Ciągłość funkcji - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok
wiedzmin
wiedzmin18 March 2013

Ciągłość funkcji - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok

PDF (169.6 KB)
1 strona
600Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu topologii: ciągłość funkcji.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Topologia

Lista 4 (ci¡gªo±¢ funkcji)

Zad 1. Poda¢ przykªad funkcji na prostej euklidesowej, która jest ci¡gªa tylko w jednym punkcie.

Zad 2. Poda¢ przykªad funkcji na prostej euklidesowej, ci¡gªej tylko w liczbach niewymiernych.

Zad 3. Niech (X, dX), (Y, dY ) b¦d¡ przestrzeniami metrycznymi. Wykaza¢, »e odwzorowanie f : X → Y jest

a) ci¡gªe w punkcie x0 ∈ X wtedy i tylko wtedy, gdy dla kazdego otwartego otoczenia V punktu f(x0) istnieje otwarte otoczenie U punktu x0 takie, »e U ⊂ f−1(V ).

b) ci¡gªe w ka»dym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego zbioru otwartego V ⊂ Y zbiór f−1(V ) jest otwarty.

Zad 4. Korzystaj¡c z topologicznej denicji ciagªo±ci, sprawdzi¢ ciagªo±¢ nast¦puj¡cych funkcji na prostej

euklidesowej R:

a) f(x) = 2x− 1 b) f(x) = bxc , 1 c) f(x) = x2, d) f(x) = x− bxc .2

Zad 5. Niech Y = {1, 2} b¦dzie wyposa»ony w topologi¦ dyskretn¡. Niech F b¦dzie funkcj¡ dan¡ przez diagram

3 q

z

X Y F

qcqb qa

q 2

q1

Wyznaczy¢ wszystkie topologi¦ na X = {a, b, c}, dla których F jest odwzorowaniem ci¡gªym.

Zad 6. Wyznaczy¢ wszystkie odwzorowania ci¡gªe f : X → Y , gdy a) X jest wyposa»ony w topologi¦ dyskretn¡, b) Y jest wyposa»ony w topologi¦ antydyskretn¡.

Zad 7. Pokaza¢, »e zbiór punktów staªych ci¡gªego odwzorowania f : X → X przestrzeni Hausdora X jest zbiorem domkni¦tym.

Zad 8. Udowodni¢, »e superpozycja funkcji ci¡gªych jest funkcj¡ ciagª¡; ponadto, je»eli (X, τX), (Y, τY ), (Z, τZ) s¡ przestrzeniami topologicznymi, funkcja f : X → Y jest ci¡gªa w punkcie x ∈ X, a funkcja g : Y → Z jest ci¡gªa w punkcie f(x) ∈ Y , to funkcja f ◦ g : X → Z jest ci¡gªa w punkcie x.

Zad 9. Niech (X, τX), (Y, τY ) b¦d¡ przestrzeniami topologicznymi. Wykaza¢, »e ci¡gªo±¢ odwzorowania f : X → Y jest równowa»na ka»demu z nast¦puj¡cych warunków

a) f−1(U) jest zbiorem otwartym dla ka»dego U ∈ B, gdzie B jest baz¡ topologii τY ,

b) f(A) ⊂ f(A) dla ka»dego A ⊂ X,

c) f−1(B) ⊂ f−1(B) dla ka»dego B ⊂ Y ,

d) f−1(Int (B)) ⊂ Int (f−1(B)) dla ka»dego B ⊂ Y .

Zad 10. Niech X i Y b¦da przestrzeniami topologicznymi oraz niech {Gt}t∈T b¦dzie otwartym pokryciem przestrzeni X. Udowodni¢, »e je»eli f : X → Y jest funkcj¡ tak¡, »e f : Gt → Y jest odwzorowaniem ci¡gªym dla ka»dego t ∈ Gt, to f : X → Y jest odwzorowaniem ci¡gªym.

Zad 11. Niech X i Y b¦da przestrzeniami topologicznymi oraz niech {Ft}t∈T b¦dzie domkni¦tym pokryciem przestrzeni X. Udowodni¢, »e je»eli f : X → Y jest funkcj¡ tak¡, »e f : Ft → Y jest odwzorowaniem ci¡gªym dla ka»dego t ∈ Ft, to f : X → Y jest odwzorowaniem ci¡gªym.

1bxc = max{k ∈ Z : k ≤ x} jest tak zwan¡ cz¦±ci¡ caªkowit¡ liczby x; inne nazwy: cecha, entier, podªoga 2x− bxc jest cz¦±ci¡ uªamkow¡ (mantys¡) liczby x

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome