Filtracja, momenty - Ćwiczenia - Procesy stochastyczne, Notatki'z Procesy stochastyczne. University of Bialystok
panna_ania
panna_ania18 March 2013

Filtracja, momenty - Ćwiczenia - Procesy stochastyczne, Notatki'z Procesy stochastyczne. University of Bialystok

PDF (114.6 KB)
1 strona
439Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu procesów stochastycznych: filtracja, momenty.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

procesy stochastyczne lista 4

1. Niech X1, X2, . . . , Xn będą zmiennymi losowymi, określonymi nastepująco w n–krotnym rzucie moneta: zmienna losowa Xi przyjmuje wartość 1 jeśli w i-tym rzucie wypadła reszka, -1 w przeciwnym przypadku.

a) opisz (Ω,Σ) tego doświadczenia,

b) opisz F1 = σ(X1), c) opisz F2 = σ(X1, X2), d) zbadaj, czy ciąg σ–ciał Fk = σ(X1, . . . , Xk), k = 1, 2, . . . , n jest filtracją.

2. Momentem stopu τ : Ω→ T ∪{+∞} względem filtracji (Ft) nazywamy zmienną losową τ , która spelnia warunek:

∀t∈T {ω ∈ Ω : τ(ω) ≤ t} ∈ Ft.

Udowodnij, że τ jest momentem stopu względem filtracji (Ft) ⇐⇒

∀t∈T {ω ∈ Ω : τ(ω) = t} ∈ Ft.

3. Niech τ1, τ2 będą momentami stopu względem filtracji (Ft). Udowodnij, że τ1 ∧ τ2 = min(τ1, τ2) oraz τ1 ∨ τ2 = max(τ1, τ2) też są momentami stopu względem filtracji (Ft).

4. Niech τ będzie momentem stopu względem filtracji (Fn)n∈N. Zbadaj, czy następujące zmienne losowe też są momentami stopu względem filtracji (Fn):

a) τ + 1;

b) τ − 1; c) τ2;

d) √ τ .

5. Rozważ poprzednie zadanie dla filtracji {Ft : t ∈ [0,+∞)}.

6. Udowodnij, ze zmienna losowa τ = c ∈ T , gdzie c = const. jest momentem stopu względem dowolnej filtracji.

7. Niech τ będzie momentem stopu względem filtracji (Ft) i niech (Xt) będzie ciągiem zmiennych losowych adap- towanym do tej filtracji.

a) Udowodnić, że chwila pierwszej wizyty (Xt) w zbiorze B ∈ B(R) po chwili τ jest momentem stopu. b) Zdefiniować moment k-tej wizyty (Xt) w zbiorze B i udowodnić, że jest on momentem stopu.

8. Rzucamy monetą. Niech X1, X2, . . . będą zmiennymi losowymi, określonymi następująco - zmienna losowa Xi przyjmuje wartość 1 jeśli w i-tym rzucie wypadła reszka, -1 w przeciwnym przypadku. Zbadaj, czy następujące zmienne losowe są momentami stopu względem naturalnej filtracji Fk = σ(X1, , Xk), k = 1, 2, . . .

a) τ = 1;

b) τ = inf{n ∈ N : X1 +X2 + . . .+Xn = 2}; c) τ = inf{n ∈ N : X1 +X2 + . . .+Xn ≥ 2}; d) τ = inf{n ∈ N : Xn+1 = −1}; e) τ = inf{n ∈ N : Xn = −1}; f) τ = inf{n ∈ N : Xn−1 = −1}; g) τ + 1, gdzie τ jest równe ilości reszek w pierwszym rzucie monetą;

h) τ − 1, gdzie τ jest wygraną w pierwszym rzucie.

9. Opisać Fτ , jeśli zmienne losoweXi, i = 1, 2, . . . , są niezależne, P (Xi = 1) = P (Xi = −1) = 12 ,Fi = σ(X1, , Xi), τ = inf{n ≤ 2 : X1 + . . .+Xn = 1}.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome