Podstawy ekonometrii - Notatki - Ekonometria - Część 1, Notatki'z Ekonometria. Rzeszów University
hermiona80
hermiona8018 March 2013

Podstawy ekonometrii - Notatki - Ekonometria - Część 1, Notatki'z Ekonometria. Rzeszów University

PDF (88.2 KB)
15 strona
2Liczba pobrań
1000+Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach omawiane zostają zagadnienia z ekonometrii: podstawy ekonometrii.Część 1.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 15
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

Ekonometria bada związki o charakterze ilościowym występujące pomiędzy elementami

zjawisk ekonomicznych za pomocą metod statystycznych i matematycznych.

Ekonometrię można stosować wtedy, gdy:

badane zjawisko ekonomiczne musi być stabilne, tj. ulegać jedynie niewielkim i powolnym zmianom,

zjawisko musi być mierzalne, tj. jego cechy muszą być wyrażane liczbowo, można określić czynniki wpływające na jego zachowanie, dostępne są dane statystyczne opisujące zachowanie (w sensie ilościowym) badanego

systemu w przeszłości.

Podstawowym narzędziem wykorzystywanym w analizie ekonometrycznej jest model

ekonometryczny.

Model to konstrukcja teoretyczna, która podlega analizie w miejsce rzeczywistego

zjawiska, pozwalając na lepsze zrozumienie jego charakteru. Jest ona zawsze znacznie

uproszczonym obrazem obserwowanego zjawiska (np. model samolotu, model spirali

DNA) pozwala jednak na prowadzenie eksperymentów.

Model ekonometryczny

to formalna konstrukcja, która za pomocą jednego lub kilku równań przedstawia

powiązania występujące pomiędzy elementami zjawiska ekonomicznego.

Jest to model matematyczny, który został „dopasowany” do rzeczywistości za pomocą

metod statystycznych.

Modele matematyczne są:

zwięzłe, jednoznaczne, precyzyjne, mają logiczną strukturę, łatwe do wykorzystania przy użyciu komputerów.

Podział modeli ekonometrycznych

- ze względu na uwzględnienie powiązań zachodzących jednocześnie lub w kolejnych

okresach czasu:

statyczne, dynamiczne.

- ze względu na ilość równań:

jednorównaniowe, wielorównaniowe.

- ze względu na postać funkcji opisującej charakter wpływu zmiennych X na zmienne Y:

liniowe, nieliniowe.

Przykłady modeli ekonometrycznych

Liniowy (jednorównaniowy):

C = + Y

gdzie: C – konsumpcja

Y – dochód narodowy

,  - parametry modelu

Liniowy (wielorównaniowy):

C = + Y

Y = C + I + G

gdzie: I – inwestycje

G – wydatki budżetowe

Nieliniowy:

I = 0 + 1R + 2R2 + 3Y + 4Y2

gdzie: R – stopa procentowa

Dynamiczny:

Ct = 0 + 1Yt-1 It = 0 + 1(Yt-1 - Yt-2)

Yt = Ct + It + Gt

gdzie: „t”, „t-1”, „t-2” oznaczają kolejne okresy czasu.

Budowa modelu ekonometrycznego

y = f(x1 ,x2 , ..., xn) + u

np. model liniowy:

y = a1x1 + a2x2 + ... + anxn + u

gdzie:

y - zmienna objaśniana (endogeniczna)

x1 ,x2 , ..., xn - zmienne objaśniające (egzogeniczne)

a1, a2, ..., an - parametry strukturalne modelu

u - składnik losowy

Na podstawie danych statystycznych opisujących zachowanie systemu w przeszłości

parametry modelu są szacowane (estymowane) za pomocą metody najmniejszych

kwadratów (MNK), np.

C = 3,45 + 8,52Y + u

Oznacza to dopasowanie modelu do rzeczywistości.

Parametry strukturalne modelu wyrażają ilościowy wpływ danej zmiennej (przy której

stoją) na zmienną objaśnianą.

Składnik losowy uwzględnia:

wpływ innych zmiennych niż te, które są już w modelu, różnice między modelem a rzeczywistością, błędy pomiaru zmiennych, działanie czynników losowych.

Etapy budowy modelu ekonometrycznego

1. specyfikacja modelu – określenie zmiennych objaśnianych i objaśniających, postaci

analitycznej modelu oraz źródeł danych statystycznych,

2. estymacja parametrów modelu – na podstawie zgromadzonych danych za pomocą

MNK,

3. weryfikacja modelu – określenie, czy wyniki są zgodne z teorią ekonomiczną oraz

statystyką,

4. wykorzystanie modelu – do symulacji i tworzenia prognoz.

Specyfikacja modelu

I. Dobór zmiennych objaśniających

Zmienne muszą:

mieć wysoką zmienność, tj. współczynnik zmienności

%10V w przeciwnym wypadku są to zmienne quasi-stałe

być silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą, nie być skorelowane ze sobą. Zmienne spełniające oba warunki można wybrać stosując metodę formalną, tzw. metodę Hellwiga. Obliczamy macierz współczynników korelacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi:

   

   

1... ............

...1

...1

][

21

221

112

nn

n

n

ij

rr

rr rr

r

oraz wektor:

 nj rrrr ...][ 21 współczynników korelacji zmiennych objaśniających ze zmienną objaśnianą. Rozważa się wszystkie możliwe kombinacje zmiennych objaśniających, których jest:

12  nL Dla każdej kombinacji oblicza się indywidualny wskaźnik pojemności informacyjnej:

  

 

lm

ji i

ij

j lj

r

r h

1

2

1

gdzie l = 1 ,..., L, j = 1 ,..., ml,

ml – liczba zmiennych w kombinacji Integralne wskaźniki pojemności całych kombinacji:

 

lm

j ljl hH

1

Wybierana jest ta kombinacja zmiennych, dla której H jest największe:

}{max* ll HH

Przykład:

Zmienne x1, x2, x3, x4.

Macierz korelacji i wektor:

   

   

  

103,055,041,0 03,0113,014,0 55,013,0164,0

41,014,064,01

 63,018,080,043,0  Kombinacje zmiennych: 1:{x1} 5:{x1,x2} 10:{x3,x4} 15:{x1,x2,x3,x4} 2:{x2} 6:{x1,x3} 11:{x1,x2,x3} 3:{x3} 7:{x1,x4} 12:{x1,x2,x4} 4:{x4} 8:{x2,x3} 13:{x1,x3,x4}

9:{x2,x4} 14:{x2,x3,x4} Dla np. kombinacji nr 5 liczymy:

390,0 64,01 )80,0(

113,0 64,01 )43,0(

2

52

2

51

  

 

h

h

oraz:

503,0390,0113,05 H

Okazuje się, że maksymalna wartość pojemności występuje dla kombinacji nr 9, tj.

{x2,x4} i wynosi 0,668.

Problem: zmienne jakościowe, np. branża, wykształcenie, posiadanie bazy transportowej

itp.

Wtedy zamieniamy te zmienne na zero-jedynkowe i wstawiamy je do modelu. Na

przykład:

zmienna „wykształcenie pracownika” (podstawowe, średnie, wyższe) Zamieniamy ją na 2 zmienne zero-jedynkowe: z1=0 gdy podstawowe, z1=1 gdy średnie lub wyższe, z2=0 gdy podstawowe lub średnie, z2=1 gdy wyższe.

Sprawia trudności jednak interpretacja parametrów przy takich zmiennych.

II. Wybór postaci analitycznej modelu

Kiedy jest jedna zmienna objaśniająca – wykres rozrzutu. W innym wypadku – teoria ekonomii, literatura, praktyka i doświadczenie.

Estymacja parametrów modelu ekonometrycznego

Parametry modelu

Y = aX + b

można oszacować na podstawie danych statystycznych opisujących zachowanie

modelowanego zjawiska w przeszłości.

Do tego celu stosowana jest metoda najmniejszych kwadratów polegająca na

minimalizacji

(Y-aX)T(Y-aX) min

Rozwiązaniem jest macierz parametrów:

a = (XTX)-1XTY

Opisują one siłę oraz kierunek wpływu zmiennych objaśniających (X) na zmienną

objaśnianą (Y).

Weryfikacja modelu

Po oszacowaniu parametrów należy sprawdzić, czy model jest dobry, tj.

jest zgodny z rzeczywistością, jest precyzyjny, zmienne objaśniające (X) istotnie wpływają na zmienną objaśnianą (Y). Do oceny dopasowania modelu do rzeczywistych danych wykorzystuje się:

wariancję resztową:

kn

yy uS i

ii

   2*

2 )(

)(

lub w zapisie macierzowym:

kn XayyyuS

TT

 

)(2

gdzie „reszta” oznacza różnicę między wartością empiryczną yi a teoretyczną yi*.

współczynnik zbieżności:

 

 

i ii

i ii

yy

yy

2

2*

2

)(

)( 

współczynnik determinacji: R2 = 1 - 2

Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału [0,1] i informuje jaka część

zmian zmiennej objaśnianej Y została wyjaśniona przez model.

Na przykład R2 = 0,7 oznacza, iż model w 70% wyjaśnia zmiany zmiennej Y.

Istotność parametrów

Wektor parametrów modelu:

a = (XTX)-1XTY

ma macierz wariancji i kowariancji równą:

D2(a) = S2(u)(XTX)-1

Na głównej przekątnej znajdują się wariancje parametrów modelu:

D2(ai)

Wtedy błąd szacunku parametru ai jest równy:

D(ai)

Istotność statystyczną parametrów mierzymy za pomocą sprawdzianu:

)( i i

aD at

gdzie „t” ma rozkład Studenta o n-k stopniach swobody.

Z tablic rozkładu t-Studenta znajdujemy wartość krytyczną t dla zadanego poziomu

istotności .

Zwykle jest to =0,05.

Jeżeli zachodzi nierówność:

tt  to oznacza, że zmienna xi (przy której stoi parametr ai) istotnie wpływa na zmienną

objaśnianą (y).

W przeciwnym wypadku zmienna ta jest zbędna i należy ją usunąć z modelu.

Dane

y - cena akcji (zł) x1 - obroty (mln zł) x2 - liczba zatrudnionych (w setkach osób)

y x1 x2 10 0,6 10 9 0,5 8 11 0,9 8 13 1,1 9 12 1,0 8 15 1,2 7 14 0,9 5 16 1,3 4 17 1,5 4

Należy oszacować parametry strukturalne modelu ekonometrycznego:

y = a0 + a1x1 + a2x2 + u Za pomocą metody najmniejszych kwadratów wektor parametrów liczymy jako:

a = (XTX)-1XTY

Można zastosować skrócone obliczenia:

  

  

  

2 2212

21 2 11

21

xxxx xxxx

xxn XX T

oraz:

  

  

  

2

1

xy xy y

yX T

Zatem potrzebne są obliczenia pomocnicze:

y x1 x2 x1 x2 x21 x22 y x1 y x2 y2 10 0,6 10 6,0 0,36 100 6,0 100 100 9 0,5 8 4,0 0,25 64 4,5 72 81 11 0,9 8 7,2 0,81 64 9,9 88 121 13 1,1 9 9,9 1,21 81 14,3 117 169 12 1,0 8 8,0 1,00 64 12,0 96 144 15 1,2 7 8,4 1,44 49 18,0 105 225 14 0,9 5 4,5 0,81 25 12,6 70 196 16 1,3 4 5,2 1,69 16 20,8 64 256 17 1,5 4 6,0 2,25 16 25,5 68 289 117 9,0 63 59,2 9,82 479 123,6 780 1581

Macierze mają postać:

  

  

 

4792,5963 2,5982,99

6399 XX T

  

  

 

780 6,123

117 yX T

Aby odwrócić macierz XTX należy obliczyć wyznacznik, który wynosi 150,48 oraz zastosować metodę Sarriusa. W rezultacie macierz odwrotna ma postać:

    

  

 

 

0490,02272,05706,0 2273,02727,28636,3 5706,08636,39688,7

1XX T

Po dokonaniu obliczeń wektor parametrów "a" ma postać:

    

  

    

  

  

  

 

 

4127,0 1363,6 7525,9

780 6,123

117

0490,02272,05706,0 2273,02727,28636,3 5706,08636,39688,7

1XX T

Model ekonometryczny ma więc postać:

y = 9,752 + 6,136 x1 - 0,431 x2

Następnie przechodzimy do weryfikacji modelu. Liczymy wariancję resztową:

kn XayyyuS

TT

 

)(2

Czyli:

 

39 4127,0

1363,6 7525,9

7806,1231171581

)(2 

  

  

 

uS

5722,0 6

)9247,3214516,7580401,1141(1581)(2 uS

Odchylenie standardowe reszt:

S(u)=0,756

Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów:

D2(a) = S2(u)(XTX)-1

    

  

 

 

0490,02272,05706,0 2273,02727,28636,3 5706,08636,39688,7

5722,02 aD

Pierwiastki elementów na przekątnej to błędy szacunku parametrów ai:

      1675,00490,05722,0

1403,12727,25722,0

1353,29688,75722,0

2

1

0







aD

aD

aD

Istotność statystyczną parametrów mierzymy za pomocą:

)( i i

aD at

czyli:

 

 

  458,2 1675,0

423,0

382,5 1403,1 136,6

568,4 1353,2 752,9

2

1

0

  





at

at

at

Jeżeli zachodzi nierówność:

tt  to oznacza, że zmienna xi (przy której stoi parametr ai) istotnie wpływa na zmienną

objaśnianą (y).

Z tablic rozkładu Studenta dla =0,05 i 9-3=6 stopni swobody

t=2,447 Ponieważ powyższa nierówność zachodzi, to wszystkie parametry modelu są statystycznie istotne. Jakość modelu oceniamy licząc współczynnik zbieżności:

)()( 2

yyyy Xayyy

T

TT

 



Stąd:

0572,0 60 5722,062 

czyli 5,72%. Współczynnik determinacji wynosi:

R2 = 1 - 2

czyli:

R2 = 1 - 0,0572 = 0,9428 czyli 94,28%, co oznacza znakomitą jakość modelu (dopasowanie do danych empirycznych).

Analiza reszt

modelu ekonometrycznego

Poprawnie skonstruowany model ekonometryczny powinien charakteryzować się

pewnymi pożądanymi właściwościami reszt. Należą do nich:

losowość reszt, symetria rozkładu reszt, brak autokorelacji reszt (gdy model jest dynamiczny, tj. uwzględnia zmiany w czasie)

Losowość badamy na przykład za pomocą tzw. testu serii.

Polega on na tym, że wyznaczonym resztom przypisujemy symbol "a", gdy ui>0 oraz "b",

gdy ui<0. Można w nim zaobserwować serie, tj. ciągi symboli "a" i "b". Ich liczbę

określamy jako "k". Następnie z tablic odczytujemy wartość graniczną (krytyczną) "K".

Jeżeli jest spełniony warunek:

k>K

to reszty mają charakter losowy.

Przykład

Dla modelu:

y = 9,752 + 6,136 x1 - 0,431 x2

obliczono reszty:

y y* ui 10 9,33 0,67 9 9,54 -0,54 11 12,0 -1,0 13 12,81 0,19 12 12,61 -0,61 15 14,25 0,75 14 13,23 0,77 16 16,09 -0,09 17 17,32 -0,32

Uzyskujemy ciąg symboli:

abbabaabb

Liczba serii wynosi k=6. Z tablic wartość krytyczną (dla poziomu istotności =0,05)

odczytujemy jako K=2.

Ponieważ k>K, to uznajemy, że reszty mają charakter losowy.

Symetrię reszt

badamy za pomocą testu:

1

1

2 1

  

   

 

n n m

n m

n m

t

gdzie:

m - liczba reszt dodatnich (ui>0),

n - liczba obserwacji

Dla n30 statystka ta ma rozkład Studenta, a gdy n>30 - rozkład normalny.

Z tablic rozkładu Studenta dla =0,05 i n-1 stopni swobody znajdujemy wartość

krytyczną t. Jeżeli spełniona jest nierówność:

t<t

to oznacza symetrię reszt.

Przykład

Dla danych podanych wyżej mamy: n=9, m=4. Wtedy wartość testu wynosi:

316,0

19 9 41

9 4

2 1

9 4

  

   

 t

Odczytana z tablic rozkładu Studenta wartość t = 2,306.

Zatem 0,316 < 2,306, czyli reszty modelu są symetryczne.

Autokorelacja reszt

oznacza liniową zależność pomiędzy resztami modelu odległymi od siebie o "k" okresów.

Dotyczy to modeli dynamicznych.

Jej występowanie oznacza, że:

pominięto w modelu jedną z istotnych zmiennych objaśniających, lub przyjęto niewłaściwą postać modelu.

Liczy się ją jako współczynnik korelacji liniowej Pearsona miedzy resztami. Na

przykład dla k=1 mamy:

  

    







 

t t tttt

t tttt

uuuu

uuuu r

2 11

2

11

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome