Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego - Notatki - Fizyka, Notatki'z Fizyka. Warsaw University of Technology
alien85
alien8514 March 2013

Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego - Notatki - Fizyka, Notatki'z Fizyka. Warsaw University of Technology

PDF (420.1 KB)
8 strona
746Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z fizyki: indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 8
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Wyk³ad 23

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 23

23. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego

23.1 Indukcyjność

23.1.1 Transformator

Gdy dwie cewki są nawinięte na tym samym rdzeniu (często jedna na drugiej) to prąd zmienny w jednej wywołuje SEM indukcji w drugiej. N1 - liczba zwojów w cewce pierwotnej, N2 - liczba zwojów w cewce wtórnej

t NU B

d d

22 φ

−=

oraz

t NU B

d d

11 φ

−=

Stosunek napięć

1

2

1

2

N N

U U

= (23.1)

Widać, że regulując ilość zwojów w cewkach możemy zamieniać małe napięcia na duże i odwrotnie. Przykład 1 Obliczmy straty mocy w linii przesyłowej o oporze 10 Ω przesyłanej z generatora 10 MW gdy napięcie wynosi 1.5·104 oraz 105 V. P = IU Pstrat = I2 R = (P/U)2 R Pstrat1 = 4.4 MW (44%) Pstrat2 = 0.1 MW (1%)

23.1.2 Indukcyjność własna

Gdy natężenie prądu przepływającego przez cewkę zmienia się to zmienia się też strumień przez każdy zwój tej cewki więc zgodnie z prawem indukcji Faradaya induku- je się SEM. Tę siłę elektromotoryczną nazywamy siłą elektromotoryczną samoindukcji.

t

N d dφε −= (23.2)

Wielkość Nφ jest całkowitym strumieniem zawartym w obwodzie i nosi nazwę strumie- nia skojarzonego. Strumień skojarzony jest proporcjonalny do prądu płynącego przez cewkę. Nφ = LI (23.3)

23-1

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Stała proporcjonalności L = Nφ/I (23.4) nazywana jest indukcyjnością. Zróżniczkowanie(po czasie) równania (23.3) daje

t IL

t N

d d

d d

= φ

Stąd

t IL

d d

−=ε (23.5)

Jednostką L jest henr. 1 H = 1 Vs/A Jako przykład obliczmy indukcyjność cewki o długości l0 i N zwojach. Strumień przez każdy zwój wynosi

φ = BS gdzie B dla cewki wynosi

B = µ0nI = µ0I(N/l0) Zatem

I l NS

0 0µφ =

Indukcyjność L otrzymujemy mnożąc strumień przez N/I

0

2

0 l SNL µ= (23.6)

Zauważmy, że L zależy tylko od geometrii.

23.1.3 Indukcja wzajemna

Omawiając transformator pokazywaliśmy, że dwie cewki mogą oddziaływać na sie- bie. Prąd zmienny w jednej wywoływał SEM w drugiej. Tym razem strumień przecho- dzący przez cewkę 2 jest proporcjonalny do prądu płynącego przez cewkę 1.

N2φ21 = M21I1 Stałą proporcjonalności M21 nazywamy indukcją wzajemną. Różniczkując to równanie otrzymujemy

t IM

t N

d d

d d 1

21 21

2 = φ

Stąd

23-2

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

t IM

d d 1

212 −=ε

Jeżeli zmieniamy prąd I2 to analogicznie

t IM

d d 2

121 −=ε

Można pokazać (ale w skomplikowany sposób), że

M12 = M21 = M Podobnie jak L tak samo M zależy tylko od geometrii układu. 23.2 Obwody RC i RL, stałe czasowe

Zaczniemy teraz zajmować się prądami zmieniającymi się w czasie.

23.2.1 Obwód RC Rozpatrzmy jaki prąd popłynie w obwodzie po zamknięciu wyłącznika do pozy-

cji (a).

ε

R

C

a

b

Korzystamy z prawa Kirchoffa.

C qIR +=ε (23.7)

W równaniu tym są dwie niewiadome I oraz q. Ale możemy skorzystać ze związku I = dq/dt. Otrzymujemy równanie różniczkowe

C qR

t q

+= d dε

Szukamy rozwiązania q(t). Ma ono postać )1( / RCteCq −−= ε (23.8)

23-3

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Możemy sprawdzić czy funkcja ta jest rozwiązaniem równania różniczkowego poprzez jej podstawienie do tego równania. Prąd obliczamy różniczkując dq/dt

RCte Rt

qI / d d −== ε

Rysunki przedstawiają zależność q(t) oraz I(t).

q

t

I ε/R

t

Jeżeli teraz przełączymy wyłącznik do pozycji (b) to będziemy rozładowywać konden- sator. Teraz w obwodzie nie ma ε i prawo Kirchoffa przyjmuje postać

0=+ C qIR czyli 0

d d

=+ C q

t qR

Rozwiązanie ma postać RCteqq /0

−= (23.9) gdzie q0 jest ładunkiem początkowym na kondensatorze. Natężenie prądu przy rozładowaniu wynosi

RCte RC q

t qI /0

d d −−==

W równaniach opisujących ładowanie i rozładowanie kondensatora wielkość RC ma wymiar czasu i jest nazywana stałą czasową obwodu. Opisuje ona fakt, że ładunek na kondensatorze nie osiąga od razu wartości końcowej lecz zbliża się do niej wykładni- czo. Podobnie przy rozładowaniu.

23.2.2 Obwód RL

Analogicznie opóźnienie w narastaniu i zanikaniu prądu pojawia się w obwodzie RL przy włączaniu lub wyłączaniu źródła SEM.

23-4

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

ε

R

L

a

b

Gdyby nie było cewki prąd osiągnąłby natychmiast wartość ε/R. Dzięki cewce w obwo- dzie pojawia się dodatkowo SEM samoindukcji εL, która zgodnie z regułą Lenza prze- ciwdziała wzrostowi prądu (po włączeniu) co oznacza, że jej zwrot jest przeciwny do ε. Z prawa Kirchoffa otrzymujemy

0 d

=−− t

LIRε d I (23.10)

oszukujemy rozwiązania tego równania różniczkowego w postaci I(t). P

Ma ono postać

)1( / LRte R

I −= −ε (23.11)

prawdzamy poprzez podstawienie do równania. Napięcie na oporniku i cewce pokaza-S

ne jest na rysunkach poniżej.

V

t

ε

R

V ε

t

L

arastanie prądu w obwodzie jest opisane stałą czasową τL = L/R. i otrzymamy

N Jeżeli przełącznik ustawimy w pozycji (b) to wyłączmy źródło SEM

0 d

=+ IR t

L d I (23.12)

rozwiązaniem z

LRte

R I /−= ε (23.12)

23-5

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

23.3 Energia, a pole magnetyczne

awa Kirchoffa otrzymaliśmy Pozostańmy przy obwodzie RL. Z pr

td Mnożąc to równanie przez I dostajem

ILIR d+=ε

y

t ILIRI

d d2 +

ępująca:

lewa strona równania przedstawia szybkość (moc = εI tj εdq/dt) z jaką źródło prze-

tycznym.

I

Interpretacja tego równania z punktu widzenia pracy i energii jest nast •

kazuje do obwodu energię εq. • pierwszy wyraz po prawej stronie to szybkość (moc) wydzielania ciepła na oporze

R. • drugi wyraz po prawej stronie to szybkość z jaką energia gromadzi się w polu ma-

gne To ostatnie możemy zapisać jako

t ILI

t WB

d d

d d

=

czyli

ILIdWB d=

Po scałkowaniu otrzymujemy

2

2 1dd LIILIWBB === ∫∫ W (23.13)

ównanie określa całkowitą rzez, którą płynie prąd I.

R w cewce o indukcyjności L energię magnetyczną zawartą p Porównajmy to z energią naładowanego kondensatora

CC 2 qW

21 =

(23.14)

3.4 Gęstość energii a pole magnetyczne Rozpatrzmy solenoid o długości l i powierzchni przekroju S czyli o objętości lS. 2

Tak więc gęstość energii

23-6

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

lS Ww BB =

Ponieważ 21 LIW =

2B

więc LIw

21 =

lS2B

Przypomnijmy, że

l SNL

2

0µ= oraz l NIInB 00 µµ ==

co w połączeniu daje wyrażenie

02 µ

21 BwB = (23.15)

opisujące gęstość energii zawartej w ka punkcie przestrzeni w której jest indukcja agnetyczna B.

żdym

m Przykład 2 Długi koncentryczny kabel składa się z cylindrycznych przewodników o promieniach

my energię zawartą w polu magnetycznym kabla na odcinku o długości l0 a i b. Oblicz oraz jego indukcyjność.

-

+

a

b r

dr

pera dla przestrzeni pomiędzy cylindrami otrzym Stosując prawo Am amy

zyli

IrB 02 µπ =

c

rπ2 Gęstość energii w punktach pomię i

IB µ0=

dzy przewodam

23-7

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

22

2 0 IwB

µ ===

Rozpatrzmy teraz cienką i. Objętość tej warstewki

ynosi:

dla odcinka kabla o długości l0. nergia w tej objętości wynosi więc

2 0

2 11 IB µ  00 8222 rr ππµµ 

(dr) warstewkę pomiędzy cylindram w

dV = 2πrdrl0

E

rr 48π

c) po całej objętości obliczamy całkowitą energię

rlIrlrIVwW B dd2dd 0

2 0

022

2 0

π µ

π µ

===

Sumując (całkują W

ara 44 ππ

y z zależności

blIrlI b d 0 2

00 2

0 µµWW lnd ∫∫ ===

Indukcyjność znajdziem

21 LIU = 2

czyli 2 2 I UL =

a blL ln

2 00

π µ

=

L zależy tylko od czynników geometrycznych.

23-8

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome