Funkcja tworząca momenty - Notatki - Rachunek prawdopodobieństwa, Notatki'z Rachunek prawdopodobieństwa. Opole University
Aleksy
Aleksy22 March 2013

Funkcja tworząca momenty - Notatki - Rachunek prawdopodobieństwa, Notatki'z Rachunek prawdopodobieństwa. Opole University

PDF (282.3 KB)
12 strona
398Liczba odwiedzin
Opis
Notatki obejmują tematy z obszaru rachunku prawdopodobieństwa: funkcja tworząca momenty.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 12
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

Funkcja tworząca momenty –

definicje, własności, zastosowania

Spis treści: 1. Definicja momentu; rodzaje momentów ................................3 2. Obliczenia momentów dla zmiennych losowych skokowych 5 3. Obliczenia momentów dla zmiennych losowych ciągłych .....6 4. Funkcja tworząca momenty – definicje i własności ..............8 5. Przykłady znajdywania funkcji tworzącej momenty ............9 6. Zbiór rozkładów wraz z odpowiadającymi FGM ................ 12

Zmienna losowa opisywana jest przez jej rozkład prawdopodobieństwa.

Ze względów praktycznych niezbędne jest znalezienie pewnych

charakterystyk liczbowych rozkładów, które umożliwiają szybkie

porównanie rozkładów ze sobą1. Charakterystyki te można otrzymać poprzez

obliczenie miar zwanych momentami. Opracowanie niniejsze będzie miało

na celu przedstawienie precyzyjnej definicji momentu oraz odpowiednich

przykładów połączonych ze sposobami kalkulacji tych miar. Następnym

zagadnieniem będzie przejście do funkcji tworzącej momenty, aby

zaprezentować zagadnienia obliczeniowe dla relewantnych rozkładów

zmiennych losowych oraz jej zastosowania praktyczne.

1. Definicja momentu; rodzaje momentów

Momentem rzędu l (  Nl )względem liczby c zmiennej losowej X

nazywamy:

  

 

 

 



dxxfcx

pcx

l

k k

l k

)()(

)( ' ,

gdzie pierwsze równanie odnosi się do rozkładów dyskretnych, natomiast

drugie do ciągłych. Równania są prawdziwe, jeśli szereg lub całka są

bezwzględnie zbieżne, przy pk jako prawdopodobieństwie przyjęcia przez

zmienną X wartości xk; a f(x) jako gęstości prawdopodobieństwa2.

Powyżej przedstawiono najbardziej ogólną postać pojęcia momentu.

Bardziej szczegółowo można rozważać momenty zwykłe oraz centralne, a także

standaryzowane.

1 Gersternkorn T., Śródka T.: Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 1972, s. 224 2 Tamże

Momenty zwykłe są obliczane dla c=0; wyrażają się wzorami:

k k

l kl pxm  dla zmiennej losowej skokowej;

 



dxxfxm ll )( dla zmiennej losowej ciągłej.

Momenty centralne są takimi szczególnymi przypadkami momentów, dla

których c=ml, tzn. względem momentu pierwszego rzędu. Zatem dane są wzory:

  k

k l

kl pmxM )( 1 oraz  



 dxxfcxM ll )()( .

Momenty standaryzowane są wartościami momentów podzielonymi przez

odpowiednią potęgę odchylenia standardowego. Przykładowo:

- moment zwykły standaryzowany rzędu l:

l l

l S m 

- moment centralny standaryzowany rzędu l3:

lll S M 

Szczególne rodzaje momentów posiadają własne nazwy i są

wykorzystywane jako charakterystyki rozkładów zmiennych losowych.

- wartość oczekiwana E(X) jest momentem zwykłym rzędu 1,

- wariancja S2(X) jest momentem centralnym rzędu 2,

- współczynnik skośności 3 jest momentem centralnym

standaryzowanym rzędu 3,

- współczynnik koncentracji (kurtoza) 4 jest momentem centralnym

standaryzowanym rzędu 4 pomniejszonym o 3.

Ponadto moment centralny rzędu 1. wynosi 0; momenty centralne rzędu

2., 3. oraz 4. wyrażają się formułami4: 2

122 mmM  3

12133 23 mmmmM  4

1 2

121344 364 mmmmmmM 

3 Kończak G., Trzpiot G.: Metody statystyczne z wykorzystaniem programów komputerowych, Wyd. Akademii Ekonomicznej w Katowicach, Katowice 2004, s. 258. 4 Gersternkorn T., Śródka T.: Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 1972, s. 227

Istnieje również wzór ogólny na obliczanie momentów centralnych za pomocą

momentów zwykłych5:

jn j

jn k

j n mmj

n M 

 

  

   1

0 )1(

2. Obliczenia momentów dla zmiennych losowych skokowych

W przypadku zmiennych dyskretnych, aby obliczyć momenty rozkładu

losowego korzysta się z ogólnej postaci wzoru:   k

k l

k pcx )(' . Zostanie

przedstawione kilka przykładów wyznaczania momentów dla tego rodzaju

rozkładów.

Przykład 1. Rzucamy klasyczną kostką do gry. Obliczyć wartość

oczekiwaną oraz wariancję rzutu kostką.

W tym przypadku należy znaleźć pierwszy moment zwykły rzędu 1. oraz

moment centralny rzędu 2. Rozkład prawdopodobieństwa jest następujący:

xk 1 2 3 4 5 6

pk 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Moment zwykły 1. rzędu:

2 13

6 16

6 15

6 14

6 13

6 12

6 11

6

1 1  

k

k k pxm

Moment centralny 2. rzędu 2

122 mmM 

6 115

6 16

6 15

6 14

6 13

6 12

6 11 222222

6

1

2 2  

k

k k pxm

Po podstawieniu otrzymujemy:

12 112

2 13

6 115

2 2

122   

   mmM

5 http://www.youtube.com/watch?v=mNkNf2TuvPg&feature=related

Odpowiedź: Wartość oczekiwana rzutu kostką (tj. hipotetyczna średnia

wartość uzyskana z nieskończonej ilości prób) wynosi 2 13 ; wartość wariancji to

12 112 .

Przykład 2. Zmienna losowa X posiada rozkład Poisonna, tzn.

! )(

k ekXP

k   , gdzie k  N oraz  >0. Obliczyć pierwszy moment zwykły

(wartość oczekiwaną):

   

  



 

 

  eerekekekpxm kr

r

k

kk

k k

k k

010

1

0

1 1 )!()!1(!

Skorzystano ze wzoru Maclaurina6:

 

 0 )!(r

r

r e  .

3. Obliczenia momentów dla zmiennych losowych ciągłych Momenty zmiennych ciągłych wyrażają się wzorem: 





 dxxfcx l )()(' .

Zostaną pokazane sposoby obliczeń dla przykładowych rozkładów.

Przykład 3. Dany jest rozkład jednostajny.

  

 

 

0

1

)( abxf

Proszę obliczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję.

Należy przypomnieć, że wartość oczekiwana jest tożsama ze zwykłym

momentem 1. rzędu.

)( 2 1)(1

2 11

2 11)( 2221 baababa

b x

ab xdx

ab mXE

b

a

 

 

 

 

Do obliczenia wariancji możemy użyć równania na moment zwykły rzędu 2. 6 Gersternkorn T., Śródka T.: Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 1972, s. 237

dla x  (a,b)

dla pozostałych

)( 3 1)(1

3 11

3 11)( 2233322 babaab

aba b

x ab

dxx ab

dxxfx b

a

 

 

 

  



Ze wzoru na moment centralny 2. rzędu:

2 122 mmM  = ()(3

1 22  baba 2))( 2 1 ba  =

)( 12 1)(

4 1)(

3 1 222222 babababababa 

Przykład 4.

Rozważany jest rozkład wykładniczy. Udowodnić, że pierwszy moment zwykły

wyraża się poprzez  1 .

 

 

0 )(

xe xf



)(1)1(0 0

)1(

00 1

0 )( 2

00

1 1

XExe

exeeexeexdxexdxxfxm

x

x x

xxxx x

 

 

  

  

  

 

  

  

 

 

  

  

 

  

 

  



 



 

 

 

 

cnd7.

W obliczeniach skorzystano z zależności:

  gfgfgf

7 http://www.youtube.com/watch?v=hJwC_CFUgcM&feature=related

,x>=0 ,x<0

4. Funkcja tworząca momenty – definicje i własności

Obliczanie momentów wg powyższego sposobu może być nużące, dlatego

też , aby przyspieszyć obliczenia dla dużej ilości momentów warto definiować

funkcję generującą momenty.

Funkcja tworząca (generująca) momenty zmiennej losowej jest

zdefiniowana wzorem MX(t) = E(etX).

Podobnie jak w przypadku momentów podaną funkcję można rozważać dla

rozkładów ciągłych oraz dyskretnych.

  

 

 

 



)( )(

xfe

pe tM

tx

x x

tx

x .

Funkcja generująca momenty (FGM) posiada następujące właściwości8:

- 1)0( xM , ponieważ e 0=1;

- FMG może być rozwinięta w szereg Taylora:

i dalej

- Aby odszukać moment prosty i-tego rzędu należy znaleźć pochodną i-

rzędu względem t; następnie za „t” podstawić 0:

 iii x i

i x XEmdt

MdM  )0()0()(

- Na jej podstawie można odtworzyć funkcję gęstości zmiennej losowej,

czyli zawiera w sobie pełną informację o rozkładzie zmiennej.

8 http://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function

5. Przykłady znajdywania funkcji tworzącej momenty9

Przykład 5. Znaleźć funkcję tworzącą momenty dla rozkładu jednostajnego

dyskretnego. Obliczyć także momenty zwykłe 1. oraz 2. rzędu oraz moment

centralny 1. rzędu.

n px

1  dla każdego x.

 nttt n

j

tj n

j x

tj x eeenn

epetM   

...11)( 2 11

Obliczając pochodne 1. oraz 2. rzędu oraz za „t” biorąc 0 otrzymujemy:

12 1)

2 1(

6 )12)(1()(

6 )12)(1()...941(1)0(

2 1)...321(1)0(

2 22

12 2

2 2

1

 

 

 

 

 

nnnnmmXS

nnn n

Mm

nn n

Mm

x

x

Przykład 7. Dana jest funkcja dwumianowa. Znaleźć funkcję tworzącą

momenty oraz obliczyć także momenty zwykłe 1. oraz 2. rzędu oraz moment

centralny 1. rzędu.

ntjnjt n

j

jnj n

j

tj n

j x

tj x qpeqpej

n qp

j n

epetM )()()( 000

 

  

 

  

  

 

)1()()1()(

)1()0(

)()0(

222 12

2

2 2

0 1

1

pnpnpnppnnmmXS nppnnMm

nppeqpenMm

x

t tnt

x





  

Przykład 6. Dana jest funkcja Poissona. Znaleźć funkcję tworzącą momenty

oraz obliczyć także momenty zwykłe 1. oraz 2. rzędu oraz moment centralny

1. rzędu.

)1(

000 ! )(

! )( 

 



  tt ee

j

jt

j

j tj

j x

tj x eeej

ee j

eepetM   

9 Grinstead C., Snell J.: Introduction to probability, American Mathematical Society, 1997, s. 366-377.





 







 

 

222 12

2

2 0

22)1( 2

0 )1(

1

)(

)()0(

)0(

mmXS

eeeMm

eeMm

t tte

x

t te

x

t

t

Przykład 7. Dana jest funkcja wykładnicza o wzorze: xexf  )( . Obliczyć

funkcję tworzącą momenty oraz dowieść, że kurtoza rozkładu wynosi 6

niezależnie od parametru lambda.

Dziedzina rozkładu: );0( 

   

 

 

 

 

   

   

 

  

 

 

  

 

 

 

 

  ttt e

t edxedxeetM

ttx txxxt

x 10

)(0

0 0

)( )(

0

Przy założeniu 0 t .

Można, że dla t=0, funkcja dla poszczególnych rzędów pochodnych wynosi:

n n

x nM

!)0()( 

Otrzymujemy:

44

33

22

1

24

6

2

1

m

m

m

m

Aby znaleźć kurtozę należy obliczyć moment centralny rzędu 4:

442234 4

1 2

121344 91312616424364   mmmmmmM

Ostateczny wzór na kurtozę:

639393 444 4

4   

S M c.n.d.

Przykład 8.

Znaleźć funkcję tworzącą momenty dla rozkładu normalnego

   

 

2

2 1 2

2

2

1 2

1 1exp 22

x tx

XM t e e dx

x tx dx

 

 



  

    

    

; to odpowiednio wartość oczekiwana oraz odchylenie standardowe.

Dowieść, że powyższe parametry redukują się do tych współczynników10.

Rozważając wartość w potędze eksponensu, znajdujemy szukaną funkcję:

Powyższa funkcja dla pierwszej pochodnej:

Dla t=0

 )0('1 XMm

Druga pochodna ma następującą postać:

Dla t=0 22''

2 )0(   XMm

Zatem: 22222

12 2 )(   mmXS

10 ricardo.ifas.ufl.edu/aeb5515.mathstat/Lecture%2010-2007.ppt

    2

2 2 2

2 2

1 1 1exp exp 2 22

1exp 2

X

x t M t t t dx

t t



                         

     1 2 2 21exp 2XM t t t t           

  

     

   

  

   

2222

2222

2 1exp

2 1exp

tttt

tttM X





6. Zbiór rozkładów wraz z odpowiadającymi FGM

Tabela 1. Funkcje pierwotne oraz generujące momenty dla wybranych rozkładów

Źródło: Opracowanie własne na podstawie: http://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function

Rozkład Funkcja pierwotna Funkcja generująca momenty M X (t ) Uwagi

Dwumianowy B(n, p)

Rozkład dyskretny

Poissona Pois(λ)

Rozkład dyskretny

Jednostajny U(a, b)

Rozkład ciągły

Normalny N(μ, σ2)

Rozkład ciągły

Chi-kwadrat χ2k

Rozkład ciągły

Gamma Γ(k, θ)

Rozkład ciągły

Wykładniczy Exp(λ)

Rozkład ciągły

Jednopunktowy δa

Rozkład ciągły

Laplace L(μ, b)

Rozkład ciągły

Cauchy'ego Cauchy(μ, θ) nie istnieje Rozkład ciągły

Dwumianowy odwrócony NB(r, p)

Rozkład dyskretny

xe  

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome