Liczby zespolone - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok
komik86
komik8615 March 2013

Liczby zespolone - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok

PDF (184.9 KB)
1 strona
485Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy matematycznej: liczby zespolone.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Analiza matematyczna III Lista 10

Zad 1. Wykazać, że dla z, w ∈ C zachodzi a) z = z, d) Re z = z+z

2 ,

b) z + w = z + w, e) Im z = z−z 2i

, c) z · w = z · w, f) z · z = (Re z)2 + (Im z)2.

Zad 2. Przedstawić liczbę zespoloną w postaci biegunowej (trygonometrycznej).

Zad 3. Podać interpretację geometryczną mnożenia dwu liczb zespolonych. Wyciągnąć stąd następujące wnioski:

1) |z · w| = |z| · |w|, dla dowolnych z, w ∈ C,

2) |z|2 = zz, dla każdego z ∈ C,

3) wzór Moivre’a: zn = |z|n ( cos(nϕ) + i sin(nϕ)

) , gdzie ϕ = arg z,

4) istnieje dokładnie n pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej a 6= 0.

Zad 4. Wyznaczyć sumę oraz iloczyn wszystkich pierwiastków n-tego stopnia z jedynki.

Zad 5. Korzystając z własności modułu i sprzężenia liczb zespolonych wykazać, że dla dowol- nych z, w ∈ C zachodzi: a) |z+w| ≤ |z|+|w| (nierowność trójkąta), b) |z+w|2+|z−w|2 = 2(|z|2 + |w|2) (tożsamość równoległoboku).

Zad 6. Znaleźć |z| oraz arg z, gdy: a) z = (1 + i)(2 + i)(3 + i), b) z = 1+i

3−i , c) z = e iϕ + 1, ϕ ∈ (−π.π), d) z = (1+i)

n

(1−i)n .

Zad 7. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby:

a) 5, b) √ 2i, c) − 1−

√ 3i, d) 5+15i

3−i , e) ( 1+i

1+i √ 3 )2008

Zad 8. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone dane symbolami

a) 4 √ 1, b) 4

√ −2, c) 3

√ 1 + i, d) 3

√ −2 + 2i, e) 3

√√ 2i

Zad 9. Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiory:

A = {z ∈ C : Re (z) ≥ 0}, B = {z ∈ C : |z| ≤ 1},

C = {z ∈ C : |z − i− 1| ≤ 2}, D = {z ∈ C : 0 < arg (z) < 1 4 π ∧ |z| < 3},

E = {z ∈ C : |z| > 1 ∧ |z| < 2}, F = {z ∈ C : |z − 2 + 3i| = 2},

G = {z ∈ C : 0 ≤ arg (z) ≤ π 3 }, H = {z ∈ C : |z − 5| = |z + 1|},

I = {z ∈ C : 0 ≤ arg (iz) ≤ π}, J = {z ∈ C : Re (z2) > 2 oraz Im (z2) = 1}.

Zad 10. Wyznaczyć parametryczne równanie:

a) prostej przechodzącej przez punkty odpowiadające liczbom zespolonym z1, z2,

b) okręgu o środku z0 i promieniu r.

Zad 11. Wyznaczyć obraz kwadratu o wierzchołkach w punktach z1 = 0, z2 = 1, z3 = 1 + i, z4 = i, przy odwzorowaniu:

a) f(z) = iz, b) f(z) = 2iz, c) f(z) = 2iz + i, d) f(z) = z2.

Zad 12. Znaleźć, przy odwzorowaniu f(z) = 1 z2

obraz zbioru ograniczonego przez krzywe: |z| = 1

2 , |z| = 1, x = 0, y = x dla x ≥ 0.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome