Ekstrema funkcji dwóch zmiennych - Notatki - Algebra, Notatki'z Algebra. Opole University
Aleksy
Aleksy22 March 2013

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych - Notatki - Algebra, Notatki'z Algebra. Opole University

PDF (44.2 KB)
4 strony
596Liczba odwiedzin
Opis
Notatki obejmują tematy z zakresu algebry: ekstrema funkcji dwóch zmiennych.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 4
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
4.5. ekstr

4.5. Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Definicja

Otoczeniem punktu P0(x0, y0) na płaszczyźnie (oznaczenie ot.(P0, r) ) nazywamy wnętrze

koła o promieniu r i środku w P0, czyli: ot.(P0, r) = {(x, y) ∈R2 : (x - x0)2 + (y - y0 ) 2 < r2}.

Definicje

Dana jest funkcja z = f(x, y) ciągła w Df oraz, Ŝe pewne otoczenie punktu P0 jest zawarte w

Df, czyli istnieje taki promień r, Ŝe ot.(P0, r) ⊂Df.

a) Punkt P0(x0, y0) nazywamy punktem minimum lokalnego (miejscem minimum lub

krótko punktem minimum) funkcji z = f(x, y), jeśli istnieje takie jego otoczenie, Ŝe dla

kaŜdego punktu P z tego otoczenia zachodzi f(P0) ≤ f(P), czyli f(x0, y0) ≤ f(x, y) dla

dowolnych x, y z tego otoczenia.

b) Punkt P0(x0, y0) nazywamy punktem maksimum lokalnego (miejscem maksimum)

funkcji z = f(x, y), jeśli istnieje takie jego otoczenie, Ŝe dla kaŜdego punktu P z tego otoczenia

zachodzi f(P) ≤ f(P0), czyli f(x, y) ≤ f(x0, y0) dla dowolnych x, y z tego otoczenia (zob.

rysunek).

Uwaga

Podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej nie naleŜy mylić minimum lokalnego z

wartością najmniejszą, a takŜe maksimum lokalnego z wartością największą funkcji w Df.

Twierdzenie

Funkcja f róŜniczkowalna w obszarze D moŜe mieć ekstremum lokalne tylko w takim punkcie

P(x, y) tego obszaru, w którym równocześnie 'xf (x, y) = 0 i ' yf (x, y) = 0.

Algorytm

Funkcje, które wykorzystujemy w praktyce, określone jednym wzorem są ciągłe i mają

(co najmniej) pochodne cząstkowe rzędu drugiego. Wyznaczanie miejsca i wartości

ekstremum lokalnego (minimum lub maksimum) takich funkcji umoŜliwia algorytm:

1. Dana jest funkcja z = f(x, y) ciągła w obszarze Df.

2. Wyznaczamy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego 'xf , ' yf funkcji f.

3. Rozwiązujemy układ równań: 'xf (x, y) =0 i ' yf (x, y) = 0.

a) Jeśli układ jest sprzeczny, to funkcja f nie posiada ekstremów.

b) Gdy układ ma rozwiązania (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), to oznacza, Ŝe Ŝaden

punkt poza nimi nie moŜe być miejscem ekstremum lokalnego, inaczej kaŜdy z

tych punktów moŜe być, ale nie musi być miejscem ekstremum lokalnego funkcji f.

4. Wyznaczamy pochodne cząstkowe rzędu drugiego '2xf , '

xyf , ' yxf ,

' 2y

f funkcji f.

5. Tworzymy wyznacznik W(x, y) = '' ''

2

2

yyx

xyx

ff

ff .

6. Obliczamy wartość wyznacznika W dla kaŜdego punktu:

(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), czyli W(x1, y1), W(x2, y2), …, W(xn, yn).

7. Rozstrzygamy o istnieniu ekstremum lokalnego w kaŜdym z punktów:

(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn).

a) jeŜeli W(x, y) > 0 i '2xf (x, y) < 0, to (x, y) jest miejscem maksimum lokalnego,

b) jeŜeli W(x, y) > 0 i '2xf (x, y) > 0, to (x, y) jest miejscem minimum lokalnego,

c) jeŜeli W(x, y) < 0, to (x, y) nie jest miejscem ekstremum lokalnego,

d) jeŜeli W(x, y) = 0, to do rozstrzygnięcie czy (x, y) jest (nie jest) miejscem

ekstremum lokalnego naleŜy wykorzystać inną teorię.

8. Obliczamy wartość f(x, y) funkcji f w kaŜdym punkcie ekstremum lokalnego.

Przykład

Wyznacz największą wartość iloczynu xyz trzech liczb dodatnich, których suma

x + y+ z = 12.

Rozwiązanie

Przyjmijmy, Ŝe f(x, y) = xyz , gdzie x + y+ z = 12.

Definiujemy funkcję f wzorem f(x, y) = xy(12 – x – y) określoną dla x > 0 i y > 0, przy

czym ma być 12 – x – y > 0 .

Rozwiązanie zadania sprowadza się do wyznaczenia ekstremów lokalnych funkcji f

(miejsc tych ekstremów oraz ich wartości).

Postępujemy zgodnie z opisanym algorytmem:

2. Wyznaczamy pochodne 'xf , ' yf funkcji f.

Mamy 'xf (x, y) = y(12 – 2x – y) ' yf (x, y) = x(12 – x – 2y).

3. Rozwiązujemy układ równań:

y(12 – 2x – y) = 0 i x(12 – x – 2y) = 0.

Otrzymujemy rozwiązania: (0,0) (12, 0), (0,12), (4, 4).

Punkty (0, 0) (12, 0), (0,12) nie naleŜą do dziedziny funkcji f. Jedynym punktem,

w którym funkcja f moŜe mieć ekstremum jest P(4, 4).

4, 5, 6. Wyznaczamy wartość wyznacznika W(x, y) = '' ''

2

2

yyx

xyx

ff

ff w punkcie (4, 4).

Mamy: W(4, 4) = 84

48

−− −−

= 48.

7. Skoro '2xf (4, 4 ) = -8 < 0 oraz W(4, 4) > 0, więc w punkcie P(4, 4) funkcja f ma

maksimum lokalne.

8. Wartość maksimum lokalnego wynosi f(4, 4) = 16(12 – 4 – 4) = 64.

Odpowiedź

Ostatecznie iloczyn liczb xyz jest największy i równy 64, gdy x = y = z = 4.

Zadania

1. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:

a) z = x2 – xy + y2 – 2x + y ; b) z = x3 + y2 – 6xy – 48x.

2. Wyznacz wymiary otwartego pudełka prostopadłościennego o pojemności 64 cm3.

Uzupełnij rozumowanie:

Przyjmujemy, Ŝe wymiary pudełka wynoszą x, y, z.

Objętość V prostopadłościanu wynosi V = …..

Pole S powierzchni otwartego pudełka jest równe S = 2yz + ……

Definiujemy funkcję S = f(x,y) = x

128 + …….

Obliczamy pochodne: 'xS = ………………. '

yS = …………..

"xxS = …………… "

xyS = ………. "

yyS = ……

Rozwiązujemy układ równań: ……………..

Wartości drugich pochodnych w punkcie ……….. wynoszą ……….

Obliczamy wartość wyznacznika: ………………

Interpretujemy otrzymane liczby: ……………

Odpowiedź:

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome