x) dx (760)

266

docsity.com

MATEMATYKA 16. CAŁKA NIEOZNACZONA

Dowód 16.3 Wystarczy wykazać, że pochodna prawej strony jest funkcją podcałkową po lewej stronie.

d

dx

∙Z f(x) dx±

Z g(x) dx

¸ = d

dx

Z f(x) dx± d

dx

Z g(x) dx = f(x)± g(x) (761)

Stałe współczynniki można wyniéśc przed znak całki.

Twierdzenie 16.5 Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na przedziale E, a stała k jest różna od zera, to Z

kf(x) dx = k

Z f(x) dx dla x ∈ E (762)

Uwaga 16.6 Dla k = 0 równósć (762) nie jest spełniona, gdyż lewa strona jest stałą dowolną, a prawa strona jest zerem.

Uwaga 16.7 Jeżeli przy wzorze na całkę nieoznaczoną nie podano przedziału, to należy rozu- miéc, że wzór ten jest prawdziwy w każdym przedziale otwartym, w którym funkcja podcałkowa jest ciągła.

Przykład 16.3 Oblicz całkę nieoznaczoną

I1 =

Z x+ 1

x dx (763)

Rozwiązanie 16.3 Przekształcimy wyrażenie podcałkoweZ x+ 1

x dx =

Z µ 1 +

1

x

¶ dx (764)

a następnie wyznaczymy wartósci całek

I1 =

Z dx+

Z 1

x dx = x+ ln |x|+ C (765)

Przykład 16.4 (Wyłączanie współczynnika stałego przed znak całki) Oblicz całki

I1 =

Z (ax+ b) dx (766)

I2 =

Z ea+x dx (767)

I3 =

Z k Mm

x2 dx (768)

Rozwiązanie 16.4

I1 = R (ax+ b) dx = a

R x dx+ b

R dx =

a

2 x2 + bx+ C

I2 = R ea+x dx =

R eaex dx = ea

R ex dx = eaex + C = ea+x + C

I3 = R k Mm

x2 dx = kMm

R 1 x2 dx = kMm

x−1

−1 + C = C − kMm

x

267

docsity.com

16. CAŁKA NIEOZNACZONA MATEMATYKA

16.4 Całkowanie przez czę́sci

Na wstępie przypomnimy sobie wzór na wyznaczanie pochodnej iloczynu dwóch funkcji u(x) i v(x) i obustronnie scałkujemy go:

(u · v)0 = u0 · v + u · v0Z (u · v)0 dx =

Z u0 · v dx+

Z u · v0 dx

u · v = Z u0 · v dx+

Z u · v0 dx

(769)

Następnie podamy twierdzenie.:

Twierdzenie 16.6 Jeżeli funkcje u, v są klasy C1 na przedziale E, to59Z u(x)v0(x) dx = u(x)v(x)−

Z u0(x)v(x) dx (770)

Jest to wzór na całkowanie przez czę́sci. Można go zapisác krócejZ uv0 dx = uv −

Z u0v dx (771)

lub jeszcze krócej Z ud v = uv −

Z v du (772)

Uwaga 16.8 Jeżeli jest znana całka R f dx, to żeby zastosować wzór na całkowanie przez

czę́sci, należy funkcję podcałkową f przedstawić w postaci iloczynu uv0:Z f dx =

Z uv0 dx (773)

Jest to możliwe na wiele sposobów. Jednak nie każdy prowadzi do pożądanego wyniku. W prezentowanych przykładach omówimy to zagadnienie. W dalszych rozważaniach obliczenia pomocnicze będziemy umieszczać między nawiasami h(·)i. Po osiągnięciu pewnej wprawy pominiemy je.

Przykład 16.5 Obliczyć całki

I1 =

Z x cosxdx I2 =

Z xex dx (774)

Rozwiązanie 16.5

I1 =

Z x cosxdx =

* ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

f = u · v0 = x · cosx u = x v0 = cosx

↓ du dx

& ↓ R v0 dx

u0 = 1 v = sinx

− R u0 · v dx

←−−−−−−−−−−−−−−−−−−

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ + = x sinx−

Z sinxdx (775)

59Termin: funkcja klasy C1 oznacza, że funkcja jest ciągła i jej pierwsza pochodna jest również ciągła.

268

docsity.com

MATEMATYKA 16. CAŁKA NIEOZNACZONA

Jak należy czytać wyrażenie w nawiasie h(·)i? Otóż, lewy górny element (u) należy pomnożyć przez prawy dolny (v) (strzałka &), a następnie odjąć od tego iloczynu (u · v) całkę z iloczynu elementów lewego i prawego dolnego

µR u0 · v dx←−−−−−−

¶ - o odejmowaniu mówi zwrot strzałki pod

wyrażeniem w nawiasie. Na górze lewej kolumny mamy funkcję u, którą należy zróżniczkować (wyrażenie ↓ du

dx ), natomiast na górze prawej kolumny znajduje się pochodna v0, którą należy

scałkować (wyrażenie ↓ R v0 · dx ).

Stąd

I1 =

⎧⎨⎩ R u · v0 dx = u · v −

R u0 · v dxR

x cosxdx = x sinx − R 1 · sinxdxR

x cosxdx = x sinx +cosx+ C (776)

W tym przypadku możemy również zastosować inne podstawienie

I1 =

Z x cosxdx =

*⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ u = cosx v0 = x

↓ du dx

& ↓ R v0 dx

u0 = − sinx v = 1 2 x2

− R u0 · v dx

←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ + = 1

2 x2 cosx+

1

2

Z x2 sinxdx

(777) które znacznie komplikuje (lub wręcz uniemożliwia) rozwiązanie. Oznacza to, że za pochodną v0 nie należy podstawiać wyrażenia wielomianowego, ponieważ całkowanie zawsze podwyższa o 1 potęgę zmiennej x. Przejdziemy do rozwiązania drugiej całki I2 =

R xex dx. Mamy więc

I2 =

Z xex dx =

*⎛⎜⎜⎝ u = x v0 = ex

↓ du dx

& ↓ R v0 dx

u0 = 1 v = ex ←−−−−−−−−−−−−−−−−−−

⎞⎟⎟⎠ + = xex −

Z ex dx = (x− 1)ex + C (778)

Przykład 16.6 (Dwukrotne całkowanie przez czę́sci) Obliczyć całkę

I1 =

Z x2ex dx (779)

Rozwiązanie 16.6 Obliczamy kolejno

I1 =

Z x2ex dx =

*⎛⎜⎝ u = x2 v0 = ex& u0 = 2x v = ex ←−−−−−−−−−−−−−−−−

⎞⎟⎠+ = x2ex − 2Z xex dx =

= x2ex − 2 · [Przykład 16.5] = x2ex − 2 · *⎛⎜⎝ u = x v0 = ex&

u0 = 1 v = ex ←−−−−−−−−−−−−−−−

⎞⎟⎠+ = (780) = x2ex − 2 [(x− 1)ex + C1] + C2 = x2ex − 2xex + 2ex − 2C1 + C2 = = (x2 − 2x+ 2)ex + C

269

docsity.com

16. CAŁKA NIEOZNACZONA MATEMATYKA

Przykład 16.7 (Trzykrotne całkowanie przez czę́sci) Oblicz całkę

I1 =

Z x3ex dx (781)

Rozwiązanie 16.7 Podamy tu wynik, obliczenia mogą być przeprowadzone z wykorzystaniem poprzednich przykładów. Mamy

I1 =

Z x3ex dx = (x

3 − 3x2 + 6x− 6)ex + C (782)

Przykład 16.8 Obliczyć całki

I1 =

Z lnxdx I2 =

Z xn lnxdx

I3 =

Z 1

x lnxdx I4 =

Z x ln2 xdx

I5 =

Z ln2 xdx I6 =

Z ln3 xdx

(783)

Rozwiązanie 16.8 Otrzymujemy kolejno

1.

I1 =

Z lnxdx =

*⎛⎜⎜⎜⎝ u = lnx v0 = 1

& u0 =

1

x v = x

←−−−−−−−−−−−−−−−−

⎞⎟⎟⎟⎠ + = x lnx−

Z 1

x xdx = x lnx− x+ C

(784)

2. Jeżeli n 6= 1, to otrzymujemy

I2 =

Z xn lnxdx =

*⎛⎜⎜⎜⎝ u = lnx v0 = xn

&

u0 = 1

x v =

xn+1

n+ 1←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

⎞⎟⎟⎟⎠ + = (785)

= xn+1

n+ 1 lnx−

Z 1

x

xn+1

n+ 1 dx =

xn+1

n+ 1 lnx− x

n+1

(n+ 1)2 + C n 6= −1

3. Jeżeli n = −1, to dochodzimy do równania

I3 =

Z 1

x lnxdx =

*⎛⎜⎜⎜⎜⎝ u = lnx v0 =

1

x &

u0 = 1

x v = lnx

←−−−−−−−−−−−−−−−−−

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ + = (786)

= ln2 x− Z 1

x lnxdx+ C1

270

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome