Ekonometryczna analiza depozytów złotowych i walutowych - Notatki - Ekonometria, Notatki'z Ekonometria. Rzeszów University
hermiona80
hermiona8031 May 2013

Ekonometryczna analiza depozytów złotowych i walutowych - Notatki - Ekonometria, Notatki'z Ekonometria. Rzeszów University

PDF (2.7 MB)
37 strona
473Liczba odwiedzin
Opis
Ekonomia: notatki z zakresu ekonometrii dotyczące ekonometrycznej analizy depozytów złotowych i walutowych.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 37
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Politechnika Częstochowska

Politechnika Częstochowska

Wydział zarządzania

Kierunek: Zarządzanie i inżynieria

produkcji

Ekonometryczna analiza

depozytów złotowych i

walutowych w latach

1985-2000

2

Wprowadzenie

Depozyty- są to fundusze przyjęte na przechowywanie przez bank na podstawie

umowy między nim a depozytariuszem (osobą prawną lub fizyczną) uprawnionym do

pobierania odsetek; depozytem mogą być także przechowywane przez bank papiery

wartościowe (np. weksle), kruszce, kamienie szlachetne itp. Depozyty złożone w

wyspecjalizowanych instytucjach tworzą pieniądz bezgotówkowy, jeśli mogą być

wykorzystane jako środki płatnicze (rachunki czekowe, rachunki bieżące). W

przypadku depozytów oszczędnościowych (nie służących do spłaty zobowiązań) i

depozytów terminowych - tworzą one tzw. quasi-pieniądz; strategia bankowa polega

na gromadzeniu jak największej ilości depozytów; ich zasoby określają skalę

prowadzonych przez bank działań rynkowych, proporcjonalnie do wielkości

posiadanych środków depozytowych; konkurencja między bankami, a także innymi

pośrednikami finansowymi, zmusza do ustanawiania w ramach prowadzonej polityki

monetarnej odgórnych limitów procentowego wykorzystania depozytów w praktyce

bankowej.

3

Cel przeprowadzenia analizy

W swojej pracy Chcę przedstawić własny model ekonometryczny przedstawiający

analizę depozytów złotowych i walutowych w latach 1985-2000. Do badania zależności

wykorzystałem dane z lat 1985-1998, opublikowane w rocznikach statystycznych GUS oraz

ze strony internetowej NVP (Narodowego Banku Polskiego).

Problem, którym zajęłam się w mojej analizie, to określenie, jakie czynniki mają wpływ

na depozyty złotowe i walutowe.

Następnie przeprowadziłam oszacowanie modelu, jego parametrów strukturalnych oraz

ustaliłam zależności występujące między zmiennymi objaśniającymi, a objaśnianą za pomocą

programu z pakietu Microsoft Excel 2003.

Wszelkie wnioski i wyniki oszacowań znajdują się na następnych stronach mojej

pracy. W tabeli nr. 1 przedstawione są dane z poszczególnych lat.

Dla celów mojej pracy przyjęłam próbkę 16 obserwacji depozytów walutowych i

złotowych w latach 1985 – 2000, której wartości przedstawiłam na poniższym wykresie:

0,00

50000,00

100000,00

150000,00

200000,00

250000,00

300000,00

1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999

Dwpozyty walutowe i złotowe w latach 1985-2000

4

Ze względu na ograniczoną ilość czynników, których dane statystyczne są ogólnie

dostępne, musiałam zawężyć krąg zmiennych mających wpływ na przedmiot moich badań.

Poniżej zaprezentowałam wszystkie wybrane czynniki oraz ich wartości w danym przedziale

czasowym:

Y Depozyty złotowe i walutowe (w przeliczeniu na złotówki) w mln zł stan na dzień 31 XII

X1 Przeciętne wynagrodzenie miesięczne brutto w zł

X2 Wskaźnik cen towarów i usług konsumpcyjnych (Inflacja)

X3 Wskaźnik cen towarów i usług

X4 Dochód narodowy brutto PKB w mln zł

X5 PKB na 1 mieszkańca w zł

X6 Podaż pieniądza ogółem w mln zł

X7 Pieniądz gotówkowy w obiegu (poza kasami banków) w mln zł

X8 Kursy walut Kurs 100 USD w NBP w zł

X9 Oprocentowanie lokat terminowych 12 miesięcznych w bankach

5

Dane: Tabela nr.1 Źródło: Rocznik statystyczny GUS

t Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9

1985 327,20 2,00 115,10 115,00 1044,50 28,10 428,60 103,07 1,48 10,00

1986 423,93 2,41 117,70 117,50 1295,30 34,60 540,60 118,75 1,98 10,00

1987 588,02 2,92 125,20 125,30 1693,99 44,98 719,20 131,18 3,16 10,00

1988 925,59 5,31 160,20 161,30 2962,87 78,26 1177,90 252,33 5,03 25,00

1989 6401,60 20,68 351,10 343,80 11831,90 311,70 7389,60 987,90 65,00 61,00

1990 15126,10 102,96 685,80 717,80 60672,60 1591,70 19059,70 3933,60 95,00 104,00

1991 20484,50 175,60 170,30 171,10 82432,99 2155,39 26102,20 5617,70 107,38 58,50

1992 33309,50 289,73 143,00 142,40 114944,20 2996,10 41108,80 7799,30 154,52 38,00

1993 45942,00 390,43 135,30 134,60 155780,00 4050,50 55924,40 9982,40 209,17 34,00

1994 65028,10 525,02 132,30 130,70 205661,50 5459,00 77301,90 12273,80 238,85 39,00

1995 84725,30 690,92 127,10 126,80 306318,30 7938,00 104254,70 19529,40 244,18 23,50

1996 113098,50 874,30 119,80 119,40 385448,10 9981,00 136662,40 23563,90 284,38 18,50

1997 149181,20 1065,76 113,10 114,80 469372,10 12144,00 176437,10 27255,90 328,08 20,90

1998 190554,60 1232,69 109,70 111,60 553560,10 14211,00 220779,80 30225,20 349,37 12,03

1999 225306,00 1697,12 107,00 107,40 611552,40 15913,37 263448,70 38082,70 396,75 12,21

2000 260365,70 1923,81 110,10 110,70 685596,70 17741,35 294478,40 34112,70 434,64 13,00

1. Dobór zmiennych objaśniających do modelu liniowego

Wyznaczenie podstawowych miar statystycznych i ich interpretacja:

Obliczam:

Średnia arytmetyczna

Odchylenie standardowe

Współczynnik zmienności

dla wszystkich zmiennych objaśniających

n

t

x n

x 1

1 -średnia arytmetyczna

n

t

xx n

S 1

2)( 1

-odchylenie standardowe

 ),....,2,1( mi x

S V i -współczynnik zmienności

Tabela nr.2

Zmienne Średnia

arytmetyczna

Odchylenie

standardowe

Współczynnik

zmienności

Max Min

X1 562,60 630,77 1,121153358 1923,81 2,00

X2 176,43 147,92 0,83840371 685,80 107,00

X3 178,14 154,70 0,86841278 717,80 107,40

X4 228135,47 240950,00 1,056170716 685596,70 1044,50

X5 5917,44 6230,38 1,052884677 17741,35 28,10

X6 89113,38 100125,82 1,123577968 294478,40 428,60

X7 13373,11 13428,49 1,004140575 38082,70 103,07

X8 182,44 149,11 0,817308493 434,64 1,48

X9 30,60 25,58 0,835884144 104,00 10,00

n- liczba obserwacji

x- zmienne objaśniające

i- numer zmiennej

7

Interpretacje:

 Maksymalna liczba przeciętnego wynagrodzenia miesięcznego w latach 1985-

2000 wyniosła 1923,81zł brutto, natomiast minimalna liczba wynagrodzenia

wynosiła– 2,00 zł brutto. Średnia liczba wynagrodzenia w latach 1985-2000

wyniosła 562,60 zł . Odchylenie standardowe informuje, że liczba

wynagrodzeń w poszczególnych latach różni się przeciętnie od średniej

arytmetycznej o 630,77.

 Maksymalny wskaźnik cen towarów i usług konsumpcyjnych (inflacja) w

latach 1985-2000 wynosił 685,8, natomiast minimalny- 107 . Średnio inflacja

latach 1985-2000 wynosiła 176,43 . Odchylenie standardowe informuje, że

wskaźnik inflacji w poszczególnych latach różni się przeciętnie od średniej

arytmetycznej o 147,92.

 Maksymalny wskaźnik cen towarów i usług w latach 1985-2000 wynosił

717,80, natomiast minimalny- 107,40. Średnio wskaźnik cen towarów i usług

latach 1985-2000 wynosił 178,14. Odchylenie standardowe informuje, że

wskaźnik cen towarów i usług w poszczególnych latach różni się przeciętnie

od średniej arytmetycznej o 154,70

 Maksymalny dochód narodowy brutto w latach 1985-2000 wynosił 685596,70

PKB w mln zł, natomiast minimalny – 1044,50 PKB w mln zł. Średnio

dochód narodowy brutto w latach 1985-2000 wynosił- 228135,47 PKB w mln

zł. Odchylenie standardowe informuje, że dochód narodowy brutto w

poszczególnych latach różni się przeciętnie od średniej arytmetycznej o

240950,00.

 Maksymalne PKB na jednego mieszkańca w latach 1985-2000 wynosiło

17741,35zł, natomiast minimalne 28,10zł. Średnia liczba PKB na jednego

mieszkańca w latach 1985-2000 wyniosło 5917,44. Odchylenie standardowe

informuje, że liczba PKB/1mieszkańca w poszczególnych latach różni się

przeciętnie od średniej arytmetycznej o 6230,38.

8

 Maksymalna podaż pieniądza w mln zł w latach 1985-2000 wyniosła

294478,40, natomiast minimalna 428,00. Średnia podaż pieniądza w latach

1985-2000 wyniosło 89113,38. Odchylenie standardowe informuje, że podaż

pieniądza w poszczególnych latach różni się przeciętnie od średniej

arytmetycznej o 100125,82.

 Maksymalna wartość pieniądza gotówkowego w obiegu (poza kasami banków)

w latach 1985-2000 wyniosła 38082,70, natomiast minimalna- 103,07. Średnia

wartość pieniądza w latach 1985-2000 wyniosła 13373,11. Odchylenie

standardowe informuje, że wartość pieniądza w obiegu w poszczególnych

latach różni się przeciętnie od średniej arytmetycznej o 13428,49.

 Maksymalna wartość kursów walutowych w latach 1985-2000 wyniosła

434,64, natomiast minimalna- 1,48. Średnio kurs walutowy w latach 1985-

1998 wynosił 182,44. Odchylenie standardowe informuje, że kurs walutowy w

poszczególnych latach różni się przeciętnie od średniej arytmetycznej o

149,11.

 Maksymalne oprocentowanie lokat terminowych 12 miesięcznych w bankach

w latach 1985-2000 wynosiło 104,00, natomiast minimalne- 10,00. Średnio

oprocentowanie lokat w latach 1985-2000 wyniosło 30,60. Odchylenie

standardowe informuje, że oprocentowanie lokat terminowych w

poszczególnych latach różni się przeciętnie od średniej arytmetycznej o 25,58.

9

2. Dobór zmiennych do modelu

Przez dobór zmiennych należy rozumieć merytoryczne propozycje zbioru zmiennych

objaśniających, inaczej listę zmiennych, które należy wziąć pod uwagę ze względu na

powiązanie merytoryczne. Dobór zmiennych można przeprowadzić w różnoraki sposób:

Eliminowanie zmiennych za pomocą współczynnika zmienności

Eliminowanie zmiennych za pomocą wartości krytycznej współczynnika korelacji

liniowej Pearsona

Metodą grafów

Metodą Hellwiga

Eliminowanie zmiennych quasi-stałych

Za wartość krytyczną V *, czyli minimum współczynnika zmienności przyjęłam wartość

V* = 0,10. Następnie przyrównałam kolejno otrzymane wartości Vi z ustalonym minimum.

Jeżeli v<=v*- zmienna x jest quasi- stała, czyli charakteryzuje się zbyt niską zmiennością i

należy ją wyeliminować z modelu

Jeżeli v>=v*- zmienna x charakteryzuje się odpowiednio wysoką zmiennością, należy ją

pozostawić w modelu.

Wszystkie obliczone współczynniki zmienności zostały przedstawione w tabeli nr 2.

Nie ma podstaw do odrzucenia żadnej z moich zmiennych, gdyż wszystkie przekraczają

wartość krytyczną.

1 0

Wektor i macierz współczynników korelacji

Do zbadania liniowej zależności zmiennej objaśnianej Y i potencjalnych zmiennych

objaśniających X1,X2,....

 Współczynnik korelacji pomiędzy zmienną objaśnianą Y a zmiennymi

potencjalnymi objaśniającymi X1, X2, ….,Xn

),...,3,2,1(

)()(

))((

1 1

22

1 mi

xxyy

xxyy

r n

t

n

t

n

t i

 Współczynniki korelacji między potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi X1,X2,….,Xn

),...,3,2,1(

)()(

))((

1 1

22

1 mij

xxxx

xxxx

r n

t

n

t

n

t ij

0,996346011

-0,32608096

-0,31666924

0,992407913

R0= 0,992433676

0,99957496

0,976141298

0,946984532

-0,38633689

1 1

1 -0,338 -0,329 0,990 0,991 0,997 0,978 0,955 -0,384

-0,338 1 0,999 -0,334 -0,334 -0,328 -0,337 -0,285 0,894

-0,329 0,999 1 -0,324 -0,324 -0,319 -0,327 -0,277 0,889

0,990 -0,334 -0,324 1 1,000 0,995 0,992 0,967 -0,377

R= 0,991 -0,334 -0,324 1,000 1 0,995 0,992 0,968 -0,376

0,997 -0,328 -0,319 0,995 0,995 1 0,982 0,953 -0,385

0,978 -0,337 -0,327 0,992 0,992 0,982 1 0,970 -0,367

0,955 -0,285 -0,277 0,967 0,968 0,953 0,970 1 -0,247

-0,384 0,894 0,889 -0,377 -0,376 -0,385 -0,367 -0,247 1

Metoda analizy macierzy współczynników korelacji

Do redukcji kandydatek wykorzystuje wartość krytyczna współczynnika korelacji.

Punktem wyjścia jest wektor R0 i macierz R. Każdą zmienną, porównujemy do wartości

krytycznej, którą obliczamy ze wzoru:

r*- wartość krytyczna współczynnika korelacji; kolorem czerwonym oznaczone są

współczynniki, których moduł jest większy od r*

1.Ze zbioru zmiennych objaśniających eliminuje się te wszystkie zmienne, dla których

zachodzi nierówność: *rri

Są nieistotnie skorelowane ze zmienną objaśnianą

2. Spośród pozostałych zmiennych jako zmienną objaśniającą powołuje się taką zmienną, dla

której in rr max

Zmienna X jest nośnikiem największego zasobu informacji o zmiennej objaśnianej.

3. Ze zbioru zmiennych objaśniających eliminuje się te wszystkie, dla których:

n=16

I*=2,145- statystyka t- Studenta α=0,05- poziom istotności

2*)(

*)( *

2

2

nI

I r

49,0 6 1,18

6 1,4

14)145,2(

)145,2( *

2

2

r

1 2

*rri

Są to zmienne zbyt silnie skorelowane ze zmienną objaśniającą X.

Model Liczby absolwentów medycyny wygląda następująco:

9675645342110 XXXXXXY

Wnioski:

X1 i Y są silnie skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X2 i Y są słabo skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X3 i Y są słabo skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X4 i Y są silnie skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X5 i Y są silnie skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X6 i Y są silnie skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X7 i Y są silnie skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X8 i Y są silnie skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X9 i Y są słabo skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X1 i X2 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X1 i X3 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X1 i X4 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X1 i X5 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X1 i X6 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X1 i X7 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

XI i X8 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X1 i X9 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X2 i X3

X2 i X4 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X2 i X5 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X2 i X6 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X2 i X7 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X2 i X8 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X2 i X9 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

1 3

X3 i X4 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X3 i X5 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X3 i X6 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X3 i X7 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X3 i X8 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X3 i X9 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X4 i X5 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X4 i X6 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X4 i X7 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X4 i X8 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X4 i X9 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X5 i X6 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X5 i X7 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X5 i X8 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X5 i X9 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X6 i X7 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X6 i X8 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X6 i X9 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X7 i X8 są silnie skorelowane i jest to zjawisko negatywne dla modelu

X7 i X9 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

X8 i X9 są słabo skorelowane i jest to zjawisko pozytywne dla modelu

Interpretacja:

Do modelu wchodzą zmienne:

X1, X4, X5, X6, X7, X8, które są wystarczająco skorelowana ze zmienną objaśnianą, co

wykazała analiza współczynników korelacji.

1 4

Metoda grafów

Spośród potencjalnych kandydatów na zmienne objaśniające wybierzemy te, które są

silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą, a słabo skorelowane z innymi zmiennymi

objaśniającymi. Podstawą wyboru jest wektor i macierz współczynników korelacji. Na

podstawie współczynników korelacji ujętych w macierzy wyznaczmy wartość

Następnie tworzymy macierz przyległości grafu zastępując te rij dla których |rij|<=r* liczbą

zero. Natomiast dla |rij|>r* liczbą jeden. Na podstawie tak zmodyfikowanej macierzy

rysujemy graf i będzie miał on tyle węzłów ile jest kandydatek na zmienne objaśniające. Zaś

wiązadła pojawią się tam, gdzie w macierzy przyległości grafu były 1. Graf może składać się

z podgrafów spójnych oraz grafów zerowych (zmienne odosobnione). Jako zmienne

objaśniające do modelu wejdą:

- wszystkie zmienne odosobnione,

- po jednej reprezentantce z każdego podgrafu spójnego; reprezentantką zostanie ta

zmienna, która ma najwięcej wiązadeł, a jeśli jest kilka zmiennych o jednakowej max liczbie

wiązadeł, to ta, która jest silnie skorelowana ze zmienną objaśnianą y.

1 5

liczba powiązań

kX1 = 5 Ir01I = 0,9963

kX4 = 5 Ir04I = 0,9924

kX5 = 5 Ir05I = 0,9924

wybieramy kX6 = 5 Ir06I = 0,9995

kX7 = 5 Ir07I = 0,9761

kX8 = 5 Ir08I = 0,9469

wybieramy kX2=2 Ir03I = 0,3260

kX3 = 2 Ir03I = 0,3166

0 0 0,990 0,991 0,997 0,978 0,955 0

0 0,999 0 0 0 0 0 0,894

0 0,999 0 0 0 0 0 0,889

0,990 0 0 1,000 0,995 0,992 0,967 0

0,991 0 0 1,000 0,995 0,992 0,968 0

0,997 0 0 0,995 0,995 0,982 0,953 0

0,978 0 0 0,992 0,992 0,982 0,970 0

0,955 0 0 0,967 0,968 0,953 0,970 0

0 0,894 0,889 0 0 0 0 0

1

4

5

6

3

8

7

2

9

9

1 6

kX9=2 Iro9I = 0,384

Interpretacja:

Występuje wiele połączeń pomiędzy zmiennymi objaśniającymi, ale reprezentantką zostanie

zmienna X6, ponieważ ma najwięcej wiązadeł i jest silnie skorelowana ze zmienną

objaśnianą y.

ttt XXXy 9362210

1

7

Dobór zmiennych objaśniających (metoda Hellwiga)

Ilość zmiennych objaśniających nie może być zbyt duża. Musimy mieć kryterium według

którego będziemy je wybierać.

Przypuśćmy, że zmienne X1, X2, … Xn są kandydatkami na zmienne objaśniające.

Wybierzemy te zmienne, które mają największą pojemność informacyjną.

Niech rij oznacza współczynnik korelacji liniowej Perasona między zmiennymi Xi , Xj ; rj

zaś między Xj , Y.

Niech S oznacza podzbiór zbioru {1, 2, … n}

Oznaczenie

– indywidualna pojemność informacyjna nośnika Xj , j należy do S:

Si ij

j

Sj r

r h

||

2

– integralna pojemność informacyjna podzbioru S:

Sj SjS hH

Ponieważ liczba kombinacji w tej metodzie jest bardzo duża, pomijam tą metodę, a z

powyższych metod do dalszych obliczeń, biorę pod uwagę wyniki otrzymane z metody

doboru zmiennych za pomocą metody grafów.

1

8

Współczynnik korelacji wielorakiej

Współczynnik korelacji wielorakiej jest miarą siły związku liniowego zmiennej

objaśnianej Y ze zmiennymi objaśnianymi X1,X2, …,Xn. Zdefiniowany jest następująco:

)det(

)det( 1

R

W R

RR

R W

0

01 Idet RI= 7,46268E-23

Idet R1I= 2,86427E-17

Interpretacja:

Maksymalna wartość współczynnika korelacji wielorakiej wynosi 0,999998697 co oznacza,

że między zmienną objaśnianą, a zmiennymi objaśniającymi istnieje funkcyjna liniowa

zależność. Współczynnik korelacji wielorakiej mieści się w granicy [0,1].

det(R) - współczynnik macierzy R det(W)-wyznacznik macierzy W

1

9

2. Oszacowanie i interpretacja modeli liniowych

metoda najmniejszych kwadratów (MNK)

Oszacowanie modelu z jedną zmienną objaśniającą

Najlepiej znaną i najczęściej stosowaną w praktyce metodą estymacji nieznanych

parametrów strukturalnych modelu jest metoda najmniejszych kwadratów (MNK).

Zamierzamy wyznaczyć oceny a nieznanych parametrów α modelu y=aX+ε. Wartości

zmiennej objaśnianej otrzymane przy ocenach a nazwiemy wartościami teoretycznymi

zmiennej objaśnianej, oznaczymy je przez ŷ i obliczymy jako:

),...,2,1(...22110 ntXXXy kyktt

Resztą dla okresu t nazwiemy różnicę między wartością empiryczną a teoretyczną

zmiennej objaśnianej , czyli:

),...,2,1( ntyye ttt

Wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej oraz reszty możemy zapisać w postaci wektorów:

ny

y

y

.

.

. 1

ne

e

e

.

.

. 1

Idea metody najmniejszych kwadratów (MNK) polega na wyznaczenia takiego wektora

oszacowań a wektora parametrów α, przy którym funkcja S(a) =eTe osiąga minimum .

Funkcja S(a) wyraża sumę kwadratów odchyleń teoretycznych wartości zmiennej

objaśnianej od empirycznych wartości tej zmiennej i może być przedstawiona w postaci

XaayXayXyXayeaS TTTTTTT 2)()()(

Wartość ocen a oraz b parametrów strukturalnych α otrzymuje się ze wzoru:

2

0

n

wt

axbyS min)( 2

Wzory na oceny parametrów a i b

n

t

n

t

xnx

yxnyx

a

1

22

1

)(

axyb

Ocenę wariancji odchyleń losowych modelu obliczamy ze wzoru:

2

1

2

2

n

e

S

n

t

Standardowe błędy S(a) i S(b) szacunku parametrów wyznacza się ze wzoru:

n

t

xx

Se aS

1

2)(

)(

n

t

n

t

xxn

x

SebS

1

2

1

2

)(

)(

2

1

y = 0,8683x -27690,26

R 2 = 0,99957

-100000,00

-50000,00

0,00

50000,00

100000,00

150000,00

200000,00

250000,00

300000,00

1980 1985 1990 1995 2000 2005

Oszacowane parametry strukturalne wynoszą:

74,75736y

38,89113x

Kolejne obliczenia zostały przedstawione w tabeli nr 3:

Wartość oceny parametru a wynosi:

Y X X*Y X^2

327,20 428,60 140237,92 183697,96

423,93 540,60 229176,558 292248,36

588,02 719,20 422903,984 517248,64

925,59 1177,90 1090252,461 1387448,41

6401,60 7389,60 47305263,36 54606188,16

15126,10 19059,70 288298928,2 363272164,1

20484,50 26102,20 534690515,9 681324844,8

33309,50 41108,80 1369313574 1689933437

45942,00 55924,40 2569278785 3127538515

65028,10 77301,90 5026795683 5975583744

84725,30 104254,70 8833010734 10869042472

113098,50 136662,40 15456312446 18676611574

149181,20 176437,10 26321098303 31130050256

190554,60 220779,80 42070606477 48743720088

225306,00 263448,70 59356572802 69405217532

260365,70 294478,40 76672074751 86717528067

1211787,84 1425814,00 238547240833,13 277436809525,42

2

2

87,0a

Wartość oceny parametru b wynosi:

26,2790b

Interpretacja:

Model liczby depozytów złotowych i walutowych względem podaży pieniądza w latach 1985-

2000 po oszacowaniu parametrów strukturalnych wygląda następująco:

XY 87,026,279 

Oszacowanie odchyleń losowych modelu. Wyniki otrzymujemy w tabeli nr.4:

Tabela nr.4.

Ŷ et et² -18689,6519 19016,85 361640655,21

-27220,3015 27644,23 764203533,92

-27065,0422 27653,06 764691851,47

-26666,2885 27591,88 761311761,87

-21266,3794 27667,98 765517084,09

-11121,4143 26247,51 688932006,54

-4999,28023 25483,78 649423054,61

8046,14641 25263,35 638237034,61

20925,5343 25016,47 625823554,26

39509,2647 25518,84 651210955,59

62939,6736 21785,63 474613515,66

91112,096 21986,40 483401962,36

125688,744 23492,46 551895475,06

164236,413 26318,19 692646986,26

201329,026 23976,97 574895305,08

228303,535 32062,16 1027982420,36

805062,075 10476427156,95

Wniosek:

Przestawiona tabela informuje i ile zaobserwowane wartości zmiennej objaśnianej przeciętnie

różnią się od teoretycznych wartości tej zmiennej wyznaczonej z modelu.

2

3

Wartość parametru a wskazuje, że jeżeli podaż pieniądza wzrośnie o jednostkę to wartość

depozytów złotowych i walutowych zmieni się o 0,87.

3.Oceny dopasowania modelu do danych empirycznych

Estymatory a0, a1 parametrów strukturalnych α0, α1 są zmiennymi losowymi. Przy

klasycznych założeniach metody najmniejszych kwadratów estymatory te są:

liniowe ze względu zmienne zależne, ( są postaci c0 + c1y1 +…+ cmym );

nieobciążone, ( Eai = αi );

efektywne, (nieobciążone z minimalną wariancją);

zgodne, (stochastycznie zbieżne do szacowanego parametru).

Liniowy model ekonometryczny to odpowiednik modelu regresji występującego w

statystyce. W języku modelu regresji:

y – zmienna zależna

x – zmienna niezależna

α1 – to współczynnik regresji.

Badanie koincydencji

airi sgnsgn a= 0,87

b= -2790,26

sgn r X6 = "+" sgn R6 = "+"

Wniosek:

2

4

Model xy jest koincydentny, ponieważ jest spełniony warunek, co oznacza, że znak współczynnika korelacji liniowej zmiennej X6 (liczba zapomóg

przyznawanych studentom akademii medycznych), jest taki sam jak znak oceny parametru

strukturalnego a.

Badanie dopuszczalności modelu

Tabela nr. 5.

Y X6 Y^ Y - Y^ = e e 2

Y - Yśr (Y - Yśr )2

(Y^ - Yśr) 2

327,20 428,60 -1261,04 1588,24 2522497,35 -75409,54 5686598723,01 5928657691,38

423,93 540,60 -1163,80 1587,73 2520876,05 -75312,81 5672019350,10 5913692543,81

588,02 719,20 -1008,73 1596,75 2549619,63 -75148,72 5647330117,64 5889867601,41

925,59 1177,90 -610,48 1536,07 2359513,92 -74811,15 5596708164,32 5828898144,81

6401,60 7389,60 4782,63 1618,97 2621054,28 -69335,14 4807361638,82 5034485305,80

15126,10 19059,70 14914,83 211,27 44634,32 -60610,64 3673649681,21 3699304537,43

20484,50 26102,20 21029,26 -544,76 296765,20 -55252,24 3052810025,02 2992908192,98

33309,50 41108,80 34058,27 -748,77 560659,29 -42427,24 1800070694,02 1737094706,83

45942,00 55924,40 46921,45 -979,45 959326,90 -29794,74 887726531,67 830320802,51

65028,10 77301,90 65481,80 -453,70 205840,89 -10708,64 114674970,65 105163857,71

84725,30 104254,70 88882,72 -4157,42 17284149,51 8988,56 80794210,87 172816816,89

113098,50 136662,40 117019,69 -3921,19 15375739,88 37361,76 1395901110,30 1704282054,00

149181,20 176437,10 151552,83 -2371,63 5624620,16 73444,46 5394088704,69 5748079224,97

190554,60 220779,80 190051,99 502,61 252618,74 114817,86 13183140974,98 13067975943,09

225306,00 263448,70 227097,92 -1791,92 3210990,13 149569,26 22370963536,95 22910207895,56

260365,70 294478,40 254038,49 6327,21 40033606,99 184628,96 34087852870,68 31791513472,49

75736,74 suma 1211787,84 0,00 96422513,25 0,00 113451691304,92 113355268791,67

o Współczynnik zmienności losowej:

Współczynnik zmienności losowej informuje jaki procent ze średniej zmiennej

objaśnianej modelu stanowi odchylenie standardowe reszt. Mała wartość współczynnika We

świadczy o dobrym dopasowaniu. Ustalamy wartość krytyczną W* współczynnika

zmienności losowej. Jeśli We ≤ W * to uznajemy, że model jest dobrze dopasowany do danych

2

5

empirycznych. Jeśli We > W * to uznajemy, że model nie jest dobrze dopasowany do danych

empirycznych.

%100 y

Se We

032,0 74,75736

87147,2454 We

Wniosek:

Przy założonej wartości krytycznej W*=10% zachodzi nierówność:

*WWe uznaje się, że jest bardzo dobrze dopasowany do danych empirycznych

o Współczynnik zbieżności:

Współczynnik zbieżności przyjmuje wartości z przedziału [0,1]. Informuje jaka część

całkowitej zmiennej objaśnianej nie jest wyjaśniana przez model. Dopasowanie modelu do

danych jest lepsze, im współczynnik zbieżności jest bliższy zeru.

n

t

n

t

yy

e

1

2

1

2

2

)(

%08,02

Wniosek:

Oznacza to ze współczynnik przyjmuje wartości bliskie 0-ru, co świadczy o dobrym

dopasowaniu modelu do danych empirycznych. 0,08% zmienności zmiennej objaśnianej nie

zostało wyjaśnione przez zmienna objaśnianą modelu.

o Współczynnik determinacji:

Współczynnik przyjmuje wartości [0,1]. Informuje jaka część całkowitej zmiennej

objaśnianej stanowi zmienność wartości teoretycznych. Dopasowanie lepsze jest ,gdy

współczynnik jest bliższy jedności.

n

t

n

t

yy

e

R

1

2

2

12

)(

1

2

6

%9,992R

Wniosek:

Wynik jest wynikiem bardzo złym, gdyż informuje, że model jedynie w 99,9% wyjaśnia

zmienną objaśnianą. 99,9% zmienności zm. objaśnianej zostało wyjaśnione przez zm.

objaśniającą modelu

Badanie normalności

Badanie normalności polega na weryfikacji hipotezy mówiącej o tym, że dystrybuanta

odchyleń F(E) jest równa dystrybuancie rozkładu normalnego FN(E)

H0: F(E) = FN(E)

H1: R(E) ≠FN(E)

Tabela nr.6.

Y - Y ̂= e uporządk e e 2̂ e' F(e') CELE 0,063

1588,237 -4157,421 17284149,511 -1,694 0,045 0,000 0,063 ++

1587,727 -3921,191 15375739,878 -1,597 0,055 0,063 0,125

1596,753 -2371,628 5624620,163 -0,966 0,167 0,125 0,188 +

1536,071 -1791,924 3210990,126 -0,730 0,233 0,188 0,250 +

1618,967 -979,452 959326,901 -0,399 0,345 0,250 0,313

211,268 -748,772 560659,292 -0,305 0,380 0,313 0,375 +

-544,762 -544,762 296765,200 -0,222 0,412 0,375 0,438 +++

-748,772 -453,697 205840,889 -0,185 0,427 0,438 0,500

-979,452 211,268 44634,323 0,086 0,534 0,500 0,563 +

-453,697 502,612 252618,744 0,205 0,581 0,563 0,625 +

-4157,421 1536,071 2359513,924 0,626 0,734 0,625 0,688

-3921,191 1587,727 2520876,055 0,647 0,741 0,688 0,750 +++++

-2371,628 1588,237 2522497,355 0,647 0,741 0,750 0,813

502,612 1596,753 2549619,632 0,650 0,742 0,813 0,875

-1791,924 1618,967 2621054,276 0,659 0,745 0,875 0,938

6327,212 6327,212 40033606,986 2,577 0,995 0,938 1,000 +

S = 2454,874147 puste ke = 7 k1 = 2, k2=9

k1<ke<k2

2

7

Wniosek:

Nie ma podstaw do odrzucenia Ho (rozkład jest zbliżony do rozkładu normalnego)

Badanie symetrii i losowości rozkładu elementu losowego

Wniosek:

test max długości serii

ke = 7 kt = 7 ke = kt - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

rozkład elementu jest losowy (postać modelu jest poprawna)

Liczba reszt

dodatnich n1=8 ujemnych n2=8

wszystkich n=16

Y - Y^ = et 1588,237185 A

1587,726694 A

1596,752840 A

1536,070937 A

1618,967040 A

211,268367 A

-544,761599 B

-748,771856 B

-979,452347 B

-453,696913 B

-4157,421017 B

-3921,191130 B

-2371,628167 B

502,611922 A

-1791,923583 B

6327,211628 A

Liczba reszt

dodatnich m = 8

wszystkich n = 16

Tyle samo dodatnich co ujemnych rozkład elementu losowego jest symetryczny

2

8

test liczby serii ke = 5 α= 0,05 kt1 = 5 α= 0,95 kt2 = 12 kt1<=ke<kt2 - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

element losowy ma rozkład losowy

Badanie istotności parametrów strukturalnych modelu

a)

R²=0,999150101- współczynnik determinacji

F=16458,54

F*=4,6

Wniosek:

F>F*- należy odrzucić hipotezę H0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1.

b)

X= 0,006768 – błąd standardowy

bi= 0,86822

te=128,3

tt=2,145

te=tt

Wniosek:

Ocena parametru istotnie różni się od zera. Należy odrzucić hipotezę H0 na rzecz hipotezy H1.

2

9

Badanie nieobciążąlności odchyleń losowych

Tabela nr.7.

Y X6 Y - Y^ = e (et-et śr)2

327,20 428,60 1588,24 2522497,355

423,93 540,60 1587,73 2520876,055

588,02 719,20 1596,75 2549619,632

925,59 1177,90 1536,07 2359513,924

6401,60 7389,60 1618,97 2621054,276

15126,10 19059,70 211,27 44634,32298

20484,50 26102,20 -544,76 296765,1999

33309,50 41108,80 -748,77 560659,2924

45942,00 55924,40 -979,45 959326,9007

65028,10 77301,90 -453,70 205840,8892

84725,30 104254,70 -4157,42 17284149,51

113098,50 136662,40 -3921,19 15375739,88

149181,20 176437,10 -2371,63 5624620,163

190554,60 220779,80 502,61 252618,7443

225306,00 263448,70 -1791,92 3210990,126

260365,70 294478,40 6327,21 40033606,99

0 96422513,25

Odchylenie standardowe Se=2454,9

α=0,05

n-1=15

tt=2,131

3

0

Wniosek:

te<tt nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 (odchylenia losowe są nieobciążone)

Badanie stacjonarności

Tabela nr.8.

t Y - Y^ = e Uporządkow e I e I

1985 1588,24 1588,24 1588,24

1986 1587,73 -4157,42 4157,42

1987 1596,75 -3921,19 3921,19

1988 1536,07 -2371,63 2371,63

1989 1618,97 -1791,92 1791,92

1990 211,27 -979,45 979,45

1991 -544,76 -748,77 748,77

1992 -748,77 -544,76 544,76

1993 -979,45 -453,70 453,70

1994 -453,70 211,27 211,27

1995 -4157,42 502,61 502,61

1996 -3921,19 1536,07 1536,07

1997 -2371,63 1587,73 1587,73

1998 502,61 1596,75 1596,75

1999 -1791,92 1618,97 1618,97

2000 6327,21 6327,21 6327,21

n=16 r= -0,00178299

te= 0,006671338

α=0,05, n-2=14

tt=2,145

Wniosek:

3

1

te<tt -nie ma podstaw do odrzucenia H0 (współczynnik korelacji modułów reszt z czasem

nieistotnie różni się od zera)

Badanie autokorelacji odchyleń losowych

t et et-1 (et-et-1) 2

et 2

et-2 1985 1588,24 - - 2522497,35 - 1986 1587,73 1588,24 0,260600825 2520876,05 -

1987 1596,75 1587,73 81,47131109 2549619,63 1588,24 1988 1536,07 1596,75 3682,293329 2359513,92 1587,73

1989 1618,97 1536,07 6871,763831 2621054,28 1596,75

1990 211,27 1618,97 1981615,552 44634,32 1536,07 1991 -544,76 211,27 571581,3101 296765,20 1618,97

1992 -748,77 -544,76 41620,18489 560659,29 211,27 1993 -979,45 -748,77 53213,48908 959326,90 -544,76

1994 -453,70 -979,45 276418,7763 205840,89 -748,77

1995 -4157,42 -453,70 13717572,23 17284149,51 -979,45 1996 -3921,19 -4157,42 55804,55944 15375739,88 -453,70

1997 -2371,63 -3921,19 2401145,376 5624620,16 -4157,42 1998 502,61 -2371,63 8261256,091 252618,74 -3921,19

1999 -1791,92 502,61 5264893,183 3210990,13 -2371,63

2000 6327,21 -1791,92 65920356,57 40033606,99 502,61 6327,21 98556113,12 96422513,25 -1791,92

6327,21

ret, ret-1= 0,35508146 α=0,05, n-2-1=13 k=1

te= 1,369507907 tt=2,160

Wniosek:

te<tt nie ma podst. do odrzucenia H0 (nie występuje autokorelacja odchyleń losowych

pierwszego rzędu)

ret, ret-2= 0,40688811

3

2

te= 1,543005675 α=0,05, n-2-2=12 k=1

tt=2,179

Wniosek

:

te<tt nie

ma

podstaw.

do

odrzucen

ia Ho

(nie

występuj

e

autokorel

acja

odchyleń

losowyc

h

drugiego

rzędu)

4.Oszacowanie modelu z trzema zmiennymi

objaśniającymi

t Y X2 X6 X9

1985 327,20 115,10 428,60 10,00

1986 423,93 117,70 540,60 10,00

1987 588,02 125,20 719,20 10,00

1988 925,59 160,20 1177,90 25,00

1989 6401,60 351,10 7389,60 61,00

1990 15126,10 685,80 19059,70 104,00

1991 20484,50 170,30 26102,20 58,50

1992 33309,50 143,00 41108,80 38,00

1993 45942,00 135,30 55924,40 34,00

1994 65028,10 132,30 77301,90 39,00

1995 84725,30 127,10 104254,70 23,50

1996 113098,50 119,80 136662,40 18,50

1997 149181,20 113,10 176437,10 20,90

1998 190554,60 109,70 220779,80 12,03

1999 225306,00 107,00 263448,70 12,21

2000 260365,70 110,10 294478,40 13,00

Odc stand 86968,08 147,92 100125,82 25,58

średnie aryt 75736,74 176,43 89113,38 30,60

wspoł zm 1,14829441 0,838404 1,123577968 0,835884

3

3

Mcierz X

115,10 428,60 10,00 1

117,70 540,60 10,00 1

125,20 719,20 10,00 1

160,20 1177,90 25,00 1

351,10 7389,60 61,00 1

685,80 19059,70 104,00 1

X = 170,30 26102,20 58,50 1

143,00 41108,80 38,00 1

135,30 55924,40 34,00 1

132,30 77301,90 39,00 1

127,10 104254,70 23,50 1

119,80 136662,40 18,50 1

113,10 176437,10 20,90 1

109,70 220779,80 12,03 1

107,00 263448,70 12,21 1

110,10 294478,40 13,00 1

x

x x xx

xn

2

2

21

2

212

2

11

1

x x

xx XX

T

826196,86 178583301 137106,15 2822,8

XT*X = 178583301 2,774E+11 28851307 1425814

137106,15 28851307 24799,365 489,64

2822,8 1425814 489,64 16

3

4

det xTx= 1,328E+21

1,516E-05 -4,05E-10 -7,893E-05 -0,0002223

(XT*X)^-1 = -4,05E-10 7,816E-12 1,386E-08 -1,049E-06

-7,893E-05 1,386E-08 0,0005306 -0,0035494

-0,0002223 -1,049E-06 -0,0035494 0,3038581

det xTx-1=7,533E-22

150869502 11,086111

Xt*Y = 2,385E+11 b = 0,8672424

24191737 -64,653228

1211787,8 -1523,4753

ttt XXXy 9362210

t Y X2 X6 X9 Y ̂= X*b e = Y - Y^ e 2̂

1985 327,20 115,10 428,60 10,00 -522,296 849,50 721643,79

1986 423,93 117,70 540,60 10,00 -396,341 820,27 672844,78

1987 588,02 125,20 719,20 10,00 -158,306 746,33 557002,25

1988 925,59 160,20 1177,90 25,00 -342,286 1267,88 1607510,30

1989 6401,60 351,10 7389,60 61,00 4833,586 1568,01 2458668,81

1990 15126,10 685,80 19059,70 104,00 15884,82 -758,72 575661,84

1991 20484,50 170,30 26102,20 58,50 19219,21 1265,29 1600957,67

1992 33309,50 143,00 41108,80 38,00 33256,31 53,19 2829,08

1993 45942,00 135,30 55924,40 34,00 46278,28 -336,28 113082,54

1994 65028,10 132,30 77301,90 39,00 64461,23 566,87 321344,13

1995 84725,30 127,10 104254,70 23,50 88780,32 -4055,02 16443158,31

1996 113098,50 119,80 136662,40 18,50 117128 -4029,49 16236757,78

3

5

1997 149181,20 113,10 176437,10 20,90 151392,8 -2211,65 4891388,25

1998 190554,60 109,70 220779,80 12,03 190384,5 170,10 28934,01

1999 225306,00 107,00 263448,70 12,21 227347,2 -2041,21 4166537,71

2000 260365,70 110,10 294478,40 13,00 254240,8 6124,93 37514733,47

87913054,73

e T e = 87913055 S

2 = e

T e/(n-(k + 1))

S 2 = 7992095,9 S

2 - wariancja składnika losowego

S = 2827,0295 S - standardoy bład oceny

Y^ = X*b

e = Y - Xb = Y - Y^

11,0861106

b = 0,86724242 121,1258 -0,00324 -630,81172 -1776,786719

-64,653228 D 2 = -0,00324 6,25E-05 0,11080671 -8,386751055

-1523,4753 -630,812 0,110807 4240,96344 -28367,48614

-1776,79 -8,38675 -28367,486 2428463,276

S(b2) = 11,00572

S(b6) = 0,007904

S(b9) = 65,12268

S(b0) = 1558,353

Wnioski:

Podczas szacowania modelu zmiennej Yt względem zmiennej Xt otrzymano oceny

parametrów wynoszące odpowiednio : a0 =-1523,4753; a1 = 11,0861106i a2 =0,86724242,

a3=-64,653228.

5.Oceny dopasowania modelu do danych empirycznych

Badanie dopuszczalności modelu

o Współczynnik zbieżności:

n

t

n

t

yy

e

1

2

1

2

2

)(

3

6

%00007752

Wniosek:

Oznacza to ze współczynnik przyjmuje wartości bliskie 0-ru, co świadczy o dobrym

dopasowaniu modelu do danych empirycznych. 0,000775% zmienności zmiennej objaśnianej

nie zostało wyjaśnione przez zmienna objaśnianą modelu.

o Współczynnik determinacji:

n

t

n

t

yy

e

R

1

2

2

12

)(

1

%9,992R

Wniosek:

Wynik jest wynikiem bardzo złym, gdyż informuje, że model jedynie w 99,9% wyjaśnia

zmienną objaśnianą. 99,9% zmienności zm. objaśnianej zostało wyjaśnione przez zm.

objaśniającą modelu

Badanie normalności

Badanie normalności polega na weryfikacji hipotezy mówiącej o tym, że dystrybuanta

odchyleń F(E) jest równa dystrybuancie rozkładu normalnego FN(E)

H0: F(E) = FN(E)

H1: R(E) ≠FN(E)

e = Y - Y^ Uporządk e e^2 e' F(e') CELE 0,0625

849,50 849,50 721643,79 0,36240547 0,641475 0 0,0625 ++

820,27 -4055,02 16443158,31 -1,7299196 0,041822 0,0625 0,125

746,33 -4029,49 16236757,78 -1,719028 0,042805 0,125 0,1875 +

3

7

1267,88 -2211,65 4891388,25 -0,9435162 0,172708 0,1875 0,25 +

1568,01 -2041,21 4166537,71 -0,8708051 0,19193 0,25 0,3125

-758,72 -758,72 575661,84 -0,3236809 0,37309 0,3125 0,375 +

1265,29 -336,28 113082,54 -0,1434601 0,442963 0,375 0,4375

53,19 53,19 2829,08 0,02269114 0,509052 0,4375 0,5 +

-336,28 170,10 28934,01 0,07256675 0,528925 0,5 0,5625 ++

566,87 566,87 321344,13 0,24183463 0,595546 0,5625 0,625 +

-4055,02 746,33 557002,25 0,31839173 0,624906 0,625 0,6875 +

-4029,49 820,27 672844,78 0,34993771 0,636807 0,6875 0,75

-2211,65 1265,29 1600957,67 0,53978801 0,705328 0,75 0,8125

170,10 1267,88 1607510,30 0,54089154 0,705709 0,8125 0,875

-2041,21 1568,01 2458668,81 0,66893408 0,748231 0,875 0,9375

6124,93 6124,93 37514733,47 2,61296889 0,995512 0,9375 1

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome