Baza, rozwiązanie bazowe - Notatki - Badania operacyjne, Notatki'z Badania operacyjne. University of Szczecin
Osholom
Osholom5 March 2013

Baza, rozwiązanie bazowe - Notatki - Badania operacyjne, Notatki'z Badania operacyjne. University of Szczecin

PDF (287.2 KB)
2 strony
855Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące badań operacyjnych: baza i rozwiązanie bazowe; definicje pojęć.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Baza, rozwiązanie bazowe (cel: zadanie PL a baza)

Bazą zbioru S  Rn jest zbiór liniowo niezależnych wektorów, takich że wszystkie inne wektory należące do S da się przedstawić jako kombinację liniową wektorów bazy.

Dowolny zbiór n liniowo niezależnych wektorów należących do Rn jest bazą w przestrzeni Rn .

Zbiór n wektorów jednostkowych [1,0,...,0],[0,1,...,0],...,[0,0,...,1] jest bazą w Rn. !!!

Dany jest układ równań liniowych Ax=b. Macierz A jest typu m x n i zakładamy że m<=n. Niech AB jest bazą zbioru kolumn macierzy A, xB niech będzie wektorem zmiennych stojących przy kolumnach bazowych (zmienne bazowe), xR wektorem zmiennych stojących przy kolumnach niebazowych (zmienne niebazowe lub wtórne). Układ równań liniowych możemy przedstawić teraz w postaci ABxB+ARxR=b.

Zbiory wypukłe, sympleks

Wypukłą kombinacją punktów U1,U2,...,Uk (Ui R n i=1..k) nazywamy punkt:

U U R i k orazi i i i i

k

i

k

     



    ( 0, i , .. )1 1 11

(2.4)

TWIERDZENIE: Dowolny punkt leżący na odcinku łączącym dwa punkty w Rn może być wyrażony jako kombinacja wypukła tych dwóch punktów.

W interpretacji geometrycznej, zbiór wypukły jest to taki zbiór, który składa się z odcinków łączących każde dwa punkty zbioru.

Punkt U zbioru wypukłego nazywamy wierzchołkiem, jeśli nie może być on wyrażony

jako kombinacja wypukła dwóch różnych punktów należących do tego zbioru. Sympleks jest n-wymiarowym wielościanem wypukłym mającym dokładnie n+1 wierzchołków. Brzeg sympleksu składa się z sympleksów niższych wymiarów zwanych

powierzchniami sympleksu. Ilość takich płaszczyzn o wymiarze „i” wynosi ( )i n   1 1 .

Sympleksem w przestrzeni zerowymiarowej jest punkt, jednowymiarowej - prosta, dwuwymiarowej -trójkąt, trójwymiarowej - czworościan.

Związek między rozwiązaniami optymalnymi a punktami wierzchołkowymi (cel: wierzchołek a baza)

Rozwiązaniem dopuszczalnym zadania programowania liniowego jest wektor x spełniający warunki (W1) i (W2)

Rozwiązaniem bazowym układu równań (W1) nazywamy rozwiązanie układu powstałe z (W1) przez przyrównanie do zera n-m zmiennych przy założeniu, że wyznacznik współczynników tych m zmiennych jest niezerowy. Te m zmiennych nazywamy zmiennymi bazowymi.

Rozwiązaniem bazowym dopuszczalnym nazywamy rozwiązanie bazowe, które spełnia warunek (W2), czyli wszystkie zmienne bazowe są nieujemne.

Niezdegenerowanym rozwiązaniem bazowym dopuszczalnym nazywamy bazowe rozwiązanie dopuszczalne, w którym wszystkie zmienne bazowe są dodatnie (>0).

WŁASNOŚĆ: Zbiór wszystkich rozwiązań dopuszczalnych zadania programowania liniowego jest zbiorem wypukłym (sympleksem).

WŁASNOŚĆ: Funkcja celu zadania programowania liniowego przyjmuje wartość optymalną w punkcie wierzchołkowym zbioru wypukłego X. Jeśli przyjmuje wartość optymalna w więcej niż jednym punkcie wierzchołkowym, to tę samą wartość przyjmuje dla każdej kombinacji wypukłej tych punktów.

docsity.com

Związek między punktami wierzchołkowymi a wektorami liniowo niezależnymi.

Warunek ograniczający (W1) można przedstawić także w następującej postaci:

P1*x1+P2*x2+ ...+Pn*xn=Po (W1’) gdzie P m i=0..n

WŁASNOŚĆ: Jeżeli można znaleźć k<=m wektorów P1,...,Pk liniowo niezależnych takich że:

P1*x1+P2*x2+ ...+Pk*xk=Po oraz wszystkie xj>=0

to punkt o współrzędnych x=[x1,...,xk,0,...,0] T jest punktem wierzchołkowym zbioru X.

WŁASNOŚĆ: Jeśli x=[x1,...,xn] T jest punktem wierzchołkowym zbioru X, to wektory Pj

odpowiadające dodatnim xj są liniowo niezależne.

Z obu własności wynika, że dodatnich xj jest co najwyżej m.

WNIOSEK: Każdemu punktowi wierzchołkowemu zbioru X odpowiada zbiór m wektorów liniowo niezależnych z danego zbioru P1,...,Pn. Tych m wektorów tworzy bazę m-wymiarowej przestrzeni wektorowej, a odpowiadający im punkt wierzchołkowy reprezentuje bazowe rozwiązanie dopuszczalne zadania programowania liniowego.

Uogólnienie dotychczasowych 4 własności:

TWIERDZENIE: Punkt x jest punktem wierzchołkowym zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy w kombinacji liniowej wektorów niezależnych Pj

x P Pj j j

n

 0 1

(2.5)

współczynniki xj są dodatnie.

WNIOSKI:  Każde bazowe rozwiązanie dopuszczalne jest punktem wierzchołkowym zbioru X  Istnieje punkt wierzchołkowy zbioru X, w którym funkcja celu przyjmuje optimum

Trzeba więc badać tylko rozwiązania w punktach wierzchołkowych. Takich punktów

wierzchołkowych jest  mn - tyle ile wektorów liniowo niezależnych z danego zbioru n wektorów. Idea rozwiązania może polegać więc na wygenerowaniu wszystkich kombinacji i porównaniu funkcji celu. Dla dużych m i n byłoby niemożliwe obliczenie wszystkich rozwiązań. Potrzebna jest metoda, pozwalająca utworzyć ciąg rozwiązań dopuszczalnych, zbieżny do rozwiązania optymalnego. Taką metodą jest metoda sympleks (sympleksów)

podana przez G.B.Dantziga. Dla znalezienie minimalnego rozwiązania wystarczy zwykle m do 2m kroków (skończona i ograniczona liczba kroków).

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome