Ekonomia matematyczna - Notatki - Ekonomia, Notatki'z Ekonomia. Cracow University of Economics
Misio_88
Misio_887 March 2013

Ekonomia matematyczna - Notatki - Ekonomia, Notatki'z Ekonomia. Cracow University of Economics

PDF (510.9 KB)
8 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu ekonomii: przedmiot ekonomii matematycznej, ograniczenie budżetowe, funkcja użyteczności i jej właściwości.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 8
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

Ekonomia matematyczna

Przedmiot ekonomii matematycznej.

1.1. Przedmiot ekonomii matematycznej

1.2. Modele zachowania konsumenta

1.3. Ograniczenie budżetowe

1.4. Własności zbioru budżetowego w 2R .

1.5. Zmiany linii budżetu

1.6. Właściwości preferencji.

1.7. Dodatkowe założenia.

1.8. Funkcja użyteczności.

1.9. Właściwości funkcji użyteczności.

1.10. Stopa substytucji i elastyczność

1.1. Przedmiot ekonomii matematycznej

Przedmiotem ekonomii matematycznej są modeli realnych ekonomicznych

procesów. Model to jest obiekt, który zastępuje oryginał i odwzorowuje najistotniejsze dla danego

badania cechy i właściwości oryginału. Metoda ekonomii ekonomicznej to jest systemowa analiza ekonomiki jak

skomplikowanego dynamicznego układu. Ekonomia Matematyczna tworze modele

matematyczne w postaci założeń o powiązaniu zmiennych ekonomicznych. W skutek różnorodności podmiotów gospodarczych i zmienności warunków, Ekonomia Matematyczna

dzieli się na szereg różnych modeli nie mających wartości uniwersalnej. Główni podstawowe matematyczne modele mikro- i makroekonomii:

 Modele zachowania konsumenta  Teoria produkcji

 Modele rynku  Modele równowagi

 Modele wzrostu gospodarczego

 Modele cyklu koniunkturalnego

1.2. Modele zachowania konsumenta

Jednej z najistotniejszych pojęciem teorii ekonomicznej jest teoria konsumenta. Głównym pytaniem tu jest ustalenie konsumpcji dla danych cen na dobra i dochodzie.

Konkretna decyzja o zakupach określonego koszyka dóbr matematycznie może być pokazana jako wybór punktu w przestrzeni towarów. Niech n - jest ograniczona ilość dóbr, a

n

n Rxxxx  ),...,,( 21 koszyk określonych dóbr w przestrzeni nR

Przestrzenią dóbr nazywa się zbiór wszystkich możliwych dóbr z dodatnimi współrzędnymi

 0:  xxX  X .

docsity.com

W przestrzeni dóbr wprowadzimy normę

i i

xmaxx  ,

i odpowiednio metrykę (odległość pomiędzy elementami)

  ii i

yxmaxy,x  .

Przykład. 1.1 Narysować w przestrzeni dóbr wszystkie koszyki

  20x,7x|x;xx 2121  , gdzie 1x są jajka, 2x męka. Obliczyć wielkość koszyka  5,7 i odległość pomiędzy koszykami  5,7 i  7,3 .

Rozwiązanie.

Wielkość koszyka:   75,7maxx i

 .

Odległość:        475;37maxyxmax7,3;5,7 i

ii i

 .

Definicja 1.1. Zbiór       00 x,x|xxU nazywa się  - otoczeniem. Definicja 1.2. Zbiór XY nazywa się otwarty, jeżeli każdy element x zbioru Y

należy do niego razem z pewnym otoczeniem  0xU . Przykład. 1.2 Narysować w przestrzeni dóbr wszystkie koszyki należące do otoczenia

 10;3U2 z przykładu 1.1.

Rozwiązanie.

Definicja 1.3.

Punkt Aa nazywa się punktem brzegowym zboru A, gdy w dowolnym otoczeniu tego punktu znajdują się punkty

należące i punkty nie należące do zbioru A.

1 2 3 4 5 6 7 X1

X2

20

X1 1 2 3 4 5 6 7

X2

20

10

docsity.com

Definicja 1.4. Zbiór XY nazywa się domknięty, jeżeli Y jest sumą niektórego otwartego zbioru A i wszystkich brzegowych punktów A.

1.3. Ograniczenie budżetowe

Załóżmy, że możemy obserwować ceny wszystkich dóbr n

n RpppP  ),...,,( 21 , oraz

budżet konsumenta m . Wtedy ograniczenie budżetowe może być zapisane jako

mxpxpxp nn  ...2211

Zbiór punktów n

n RxxxX  ),...,,( 21 , który spełniają ten warunek nazywa się zbiorem

budżetowym lub zbiorem dopuszczalnych koszyków.

1.4. Własności zbioru budżetowego w 2R .

Definicja 1.5. Linią budżetu nazywamy zbiór koszyków 2

21 ),(  RxxX , który

spełniają warunek

mxpxp  2211

Równanie linię budżetu może być również zapisane w postaci

1

2

1

2

2 x p

p

p

m x 

Jest to równanie prostej z nachyleniem

2

1

p

p  . Najprostszy sposób narysowania tej linii

– to połączyć punkty  

  

 0,

1p

m oraz 

  

2

,0 p

m .

Nachylenie linii budżetu ma jasną interpretacje ekonomiczną: mierzy ono stopę według której konsument jest skłonny zamienić dobro 1 na dobro 2:

mxpxp  2211

mxxpxxp  )()( 222111

...

2

1

p

p

1

2

x

x

  .

Występuje minus, ponieważ 21 , xx  zawsze mają znaki przeciwne.

Eliminacja jednego parametru.

1.5. Zmiany linii budżetu

Linia budżetu ma 3 parametry mpp ,, 21 , które mogą się zmienić. Z równania wynika, że

wzrost dochodu (budżetu) przesunie równolegle do góry linię budżetu i nie zmieni kont

nachylenia. Zmniejszenie ceny dobra 1 powoduje przesunięcie punktu przecięcia linii budżetu z

Linia budżetu

1x

2x

1pm

2p

m

docsity.com

poziomą osią na prawo. To znaczy, prosta staje się mniej stroma. Zmniejsza się kąt nachylenia.

Zmniejszenie ceny dobra 2 – bardziej stroma.

Zbiór budżetowy w przypadku racjonowania.

Rząd czasem nakłada ograniczenia w postaci racjonowania lub opodatkowania

konsumpcji większej niektórego poziomu. Niech 1x – racjonowane dobro.

a) Kartki konsumpcyjne: 11 xx  b)   



 

111

111

1 ,

,

xxtp

xxp cena (t – podatek)

Racjonowanie

1x

2x

1pm

2p

m

1x

1x 1x 1pm

2p

m

max1x

Później zobaczymy, że czasem sytuacji b) wynikają i w modelach bez racjonowania

(konsumpcja międzyokresowa).

W teorii konsumpcji zakłada się, że każdy konsument ma własne preferencji na

niektórym podzbiorze przestrzeni dóbr x. To oznacza, że dla dwóch dowolnych koszyków

Xx i Xy konsument potrafi ich uszeregować według stopnia pożądania i zawsze mamy

jedną z trzech relacji:

1. xy  , (mówimy y silnie preferowany nad x); 2. yx  , (mówimy x silnie preferowany nad y); 3. yx ~ , (koszyki x, y są obojętne (indyferentne)).

Wprowadzimy następujące relacji preferencji:

1. yx ~ , (mówimy x słabo preferowany nad y), co oznacza, że koszyk „y nie gorszy od koszyka x”.

2. yx  , (mówimy x silnie preferowany nad y), co oznacza, że koszyk x jest z pewnością lepszy od koszyka y.

3. yx ~ , (koszyki x, y są obojętne (indyferentne)).

Pierwsza relacja nazywają się relacjasłabej preferencji, druga relacja silnej preferencji,

trzecia relacja indeferentności.

Zmiany linii bud

żetu

1 x

2 x

1 pm

2 p

m

x10

x20

docsity.com

Podstawową relacją jest relacja słabej preferencji, na podstawie której możemy zdefiniować pozostałe relacji.

Definicja 1.5. Parę ~, X nazywamy polem preferencji konsumenta. Definicja 1.6. Niech Xyx , .

1. Mówimy, że koszyki x, y indyferentne, jeżeli równocześnie yx ~ i xy ~ . 2. Mówimy, że koszyk x jest silnie preferowany nad koszykiem y, jeżeli yx ~ i

 xy ~

1.6. Właściwości preferencji.

Relacja słabej preferencji ma następujące właściwości:

1. Dla Xx  , xx ~ (refleksyjność, zwrotność).

2. Dla Xyx  , xyyx ~~   (zupełność).

3. Jeżeli dla Xzyx  ,, zxtozyyx ~,~~   (przechodniość, tranzytywność). Aksjomat 3 wprowadza liniowy porządek w przestrzeni dóbr i daje możliwość konsumentowi

zawsze dokonywać konkretnego wyboru i nie zamykać się w błędnym kole, natomiast aksjomat 2 wyklucza istnienie sytuacji, gdy konsument nie jest w stanie powiedzieć, który z koszyków

jest lepszy. Relacja indeferencji spełnia warunki ekwiwalentności:

1. Dla Xx  , xx ~ (refleksyjność, zwrotność).

2. Dla Xyx  , yx ~ xy ~ (symetryczność).

3. Jeżeli dla Xzyx  ,, zxtozyyx ~,~~   (przechodniość, tranzytywność). To znaczy, przestrzeń dóbr rozbija się na zbiory, które nie mają wspólnych punktów. Takie zbiory nazywają się obszary obojętności. Obszar obojętności w przypadku 2 dóbr nazywamy

linią obojętności.

Własności relacji silnej preferencji.

1. Dla Xyx  , xyyx   (zupełność).

2. Jeżeli dla Xzyx  ,, zxtozyyx ~,~~   (przechodniość, tranzytywność).

1.7. Dodatkowe założenia.

Definicja 1.7. Relację preferencji nazywamy ciągłą, jeżeli y zbiory  yxx | i  xyx | są zbiorami otwartymi w przestrzeni dóbr X. Interpretacja: eps. otoczenie, koszyki bliskie lepszego są lepsze...

Przykład. 1.3 Konsument kupuje bezpośrednio u rybaków skrzynie ze słabo słonymi śledziami. Relacja preferencji wygląda następująco: nie gorsze śledzie to takie, które są

wcześniej wyłowione, ale nie wcześniej niż po 2 dobach i nie później niż po 5 dobach (tylko po takim terminie śledzie będą odpowiednio słone). Czy relacja preferencji jest relacją

ekwiwalentności? Czy spełnia założenie zupełności? Czy relacja preferencji jest ciągła?

Narysować na osi czasu wszystkie koszyki należące do otoczenia  21U i  52U . Rozwiązanie.

 21U  52U

Definicja 1.8. Niech Mjest niepustym podzbiorem pola preferencji  ~, X .Mx nazywamy M – preferowanym koszykiemi oznaczamy

x=m.pref.M, jeżeli My jest słabo preferowany nad yx ~ . Przykład. 1.4 Wyznaczyć M – preferowany koszyk w przykładzie 1.3.

t 1 2 3 4 5 6 7

docsity.com

Rozwiązanie. (2) Definicja 1.9. Zbiór M nazywa sięwypukły, jeżeli dowolne dwa jego punkty można

połączyć odcinkiem, należącym do zbioru M.

Definicja 1.10. Pole preferencji  ~, X nazywamy słabo wypukłe, jeżeli 1. Przestrzeń towarów jest zbiorem wypukłym

2. Dla Xy zbiór  yxXx ~|  jest zbiorem wypukłym w przestrzeni dóbr X. Interpretacja w R2

Definicja 1.11. Pole preferencji  ~, X nazywamy silnie wypukłe, jeżeli 1. Przestrzeń towarów jest zbiorem wypukłym

2. Dla  1,0,   , Xyx  , ( yx ~ , yx  ) yyx   . Xy zbiór  yxXx ~|  jest zbiorem wypukłym w przestrzeni dóbr X.

W większości modeli przypuszczamy, że są spełnione 3 dodatkowe założenia:

Z1. Monotoniczność (zjawisko niedosytu): jeżeli x<y xy  .

Z2. Pole preferencji  ~, X - wypukłe. Z3. yx ~ - relacja ciągła.

Twierdzenie 1.1. Jeżeli pole preferencji  ~, X jest słabo wypukłym, M jest niepustym, wypukłym podzbiorem X i istnieje M preferowany koszyk, to zbiór wszystkich M-

preferowanych koszyków jest wypukły.

Twierdzenie 1.2. Jeżeli pole preferencji  ~, X jest silnie wypukłym, to w wypukłym zbiorze M istnieje nie więcej niż jeden M - preferowany koszyk.

1.8. Funkcja użyteczności.

Relację preferencji jest nie zbyt wygodna dla praktycznego zastosowania. Dla

niektórych słabych założeniach

preferencji wygodnie przedstawiać w postaci liczbowego indykatora preferencji funkcji

użyteczności, która dozwala zastąpić relację preferencji zwykłej relacją więcej.

Definicja 1.12. Określoną na przestrzeni dóbr funkcje RRU n : nazywamy funkcją

użyteczności konsumenta związaną z relacją ~ , jeżeli Xyx  , spełnia ona następujące

warunki:

1. )()( yUxU   yx ~

2. )()( yUxU   yx

Twierdzenie. 1.3. (Debreu). Jeżeli relacja preferencji jest ciągła, to istnieje ciągła

funkcja użyteczności, związana z tą relacją

Twierdzenie 1.4. Jeżeli U(x) – funkcja użyteczności, RRf : – funkcja rosnąca, to

superpozycja f(U(x)) jest funkcją użyteczności związaną z tą samą relacją.

Przykłady funkcji użyteczności w 2

R :

multiplikatywna -   21 2121; 

xaxxxU  , dla 0;1;,;0, 211121  aoxx  ;

logarytmiczna -   221121 lnln; xxxxU   , dla 0,;0, 1121  xx ;

addytywna -   21 221121;   xxxxU  , dla 1,0,,;0, 211121   oxx ;

docsity.com

1.9. Właściwości funkcji użyteczności.

W dalszych rozważaniach zakładamy, że spełnione warunki następnego twierdzenia

Twierdzenie 1.5. Niech relacja preferencji jest słabo wypukła i znajdujemy się w

warunkach niedosytu, wtedy odpowiednia funkcja użyteczności jest quasi wklęsłą i rosnącą.

Więc funkcja użyteczności ma następujące właściwości:

1.  

0 ;; 21 

i

n

x

xxxU  - zjawisko niedosytu (większe koszyki zawsze lepszy).

2.  

0 ;;

2

21

2

 

i x

xxxU n - dla zwiększających się koszyków różnica w korzyści

pomiędzy koszykami dla konsumenta maleje (prawo Gossena: macierz drugich

pochodnych jest ujemne określona).

3.  

 

i

n

ox x

xxxU

i

;; 21 lim - olbrzymie korzyści dla konsumenta od bardzo małych

koszyków.

4.  

0 ;; 21

lim  

 i

n

x x

xxxU

i

 - dla olbrzymich koszyków dalsze ich zwiększenie nie

zwiększa ich przydatność.

Więc w przypadku dwuwymiarowych koszyków krzywa obojętności   constxxU 21; jako

funkcja uwikłana może być zapisana w postaci  12 xgx  , gdzie funkcja g ma poziomą i

pionową asymptoty i jest wklęsła.

Nie ma sensu mówić o użyteczności, jako o liczbowej mierze zadowolenia. F.Uż. po prostu wprowadzają liczbową charakterystykę relacji preferencji.Przykład. U=x1

2x2, U’=x1 2/3x2

1/3. Te

same linii obojętności, różne wartości.

1.10. Stopa substytucji i elastyczność

Definicja 1.13.Krańcową użytecznością i-tego towaru nazywamy

iMU  

i

n

x

xxxU

 ;; 21 .

Dla naszych założeń krańcowa użyteczność i-tego dobra maleje wraz z zrostem jego

spożycia.

Definicja 1.14. Wyrażenie

ijsij MRSs  =

j

i

MU

MU

docsity.com

nazywamy krańcową stopą substytucji i-tego dobra przez j-te dobro.

Definicja 1.15. Wyrażenie

j

i

ijij x

x s

nazywamy elastycznością substytucji i-tego dobra przez j-te dobro.

MRS pokazuje o ile powinna zwiększyć się ilość j-tego dobra przy zmniejszeniu o

jednostkę i-tego dobra, aby użyteczność koszyka nie zmieniła się.

Elastyczność mierzy to samo dla procentowych zmian. Elastyczność nie zależy od skali

pomiaru dóbr.

Przykład: MRS i elastyczność dla Cobba-Douglasa.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome