Statyka - Notatki - Mechanika - Część 1, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
dlugie_nogi
dlugie_nogi15 March 2013

Statyka - Notatki - Mechanika - Część 1, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (769.9 KB)
20 strona
495Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z mechaniki: statyka; własności sił działających na ciało sztywne, warunek konieczny równowagi dowolnego układu materialnego.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 20
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Statyka cz1.pdf

3.1.1. W asno!ci si dzia aj"cych na cia o sztywne Statyka zajmuje si badaniem si! dzia!aj"cych na cia!a znajduj"ce si w

spoczynku. Wtedy si!y dzia!aj"ce na cia!o, które pozostaje w spoczynku, musz" si

równowa#y$, czyli by$ w równowadze. I w!a%nie ustalanie warunków równowagi

b dzie g!ównym zadaniem statyki.

Skutek mechaniczny wywo!any przez dzia!anie si!y na cia!o b dzie w ogólnym

przypadku zale#a! od punktu przy!o#enia si!y. Skutek wywo!any przez si! b dzie

polega! na zmianie ruchu cia!a b"d& jego odkszta!ceniu. W przypadku cia!a

sztywnego skutkiem dzia!ania si!y na takie cia!o mo#e by$ jedynie zmiana jego

ruchu.

Ni#ej podamy najwa#niejsze w!asno%ci si!, na których opiera si statyka.

W!asno%ci te nazywamy cz sto aksjomatami lub zasadami statyki.

a) Przy o!enie dwóch si P i P do cia a sztywnego, równych co do modu u, dzia aj"cych wzd u! jednej prostej i o przeciwnych zwrotach (rys. 3.1), nie zmienia

stanu ruchu cia a (cia!o w spoczynku pozostaje w spoczynku).

PPA A

Rys. 3.1. Uk!ad równowa#"cych si si!

W wyniku przy!o#enia takich dwóch si! cia!o sztywne zachowuje si tak, jak

gdyby nie dzia!a!y na nie #adne si!y. Taki uk!ad si! przy!o#ony do cia!a sztywnego

nazywamy równowa!nym zeru.

b) Ka!d" si # zewn#trzn" przy o!on" do cia a sztywnego mo!na przesun"$ wzd u! jej linii dzia ania, nie zmieniaj"c przy tym stanu ruchu cia a.

P P B AP

a) b)

A P

Rys. 3.2. Przesuni cie si!y dzia!aj"cej na cia!o sztywne wzd!u# linii jej dzia!ania

docsity.com

Za!ó#my, ze si!a P jest przy!o#ona do cia!a sztywnego w punkcie A, jak na

rys. 3.2a. Do dowolnego punktu B le#"cego na linii dzia!ania tej si!y przy!ó#my

dwie równowa#"ce si si!y P i P = –P, czyli uk!ad zerowy (rys. 3.2b). Widzimy,

#e si!y P i P przy!o#one odpowiednio w punktach A i B tworz" uk!ad zerowy,

zatem mo#na je pomin"$. W efekcie zostaje nam jedynie si!a P przy!o#ona w

punkcie B.

Z przeprowadzonego wywodu wynika, #e si!a zewn trzna dzia!aj"ca na cia!o

sztywne jest wektorem przesuwnym.

c) Do ka!dego uk adu si dzia aj"cych na cia o sztywne mo!na doda$ bez

zmiany stanu jego ruchu kilka si o wspólnym punkcie przy o!enia, których suma wektorowa (geometryczna) jest równa zeru.

d) Stan ruchu cia a nie ulegnie zmianie, je!eli kilka si zaczepionych w jednym

punkcie zast"pimy ich sum" geometryczn", i odwrotnie, gdy jedn" si # zast"pimy

przez kilka si , których suma geometryczna jest równa tej sile.

Ka#dy uk!ad si! zewn trznych dzia!aj"cych na cia!o sztywne mo#na zast"pi$

uk adem równowa!nym, czyli powoduj"cym ten sam skutek mechaniczny.

Poszukiwanie uk!adów równowa#nych danemu uk!adowi si! b dzie wa#nym

zadaniem statyki. Stosowanie wymienionych w punktach a, b, c i d w!asno%ci si!

dzia!aj"cych na cia!o sztywne do przekszta!ce' dowolnego uk!adu si!

zewn trznych nazywamy przekszta ceniami elementarnymi. Celem przekszta!ce'

elementarnych b dzie poszukiwanie prostszych uk!adów si! równowa#nych

danemu uk!adowi. W szczególnym przypadku uk!ad si! mo#na sprowadzi$ do

jednej si!y, któr" b dziemy nazywa$ wypadkow".

Je!eli za pomoc" przekszta ce% elementarnych mo!na dany uk ad si sprowadzi$

(zredukowa$) do uk adu równowa!nego sk adaj"cego si# tylko z jednej si y, to si #

t# nazywamy wypadkow rozwa!anego uk adu si .

Przekonamy si , #e nie ka#dy uk!ad si! mo#na zredukowa$ do uk!adu

równowa#nego sk!adaj"cego si tylko z jednej si!y, czyli nie ka#dy uk!ad si! b dzie

mia! wypadkow".

docsity.com

3.1.2. Warunek konieczny równowagi dowolnego uk adu materialnego

Rozwa my uk!ad sk!adaj"cy si# z dowolnej liczby punktów materialnych.

W szczególnym przypadku mo e to by$ cia!o sztywne (bry!a sztywna), albowiem

ka de cia!o materialne mo emy my%lowo podzieli$ na elementy, z których ka dy

mo na traktowa$ w przybli eniu jako punkt materialny. Je eli liczb# elementów

b#dziemy zwi#ksza$ nieograniczenie, a wymiary elementów b#d" d" y$ do zera, to

cia!o materialne mo emy rozpatrywa$ jako graniczny przypadek uk!adu punktów

materialnych.

Na poszczególne punkty rozpatrywanego uk!adu materialnego mog" dzia!a$

si!y, które dzieli si# na dwie zasadnicze grupy: si y zewn!trzne i si y wewn!trzne.

Si!ami zewn#trznymi b#dziemy nazywa$ si!y, z jakimi na punkty rozwa anego

uk!adu dzia!aj" inne punkty i cia!a materialne nie nale "ce do naszego uk!adu. Z

kolei do si! wewn#trznych b#dziemy zalicza$ si!y wzajemnego oddzia!ywania

punktów materialnych nale "cych do rozpatrywanego uk!adu.

Z powy szego podzia!u wynika, e jest on wzgl#dny i zale y od tego, jaki uk!ad

si! rozpatrujemy. Na rysunku 3.3 przedstawiono uk!ad n punktów materialnych Ak

(k = 1, 2, . . . , n) i zaznaczono dzia!aj"ce na poszczególne punkty si!y zewn#trzne

Pk, które mog" by$ wypadkowymi wszystkich si! zewn#trznych dzia!aj"cych na

dany punkt, oraz si!y wewn#trzne wzajemnego oddzia!ywania mi#dzy punktami.

Gdy si!#, z jak" punkt Al dzia!a na punkt Ak oznaczymy przez Fkl, a si!#, z jak"

punkt Ak oddzia!uje na punkt Al przez Flk, to zgodnie z trzecim prawem Newtona

.lkkl FF ! (3.1)

F2l

F21

F12

F1k

F1l

Fl1

Fl2

F2k

Fk2

Fkl

Flk

Pl

Pk

P2

P1

Ak

A2

A1

Al

Fk1

Rys. 3.3. Si!y dzia!aj"ce na punkty uk!adu materialnego (Pk – si!y zewn#trzne,

Fkl – si!y wewn#trzne)

docsity.com

Przechodz"c do wyprowadzenia ogólnego warunku równowagi rozpatrywanego

uk!adu materialnego, mo emy powiedzie$, e uk!ad ten b#dzie w równowadze

wtedy, gdy ka dy z jego punktów b#dzie w równowadze. Aby poszczególne

punkty naszego uk!adu by!y w równowadze, musz" si# one porusza$ w inercjalnym

uk!adzie wspó!rz#dnych ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostawa$ w

spoczynku. W statyce interesuje nas oczywi%cie stan spoczynku.

Aby punkt by! w równowadze zgodnie z pierwszym prawem Newtona, suma

wszystkich si! dzia!aj"cych na ten punkt musi by$ równa zeru. Warunek taki musi

by$ spe!niony dla ka dego punktu k = 1, 2, 3, . . . , n.

0,... kn3k2k1kk !""""" FFFFP

lub w skrócie

.n321k0

n

kl 1l

klk # $ !

!!" ),...,,,(FP (3.2)

Po dodaniu stronami wszystkich n równa& otrzymamy:

.0

n

1k

n

kl 1l

kl

n

1k

k !"### !

$ !!

FP (a)

Podwójna suma wyst#puj"ca w tym równaniu jest sum" wszystkich si!

wewn#trznych wyst#puj"cych w naszym uk!adzie. Poniewa zgodnie ze wzorem

(3.1) si!y te wyst#puj" parami wzd!u jednej prostej, ich suma musi by$ równa

zeru.

.0

n

1k

n

kl 1l

kl !## !

$ !

F (3.3)

Zatem równanie (a) upraszcza si# do postaci:

.0

n

1k

k !# !

P (3.4)

Powy sze równanie jest koniecznym, ale nie dostatecznym, warunkiem

równowagi dowolnego uk!adu materialnego, które mo na wypowiedzie$ w formie

poni szego twierdzenia.

Aby dowolny uk ad materialny móg by" w równowadze, suma wszystkich si

zewn!trznych dzia aj#cych na niego musi by" równa zeru.

Nale y pami#ta$, e twierdzenie odwrotne nie musi by$ prawdziwe.

docsity.com

3.2.1. Okre lenie i podzia! wi"zów Cia em swobodnym nazywamy cia o, które ma nieograniczon! swobod" ruchu.

Jednak zwykle cia o materialne nie mo#e zajmowa$ dowolnego miejsca w

przestrzeni lub porusza$ si" dowolnie ze wzgl"du na obecno%$ innych cia . Mamy

wtedy do czynienia z cia em nieswobodnym, a ograniczenie jego swobody

nazywamy wi"zami. Innymi s owy, wi zami nazywamy warunki, które nak adaj!

ograniczenia na ruch cia a lub jego po o"enie w przestrzeni. Je"eli ograniczenia te

dotycz! ruchu cia a (pr#dko$ci, przy$pieszenia), to mamy do czynienia z wi zami

kinematycznymi; natomiast gdy ograniczenia dotycz! po o"enia cia a w przestrzeni,

to takie wi#zy nazywamy wi zami geometrycznymi. W statyce b#dziemy mieli do

czynienia z wi#zami geometrycznymi.

Je"eli przyk adowo punkt materialny mo"e si# porusza% dowolnie po pewnej

p aszczy&nie, to p aszczyzna ta stanowi wi#zy geometryczne dla tego punktu.

Ze wzgl#du na ograniczenie swobody cia a materialnego (punktu, bry y)

dzia anie wi#zów mo"e by% dwojakiego rodzaju. Gdy punkt materialny musi stale

pozostawa% na wspomnianej wy"ej p aszczy&nie, to wi#zy na o"one na ten punkt

nazywamy wi zami obustronnymi. Je"eli ten sam punkt b#dzie móg znajdowa% si#

na p aszczy&nie lub nad ni!, to p aszczyzna ta b#dzie stanowi a dla tego punktu

wi zy jednostronne. Gdy punkt b#dzie si# znajdowa na p aszczy&nie, to mówimy,

"e wi#zy s! czynne (wi#zy dzia aj!), a gdy nad p aszczyzn!, to wi#zy s! nieczynne

(nie dzia aj!).

Wi#zy, które wynikaj! z bezpo$redniego kontaktu rozpatrywanego cia a z

powierzchniami innych cia , nazywamy potocznie podporami. Si y, z którymi

wi#zy (podpory) oddzia uj! na dane cia o w miejscu styku, nazywamy reakcjami

wi#zów (podpór).

Reakcje wi#zów b#dziemy nazywa% si!ami biernymi, a si y obci!"aj!ce cia o

si!ami czynnymi.

W statyce b#dziemy si# zajmowa% g ównie cia ami ca kowicie

unieruchomionymi za pomoc! podpór. Ka"da z podpór mo"e tylko cz#$ciowo

ogranicza% swobod# ruchu cia a i dlatego do jego ca kowitego unieruchomienia

nale"y zastosowa% kilka podpór. Wtedy niezale"nie od tego, jakie si y przy o"ymy,

w podporach powstan! takie reakcje, które utrzymaj! cia o w równowadze.

Zast#powanie dzia ania wi#zów na rozpatrywane cia o odpowiednimi si ami

reakcji nazywamy uwalnianiem od wi#zów. Stosujemy tutaj przytoczon! ni"ej

zasad uwalniania od wi zów:

Ka"de cia!o sztywne mo"na my#lowo uwolni$ od wi zów, je"eli zast%pi si

dzia!anie wi zów odpowiednimi reakcjami, a nast pnie rozpatrywa$ je jako cia!o

swobodne znajduj%ce si pod dzia!aniem si! czynnych i reakcji wi zów (si!

biernych).

docsity.com

Zgodnie z trzecim prawem Newtona (prawem akcji i reakcji) si a, z jak!

podpora dzia a na cia o, jest równa co do modu u i kierunku sile, z jak! cia o dzia a

na podpor#, ale ma przeciwny zwrot.

Za ó"my, "e cia o A opiera si# o powierzchni# innego cia a B, jak na rys. 3.4.

W punkcie styku cia a A z powierzchni! cia a B dzia a reakcja R, której kierunek

jest nieznany i na ogó niemo"liwy do przewidzenia z góry. Reakcj# R rozk adamy

zwykle na dwie sk adowe sk adow! normaln! N do powierzchni stycznej

w miejscu styku i sk adow! styczn! T. Pierwsz! z nich b#dziemy nazywa% reakcj%

normaln%, a drug! si!% tarcia. Reakcja normalna N przedstawia nacisk wywierany

przez jedno ze stykaj!cych si# cia na drugie, a sk adowa styczna T wynika z

oddzia ywania stycznego stykaj!cych si# cia spowodowanego tarciem.

Na rysunku 3.4 si y R!, N! i T! oznaczaj!

oddzia ywanie cia a A na cia o B. W stosunku do

reakcji R, N i T s! one odpowiednio zgodne z

prawem akcji i reakcji.

Je"eli stykaj!ce si# powierzchnie s! idealnie

g adkie, to si a tarcia T jest równa zeru i wtedy

dzia anie wi#zów sprowadza si# tylko do reakcji

normalnej N. Takie wi#zy nazywamy wi zami

bez tarcia lub wi zami idealnymi. W

rzeczywisto$ci nie ma powierzchni idealnie

g adkich, jednak gdy powierzchnie stykaj!cych

si# cia s! dostatecznie g adkie, to si y tarcia

mo"na pomin!% jako ma e w stosunku do innych

si . To cz#sto pozwala na ustalenie kierunku

reakcji podpór bez znajomo$ci si czynnych.

T!

N

T

R

N!

A

B R!

Rys. 3.4. Ilustracja prawa akcji

i reakcji

docsity.com

3.2.2. Rodzaje wi zów (podpór) idealnych i ich reakcje

Obecnie omówimy cz sto spotykane podpory cia! sztywnych stosowane w

zagadnieniach technicznych. B d" to: przegub kulisty, przegub walcowy, podpora

przegubowa sta a, podpora przegubowa przesuwna, utwierdzenie, zawieszenie na

wiotkich ci!gnach, podparcie na pr!tach przegubowych, oparcie o g adk"

powierzchni!.

Rz

Ry

z

y

x

Rx O

a)

R

Rx

Ry

y

x

R

O

b)

Rys. 3.5. Przeguby: a) kulisty, b) walcowy

Przegub kulisty sk!ada si z pr ta o zako#czeniu w kszta!cie kuli, która jest

osadzona w kulistym !o$ysku (rys. 3.5a). Podpora taka unieruchamia koniec pr ta,

ale umo$liwia jego obrót wokó! dowolnej osi. Kierunek reakcji R powstaj"cej w

przegubie kulistym jest nieznany, jednak przy braku tarcia b dzie ona przechodzi%

przez &rodek kuli. Zatem do jej okre&lenia w przestrzeni nale$y zna% trzy

wspó!rz dne: Rx, Ry i Rz. Widzimy, $e podpora w postaci przegubu kulistego wnosi

do zagadnienia trzy niewiadome.

Przegub walcowy jest wykonany w postaci po!"czenia sworzniowego. Koniec

pr ta jest osadzony na walcowym sworzniu przechodz"cym przez ko!owy otwór

wykonany w tym pr cie (rys. 3.5b). W przypadku braku tarcia reakcja sworznia R

na pr t b dzie mia!a kierunek prostopad!y do powierzchni styku, czyli jej kierunek

przejdzie przez o& sworznia. Reakcja ta b dzie le$e% w p!aszczy'nie prostopad!ej

do osi sworznia. Do jej wyznaczenia s" potrzebne dwie niewiadome: Rx i Ry.

Podpora przegubowa sta a i przesuwna. Du$e znaczenie praktyczne maj"

podpory pokazane na rys. 3.6. Belka AB jest podparta na ko#cu A za pomoc"

przegubu walcowego, który umo$liwia obrót wokó! osi przegubu, ale

zamocowanie przegubu do pod!o$a uniemo$liwia przemieszczanie si ko#ca A

belki w dwóch kierunkach. Tak" podpor nazywamy podpor" przegubow" sta "

(nieprzesuwn"). Gdy w przegubie nie ma tarcia, to linia dzia!ania reakcji RA

przechodzi przez punkt A i do jej wyznaczenia nale$y zna% wspó!rz dne RAx i RAy

docsity.com

lub warto&% reakcji i k"t na chylenia.

xRAx

R

A

RB RAy

P

y

B

Rys. 3.6. Podpory przegubowe: A – sta!a,

B – przesuwna

MA

P

R

A

RAy

RAx

y

x

Rys. 3.7. Utwierdzenie

Koniec B belki jest podparty za pomoc" przegubu walcowego

zaopatrzonego w rolki, które mog" si toczy% po poziomej p!aszczy'nie.

Tak" podpor nazywamy przegubow" przesuwn". Gdy przyjmiemy, $e opór

przy przesuwaniu takiej podpory jest bardzo ma!y, to linia dzia!ania reakcji

RB b dzie prostopad!a do p!aszczyzny przesuwu. Podpora taka wnosi do

analizy si! jedn" niewiadom" warto&% reakcji RB.

Utwierdzenie polega na ca!kowitym unieruchomieniu np. belki przez

wmurowanie jej ko#ca w &cian , przyspawanie lub przykr cenie do &ciany.

Podpora taka uniemo$liwia przemieszczanie si utwierdzonego ko#ca w dwóch

kierunkach i obrót wokó! tego ko#ca. W miejscu utwierdzenia A wyst"pi reakcja

utwierdzenia RA i moment utwierdzenia MA (rys. 3.7).

Taka podpora wprowadza do zadania trzy niewiadome: Rax, Ray i MA.

Zawieszenie na wiotkich ci!gnach. Je$eli cia!o materialne jest zawieszone

na niewa$kich, idealnie wiotkich ci gnach, czyli takich, które nie mog" przenosi%

$adnych si! poprzecznych, to reakcje S1, S2 ci gien na cia!o s" skierowane wzd!u$

tych ci gien, zgodnie z rys. 3.8a.

docsity.com

G

C

B

S2S1

a) b)

G

A

RA RC

RB

Rys. 3.8. Cia!o: a) zawieszone na wiotkich ci gnach, b) podparte na niewa$kich pr tach

przegubowych

Podparcie na pr!tach przegubowych polega na unieruchomieniu cia!a

materialnego za pomoc" pr tów maj"cych na obu ko#cach przeguby. Je$eli

przyjmiemy, $e ci $ary pr tów s" pomijalnie ma!e i na pr ty nie dzia!aj", poza

reakcjami w przegubach, $adne inne si!y, to reakcje RA, RB, RC b d" dzia!a%

wzd!u$ osi pr tów, jak na rys. 3.8b. Wynika to z tego, $e ka$dy z pr tów jest w

równowadze pod dzia!aniem dwóch si!, a dwie si!y b d" si równowa$y% tylko

wtedy, gdy b d" dzia!a% wzd!u$ jednej prostej, mie% równe modu!y i przeciwne

zwroty. Poniewa$ znamy kierunki reakcji pr tów, ka$dy pr t jest równowa$ny jednej niewiadomej, któr" jest warto&%

jego reakcji. W odró$nieniu od ci gna

pr t przegubowy mo$e by% zarówno

rozci"gany, jak i &ciskany.

D

C

G

RA

RD

A

B

Rys. 3.9. Oparcie pr ta o g!adk"

powierzchni i g!adk" kraw d'

Oparcie o g adk" powierzchni!. Na

rysunku 3.9 przedstawiono belk AB

opart" ko#cem A o pionow" g!adk"

&cian , a w punkcie D o kraw d'.

Poniewa$ z za!o$enia mi dzy belk" a

podporami nie ma tarcia, reakcje w

punktach A i D b d" prostopad!e do

odpowiednich powierzchni styku.

W punkcie A reakcja RA b dzie prostopad!a do &ciany, a reakcja RD prostopad!a do

belki.

docsity.com

3.3.1. Tarcie po lizgowe

Przy omawianiu wi zów w p. 3.2.1 reakcj wynikaj!c! z oddzia"ywania cia"a A

na cia"o B (rys. 3.4) roz"o#yli$my na sk"adow! normaln! N i sk"adow! styczn! T,

któr! nazwali$my si"! tarcia. Nast pnie powiedzieli$my, #e je#eli stykaj!ce si

powierzchnie s! idealnie g"adkie, si"a tarcia jest równa zeru. Obecnie za"o#ymy, #e

stykaj!ce si powierzchnie cia" s! chropowate i zajmiemy si omówieniem reakcji

stycznej, czyli si y tarcia po!lizgowego.

W tym celu rozpatrzymy cia"o A spoczywaj!ce na poziomej p"aszczy%nie B, jak

na rys. 3.10a. Si"y czynne dzia"aj!ce na cia"o A zast!pimy si"! Q dzia"aj!c! w

kierunku normalnej i si"! P dzia"aj!c! w p"aszczy%nie stycznej. Reakcj R

p"aszczyzny B na cia"o A równie# roz"o#ymy na sk"adow! normaln! N i sk"adow!

styczn! T, czyli si" tarcia po$lizgowego. Je#eli cia"o A znajduje si w spoczynku

(w równowadze), si"y Q i N oraz P i T musz! si równowa#y&:

T P N Q i . (a)

Gdy si ! P b!dziemy zwi!ksza", to si a T b!dzie si! zwi!ksza" do pewnej

maksymalnej warto#ci. Po przekroczeniu przez si ! P tej granicznej warto#ci si y

tarcia cia o A zacznie si! #lizga" po p aszczy$nie B i równowaga nie b!dzie ju%

mo%liwa. Maksymaln& warto#" si y tarcia, przy której równowaga jest jeszcze

mo%liwa, nazywamy graniczn si! tarciaTg lub rozwini"t si! tarcia.

A T

RN

PA

B

Q

R N

B

a) b)

Rys. 3.10. Reakcje z uwzgl!dnieniem tarcia (a) oraz ilustracja sto%ka tarcia (b)

Graniczna warto#" si y tarcia zale%y od wielu czynników, nie wszystkie z nich

s& rozpoznane w zadowalaj&cym stopniu. Do celów praktycznych wykorzystujemy,

sformu owane przez Coulomba na podstawie do#wiadcze', prawa tarcia.

docsity.com

S& one nast!puj&ce:

1. Si!a tarcia jest niezale#na od wielko$ci stykaj cych si" ze sob powierzchni

i zale#y od ich rodzaju.

2. Warto$% si!y tarcia cia!a znajduj cego si" w spoczynku mo#e si" zmienia% od

zera do warto$ci granicznej, wprost proporcjonalnej do nacisku normalnego.

3. Gdy cia!o $lizga si" po pewnej powierzchni, si!a tarcia jest skierowana

przeciwnie do kierunku ruchu i jest mniejsza od warto$ci granicznej.

Z drugiego prawa wynika, %e si a tarcia cia a pozostaj&cego w spoczynku,

w zale%no#ci od uk adu si dzia aj&cych na cia o, mo%e przyjmowa" dowoln&

warto#" w zakresie mi!dzy zerem a warto#ci& graniczn&. Zatem si a tarcia spe nia

nierówno#":

,0 gTT !! (b)

gdzie Tg jest graniczn& si & tarcia, tak& %e

.NTg "# (3.5)

Wyst!puj&cy w tym wzorze wspó czynnik proporcjonalno#ci jest

wspó!czynnikiem tarcia statycznego.

"

Si a tarcia cia a poruszaj&cego si! po chropowatej powierzchni jest skierowana

przeciwnie do kierunku ruchu, a jej warto#" okre#la wzór:

,NT "$# (3.6)

gdzie jest wspó!czynnikiem tarcia kinetycznego. $"

Z rysunku 3.10a wynika, %e ca kowita reakcja R tworzy z kierunkiem normalnej

do powierzchni styku pewien k&t. K&t ten wraz ze wzrostem si y tarcia b!dzie si!

zwi!ksza i osi&gnie maksymaln& warto#" przy granicznej warto#ci si y tarcia Tg

okre#lonej wzorem (3.5). Ten maksymalny k&t, o jaki mo%e si! odchyli" reakcja

ca kowita R od normalnej N, nazywamy k tem tarcia. Z rysunku wynika, %e

.NTg # tg (3.7)

Je%eli przedstawiona na rys. 3.10a si a styczna P b!dzie przyjmowa" wszystkie

mo%liwe kierunki, to reakcja R zakre#li sto%ek, którego osi& jest prosta

pokrywaj&ca si! z reakcj& normaln& N.

Sto%ek ten nazywamy sto#kiem tarcia (rys. 3.10b). Dla cia , dla których

wspó czynnik tarcia ma jednakow& warto#" we wszystkich kierunkach (cia a

izotropowe), sto%ek tarcia b!dzie sto%kiem ko owym.

docsity.com

Aby cia o znajdowa o si! w spoczynku, reakcja ca kowita R musi le%e"

wewn&trz sto%ka tarcia, a w przypadku tarcia ca kowicie rozwini!tego na

powierzchni tego sto%ka.

docsity.com

3.3.2. Opór toczenia

Z do wiadczenia wiemy, !e podczas przetaczania ci"!kiego walca po poziomej

p#aszczy$nie wyst"puje opór, który nazywamy oporem toczenia lub przez analogi"

do tarcia po lizgowego tarciem tocznym. Ni!ej zajmiemy si" wyja nieniem

przyczyny powstawania oporu toczenia jednego cia#a po drugim.

T

N

P

A

a) b)

O

G

N

O

G

A

T

h h

f

Rys. 3.11. Ilustracja tarcia toczenia

Za#ó!my, !e sztywny walec o ci"!arze G spoczywa na sztywnej poziomej

p#aszczy$nie. Do walca przy#o!ymy poziom% si#" P odleg#% od p#aszczyzny o h

(rys. 3.11a). Przy za#o!eniu sztywno ci walca i p#aszczyzny b"dzie si" on styka#

wzd#u! tworz%cej przechodz%cej przez punkt A. W tym punkcie wyst%pi reakcja

pod#o!a, któr% roz#o!ono na normaln% N i styczn% T, czyli si#" tarcia. Je!eli walec

znajduje si" w spoczynku, to si#y dzia#aj%ce na niego, zgodnie z warunkiem (3.4),

musz% by& w równowadze, tzn. ich suma geometryczna musi by& równa zeru.

Prowadzi to do równo ci skalarnych:

T P i G N . (a)

Za#o!ymy ponadto, !e si#a P jest mniejsza od granicznej warto ci si#y tarcia (3.5):

.NP !" (b)

Oznacza to, !e walec nie mo!e si" lizga& po p#aszczy$nie. Jednak z analizy uk#adu

si# przedstawionych na tym rysunku wynika, !e nie mo!e on by& w równowadze.

docsity.com

'atwo zauwa!y&, !e dla ka!dej warto ci si#y P i h# #0 0 si#a ta, zgodnie ze

wzorem (2.36), daje moment wzgl"dem punktu A, którego warto & jest ró!na od

zera:

$ % .0hPMA # P (c)

W tej sytuacji najmniejsza si#a P spowodowa#aby obrót walca (toczenie), co jest

sprzeczne z zachowaniem si" cia# rzeczywistych w podobnej sytuacji.

Z przedstawionych rozwa!a( wynika, !e oporu toczenia nie mo!na wyja ni& na

gruncie wyidealizowanego modelu cia#a doskonale sztywnego. W rzeczywisto ci

je!eli walec i pod#o!e s% wykonane z rzeczywistych materia#ów, to przy ma#ej

warto ci si#y P toczenie walca nie wyst%pi. Zacznie si" on toczy& dopiero po

przekroczeniu przez moment si#y P wzgl"dem punktu A pewnej warto ci

charakterystycznej dla materia#ów walca i pod#o!a. Graniczn% warto & momentu

Ph, przy której walec jest jeszcze w równowadze, nazywamy momentem oporu

toczenia. Jest on miar% tarcia tocznego.

Zjawisko oporu toczenia jest spowodowane odkszta#caniem si" zarówno walca,

jak i p#aszczyzny, na której on spoczywa. Wtedy styk walca i p#aszczyzny nie

odbywa si" wzd#u! tworz%cej przechodz%cej przez punkt A, lecz na ograniczonej

powierzchni wynikaj%cej ze wzajemnych odkszta#ce( w miejscu styku walca i

powierzchni. Reakcja normalna N jest wtedy wypadkow% nacisków normalnych

wyst"puj%cych na p#aszczy$nie styku i dzia#aj%cych na walec i jest przesuni"ta o

pewn% odleg#o & w stosunku do punktu A w kierunku mo!liwego toczenia si" (rys.

3.11b).

Aby równowaga walca by#a zachowana, moment si#y P wzgl"dem punktu A

musi by& zrównowa!ony momentem reakcji N wzgl"dem tego punktu:

$ %.MhP A N (d)

Moment $ %M A N nie mo!e wzrasta& nieograniczenie, lecz tylko do pewnej maksymalnej warto ci. W przypadku granicznym jest on proporcjonalny do reakcji

normalnej:

$ % .NfMM maxAA N (3.8)

Wyst"puj%cy w tym wzorze wspó#czynnik proporcjonalno ci f nazywamy

wspó czynnikiem tarcia tocznego albo ramieniem tarcia tocznego. Wspó#czynnik

ten ma wymiar d#ugo ci i jest podawany w centymetrach.

docsity.com

Aby walec nie zacz%# si" toczy&, musi by& spe#niony warunek:

.N h

f PlubNfMhP maxA " " (3.9)

Walec b"dzie w spoczynku, gdy warto & poziomej si#y P nie przekroczy

najmniejszej z warto ci okre lonej warunkami (b) i (3.9). Gdy f/h < , walec

zacznie si" toczy&, zanim nast%pi po lizg. Zwykle f/h jest znacznie mniejsze od

wspó#czynnika tarcia ! .

!

docsity.com

3.4.1. Wypadkowa zbie nego uk!adu si!

Przestrzenny uk!ad si!

Si ami zbie!nymi nazywamy si y, których linie dzia ania przecinaj" si#

w jednym punkcie, nazywanym punktem zbie!no$ci (rys. 3.12a). Poniewa! si y

dzia aj"ce na cia o sztywne mo!na przesuwa% wzd u! linii ich dzia ania, mo!na je

uwa!a% za si y przy o!one do jednego punktu (rys. 3.12b). W konsekwencji

otrzymali$my uk ad si Pk (k = 1, 2, 3, . . . , n) przy o!onych w jednym punkcie.

z

y

P1

P2

Pn

O O

P1

P2

Pn

W

x

a) b)

Rys. 3.12. Przestrzenny zbie!ny uk ad si

W punkcie 3.1.1 powiedzieli$my, !e si y przy o!one w jednym punkcie mo!na

zast"pi% jedn" si " równowa!n", czyli wypadkow". Zatem wypadkowa zbie!nego

uk adu si jest równa sumie geometrycznej wszystkich si , a linia jej dzia ania

przechodzi przez punkt zbie!no$ci:

.

n

1k

k !

! PW (3.10)

W celu obliczenia wspó rz#dnych wypadkowej w punkcie zbie!no$ci O

(rys. 3.12b) wprowadzimy prostok"tny uk ad wspó rz#dnych x, y, z i wyrazimy

wszystkie si y Pk oraz wypadkow" W za pomoc" wspó rz#dnych w tym uk adzie:

" # $

%%!

%%!

.WWW

,PPP

zyx

kzkykxk

kjiW

kjiP (a)

Po podstawieniu tych wzorów do zale!no$ci (3.10) otrzymamy:

.PPPWWW

n

1k

kz

n

1

ky

n

1

kxzyx !!!

%%!%% kjikji kk

Z obustronnego porównania wyrazów przy tych samych wersorach otrzymujemy

wzory na wspó rz#dne wypadkowej:

.PW,PW,PW

n

1k

kzz

n

1k

kyy

n

1

kxx !!!

!!! k

(3.11)

docsity.com

Powy!sze wzory mo!na by o napisa% bezpo$rednio na podstawie twierdzenia, !e

rzut sumy wektorów na dowoln" o$ jest równy sumie rzutów wszystkich wektorów

na t# o$ (twierdzenie Charles’a).

Po wyznaczeniu wspó rz#dnych wypadkowej mo!na wyznaczy% jej warto$%

liczbow" (modu ) oraz kosinusy kierunkowe ze wzorów:

& "

& #

$

'()

%%!

, W

W =cos,

W

W =cos,

W

W =cos

,WWWW

zyx

2 z

2 y

2 x

(3.12)

gdzie , ! i " s k tami, które wypadkowa W tworzy odpowiednio z osiami x, y i z.

P aski uk ad si

P!askim uk!adem si! zbie"nych b#dziemy nazywa$ uk!ad si! Pk (k = 1, 2, . . . ,

n), których linie dzia!ania le" w jednej p!aszczy%nie i przecinaj si# w jednym

punkcie.

Podobnie jak w przypadku przestrzennego uk!adu si! zbie"nych, si!y te mo"na

przesun $ do punktu zbie"no&ci i traktowa$ jak si!y przy!o"one do jednego punktu

(rys. 3.13a). Wypadkowa W p!askiego uk!adu si! zbie"nych b#dzie le"e$ w

p!aszczy%nie dzia!ania si! i b#dzie przechodzi$ przez punkt zbie"no&ci. B#dzie ona

równa sumie geometrycznej si! sk!adowych:

.

n

1k

k# $

$ PW (3.13)

Wypadkow p!askiego uk!adu si! zbie"nych mo"na wyznaczy$ sposobem

geometrycznym i analitycznym.

y

O

P1

P2

Pn

W

x

a) b)

P3

W

P1

P2

P3 Pn

O

!

Rys. 3.13. Wyznaczanie wypadkowej p!askiego zbie"nego uk!adu si! za pomoc

wieloboku si!

docsity.com

Sposób geometryczny polega na zbudowaniu wieloboku si!, w którym

z dowolnego punktu (rys. 3.13b) odk!adamy równolegle si!# P%O 1, a z jej ko'ca równolegle si!# P2, a nast#pnie kolejne si!y a" do Pn. Wektor W ! cz cy pocz tek

si!y P1 i koniec si!y Pn jest sum geometryczn si! sk!adowych. Otrzymany wektor

W przy!o"ony w punkcie O (rys. 3.13a) jest wypadkow uk!adu si! zbie"nych.

Dla analitycznego obliczenia wypadkowej przyjmiemy w punkcie zbie"no&ci O

(rys. 3.13a) uk!ad wspó!rz#dnych o osiach x i y le" cych w p!aszczy%nie si!. Wtedy

wspó!rz#dne Pkz wszystkich si! Pk b#d to"samo&ciowo równe zeru: . W tej

sytuacji wzory na wspó!rz#dne wypadkowej p!askiego uk!adu si! zbie"nych

otrzymamy ze wzorów (3.11) po podstawieniu do nich

Pkz & 0

Pkz $ 0 :

## $$

$$ n

1k

kyy

n

1

kxx PW,PW . k

(3.14)

Z kolei modu! wypadkowej oraz k t , który ona tworzy z osi x, obliczymy ze wzorów:

. W

W =tg,WWW

x

y2 y

2 x '$ (3.15)

docsity.com

3.4.2. Warunki równowagi zbie nego uk!adu si!

Przestrzenny uk!ad si!

Gdy wypadkowa W przestrzennego uk adu si zbie!nych jest równa zeru, uk ad

si b"dzie w równowadze. Prowadzi to do wektorowego warunku równowagi w

postaci:

Pk k

n

! 1

0. (3.16)

Aby przestrzenny uk ad si zbie!nych by w równowadze, warunkiem

koniecznym jest, by suma wektorowa tego uk adu si by a równa zeru.

Wypadkowa W omawianego uk adu si b"dzie równa zeru, je!eli jej

wspó rz"dne w przyj"tym uk adzie wspó rz"dnych b"d# równe zeru. St#d na

podstawie wzorów (3.11) mo!na napisa$ trzy skalarne równania równowagi:

P P Pkx

n

ky

k

n

kz

k

n

k

! ! ! 1 1 1

0 0, , 0. (3.17)

Powy!sze warunki równowagi mo!na wypowiedzie$ s ownie.

Aby przestrzenny uk ad si zbie!nych by w równowadze, warunkiem

koniecznym i wystarczaj"cym jest, by suma rzutów tych si na ka!d" o# uk adu

wspó rz$dnych by a równa zeru.

Z równa% równowagi (3.17) wynika, !e w przypadku zbie!nego przestrzennego

uk adu si mo!emy wyznaczy$ trzy niewiadome, poniewa! dysponujemy trzema

równaniami.

Przyk!ad 3.1. Wspornik sk ada si" z trzech niewa!kich pr"tów AB, AC i AD

po #czonych przegubowo w w"&le A, jak na rys. 3.14. Ko%ce B, C i D tych pr"tów

s# po #czone równie! za pomoc# przegubów do pionowej 'ciany. Pr"ty AB i AC

le!# w p aszczy&nie prostopad ej do pionowej 'ciany i tworz# z ni# k#ty .

Pr"t AD tworzy z t# 'cian# k#t i równie! le!y w p aszczy&nie prostopad ej

do tej 'ciany. Obliczy$ si y w pr"tach, je!eli do w"z a A jest przy o!ona si a Q,

le!#ca w p aszczy&nie pionowej prostopad ej do 'ciany i odchylona od poziomu o

k#t . Tarcie w przegubach pomin#$.

" 60o

# 30o

$ 45o

docsity.com

"

"

#

$

x

y

z

A

B

C

D

S 1

S 2

S 3

Q

Rys. 3.14. Wyznaczenie si w pr"tach zbiegaj#cych si" w w"&le A

Rozwi"zanie. Oddzia ywanie pr"tów AB, AC i AD na w"ze A zast#pimy

odpowiednio si ami S1, S2 i S3. Zatem w"ze ten jest w równowadze pod

dzia aniem czterech si zbie!nych: S1, S2, S3 i Q. Po wprowadzeniu w punkcie A

prostok#tnego uk adu wspó rz"dnych x, y, z i wykorzystaniu równa% równowagi

(3.17) otrzymamy uk ad trzech równa% z trzema niewiadomymi.

.0cosSsinQP

,0sinSsinSsinScosQP

,0cosScosSP

3

4

1k

kz

321

4

1k

ky

21

4

1

kx

$%$%

#%"%"%$

"%"

!

!

!

k

Po rozwi#zaniu powy!szego uk adu równa% otrzymamy:

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome