Elementy teorii operatorów nieograniczonych - Ćwiczenia - Teoria operatorów, Notatki'z Teoria operatorów. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Elementy teorii operatorów nieograniczonych - Ćwiczenia - Teoria operatorów, Notatki'z Teoria operatorów. University of Bialystok

PDF (150.7 KB)
2 strony
334Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii operatorów: elementy teorii operatorów nieograniczonych.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Teoria operatorów nieograniczonych

Lista 4 (elementy teorii operatorów nieograniczonych)

Zad 1. Pokaza¢, »e dla operatorów niekoniecznie zdeniowanych na caªej przestrzeni

a) T1(T2T3) = (T1T2)T3, b) T1 ⊂ T2 =⇒ ST1 ⊂ ST2 oraz T1S ⊂ T2S.

Zad 2. Niech T b¦dzie operatorem z (niekoniecznie g¦st¡) dziedzin¡ D(T ) oraz niech

D(T ∗) = {y ∈ H : D(T ) 3 x 7→ (y|Tx) jest odwzorowaniem ci¡gªym}

Uzasadni¢, »e:

a) dla ka»dego y ∈ D(T ∗) istnieje T ∗y ∈ H taki, »e

(T ∗y|x) = (y|Tx) dla ka»dego x ∈ D(T ),

i wyci¡gn¡¢ st¡d wniosek, »e

D(T ∗) = {y ∈ H : istnieje z ∈ H takie, »e (z|x) = (y|Tx) dla ka»dego x ∈ D(T )}

b) T ∗y jest wyznaczony jednoznacznie ⇐⇒ T jest g¦sto okre±lony oraz wtedy T ∗ : D(T ∗) 7→ H jest operatorem liniowym, którego wykres jest domkni¦tym podzbiorem H ⊕H oraz D(T ) ⊂ D(T ∗∗).

d) je»eli T jest g¦sto okre±lony, to T ∗ jest g¦sto okre±lony ⇐⇒ T jest operatorem do- mykalnym.

e) Poda¢ przykªad g¦sto okre±lonego operatora T , dla którego D(T ∗) = {0}.

Zad 3. Rozwa»my operatory T1, T2, T3 na przestrzeni H = L 2[0, 1] dane wzorem

Tkf = if ′, dla f ∈ D(Tk),

gdzie

D(T1) = {f absolutnie ci¡gªa na [0, 1] i f ′ ∈ L2[0, 1]}, D(T2) = D(T1) ∩ {f : f(0) = f(1)} D(T3) = D(T1) ∩ {f : f(0) = f(1) = 0}.

Pokaza¢, »e T ∗1 = T3, T

∗ 2 = T2, T

∗ 3 = T1

i wyci¡gn¡¢ st¡d wniosek, i» mimo »e T3 ( T2 ( T1, to wszystkie trzy operatory T1, T2, T3 s¡ domkni¦te, T2, T3 s¡ symetryczne oraz tylko T2 jest samosprz¦»ony.

Zad 4. Niech T b¦dzie g¦sto okre±lony. Pokaza¢, »e T ∈ C(H) wtedy i tylko wtedy, gdy przestrze« D(T ) wraz z norm¡

‖x‖T = ‖x‖+ ‖Tx‖

jest przestrzeni¡ Banacha. Ponadto, je±li traktowa¢ D(T ) jako tak okre±lon¡ przestrze« Banacha, to T : D(T )→ H staje sie operatorem ograniczonym.

docsity.com

Zad 5. Pokaza¢, »e suma operatora ograniczonego i operatora domkni¦tego jest operato- rem domkni¦tym.

Zad 6. Niech H = `2. Dla zbioru G ⊂ H ⊕H, gdzie

a) G = {(x(1), x(2), ....)⊕ (x(1)2, x(2)2, x(3)2, ....) : ∑∞

n=1 |x(n)|4 <∞},

b) G = {(x(2), x(3), ....)⊕ (x(1), 2x(2), 3x(3), 4x(4), ....) : ∑∞

n=1 n 2|x(n)|2 <∞},

c) G = {(0, x(1), x(2), ....)⊕ (x(1), 2x(2), 3x(3), ....) : ∑∞

n=1 n 2|x(n)|2 <∞},

d) G = {(x(1), (x(2), ....)⊕ (2x(2), 3x(3), 4x(4), ....) : ∑∞

n=1 n 2|x(n)|2 <∞},

wyznaczy¢ G⊥ oraz sprawdzi¢, czy G lub G⊥ s¡ wykresami pewnych operatorów liniowych. Je»eli tak to wyznaczy¢ te operatory, sprawdzi¢ czy s¡ domkni¦te oraz wyznaczy¢ operatory do nich sprz¦»one.

Zad 7. Wykaza¢, »e jezeli T jest domykalny oraz istnieje (T )−1, to T−1 jest domykalny oraz T−1 = (T )−1

Zad 8. Pokaza¢, »e operator T w przestrzeni Hilberta H = `2, gdzie

T (x(1), x(2), ..., x(n), 0, 0, ...) =

( n∑

k=1

x(k), 0, 0, ...

) , D(T ) = {(x(1), ..., x(n), 0, 0, ...) ∈ `2}

jest operatorem niedomykalnym.

Zad 9. Niech g ∈ L2[0, 1]. Rozwa»my nast¦puj¡ce trzy zagadnienia brzegowe zadane przez równanie ró»niczkowe

f ′′ − f = g, oraz nast¦puj¡ce warunki brzegowe

a) f ′(0) = f ′(1) = 0, b) f(0) = f(1) i f ′(0) = f ′(1), c) f(0) = f(1) = 0,

gdzie f ′ jest absolutnie ci¡gªa f ′′ ∈ L2[0, 1].

a) Pokaza¢, »e ka»dy z tych problemów ma jednoznaczne rozwi¡zanie f .

b) Wyznaczy¢ operatory postaci (T ∗kTk + I) −1, k = 1, 2, 3, dla operatorów z zadania 3.

Zad 10. Niech H = `2 i T b¦dzie operatorem mno»enia przez ci¡g a = (a(1), a(2), ...) i D(T ) = {x ∈ `2 : (a(1)x(1), a(2)x(2), ...) ∈ `2}.

a) Pokaza¢, »e T jest operatorem domkni¦tym i wyznaczy¢ T ∗

b) Wyznaczy¢ z-transformat¦ operatora T .

c) Wyznaczy¢ rozkªad biegunowy operatora T .

d) Wyznaczy¢ jednoparametrow¡ grup¦ operatorów unitarnych generowan¡ przez T , przy zaªozeniu, »e T = T ∗.

Zad 11. Uzasadni¢, »e ka»dy operator ograniczony dodatni jest samosprz¦»ony i poda¢ przykªad nieograniczonego operatora dodatniego nie b¦d¡cego samosprz¦»onym.

Zad 12. Niech zT b¦dzie z-transformat¡ operatora T ∈ C(H). Pokaza¢, »e T jest samo- sprz¦»onym dodatnim wtedy i tylko wtedy, gdy zT jest operatorem dodatnim.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome