Przestrzeń Hilberta, operatory ograniczone - Ćwiczenia - Teoria operatorów, Notatki'z Teoria operatorów. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Przestrzeń Hilberta, operatory ograniczone - Ćwiczenia - Teoria operatorów, Notatki'z Teoria operatorów. University of Bialystok

PDF (184.4 KB)
2 strony
551Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii operatorów: przestrzeń Hilberta, operatory ograniczone.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Teoria operatorów nieograniczonych

Lista 1 (elementarz teorii przestrzeni Hilberta oraz operatorów ograniczonych)

Zad 1. Pokaza¢, »e ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + 2Re (x|y) + ‖y‖2 dla dowolnych wektorów x, y przestrzeni pre-Hilbertowskiej.

Zad 2. Niech H b¦dzie przestrzeni¡ pre-Hilbertowsk¡ i niech x, y ∈ H. Wykaza¢ a) |(x|y)| ≤ ‖x‖ · ‖y‖ (nierówno±¢ Cauchy'ego-Schwartza) b) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (nierówno±c trójk¡ta)

gdzie ‖x‖ = √

(x|x). Wysnu¢ st¡d wniosek, »e przestrze« pre-Hilbertowska jest w naturalny sposób przestrzeni¡ unormowan¡ oraz »e w topologii zadanej przez metryk¦ d(x, y) = ‖x − y‖ iloczyn sklarany (x|y) jest ci¡gªy ze wzgl¦du na obie wspóªrz¦dne.

Zad 3. Sprawdzi¢, czy podany wzór okre±la iloczyn skalarny: a) (x|y) =

∑∞ n=1 x(n)y(n) w przestrzeni ci¡gów (absolutnie) sumowalnych w kwadracie,

b) (x|y) = ∫ b a x(t)y(t) dt w przestrzeni funkcji (absolutnie) caªkowalnych w kwadracie na prze-

dziale [a, b].

Zad 4 (wzór polaryzacyjny). Pokaza¢, »e dla x, y nale»¡cych do przestrzeni pre-Hilbertowskiej zachodzi wzór (x|y) = 1

4

∑3 k=0 i

k‖x+ iky‖2. Zatem, iloczyn skalarny (je±li istnieje) jest przez norm¦ wyznaczony jednoznacznie.

Zad 5 (uogólniona to»samo±¢ równolegªoboku). Pokaza¢, »e je»eli x, y ∈ H s¡ wektorami zespolonej przestrzeni unitarnej H oraz α ∈ C jest pierwiastkiem pierwotnym z 1 stopnia N , to

1

N

N−1∑ k=0

‖x+ αky‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2.

Zad 6. Niech N > 1. Pokaza¢, »e przestrze« unormowana (CN , ‖ · ‖p), p ∈ [1,∞), z tak zwan¡ p-t¡ norm¡ ‖x‖p = (

∑N n=1 |x(n)|p)

1 p speªnia to»samo±¢ równolegªoboku wtedy i tylko wtedy, gdy

p = 2.

Zad 7. Niech H b¦dzie przestrzeni¡ pre-Hilbertowsk¡ i niech x, y ∈ H. Pokaza¢, »e je±li x⊥y, to a) ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 (twierdzenie Pitagorasa), b) ‖x+ y‖ = ‖x− y‖ (twierdzenie o równo±ci dªugo±ci przek¡tnych prostok¡ta).

Wykaza¢, »e je±li H jest przestrzeni¡ rzeczywist¡, to prawdziwe s¡ tak»e implikacje odwrotne, je±li za± H jest przestrzeni¡ zespolon¡ to implikacje odwrotne nie maj¡ miejsca.

Zad 8. Pokaza¢, »e w zespolonej przestrzeni pre-Hilbertowskiej nast¦puj¡ce warunki s¡ równo- wa»ne

a) x⊥y, b) ‖x+ y‖2 = ‖x+ iy‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2, c) ∀t∈C ‖x+ ty‖ = ‖x− ty‖.

Zad 9 (charakteryzacje wypukªo±ci). Niech ∆ b¦dzie domkni¦tym podzbiorem przestrzeni unor- mowanej. Uzasadni¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

i) x, y ∈ ∆ =⇒ x+y 2 ∈ ∆ (zamkni¦to±¢ na branie ±redniej arytemtycznej)

ii) x, y ∈ ∆, λ ∈ [0, 1] =⇒ λx+ (1− λ)y ∈ ∆ (zamkni¦to±¢ na kombinacje wypukªe)

Zad 10. Niech x, y b¦d¡ niezerowymi wektorami przestrzeni Hilberta H. Wyznaczy¢ rozkªad ortogonalny x = x′′ + x⊥, gdzie x′′ ∈ K, x⊥ ∈ K⊥ i K jest jednowymiarow¡ podprzestrzeni¡ H rozpi¦t¡ przez y.

docsity.com

Zad 11. W przestrzeni L2[0, 1] (funkcji caªkowalnych w kwadracie) wyznaczy¢ odlegªo±¢ punktu

x(t) = t od podprzestrzeni K = {x ∈ L2[0, 1] : ∫ 1 0 etx(t)dt = 0}.

Zad 12. W przestrzeni `2 (ci¡gów sumowalnych w kwadracie) wyznaczy¢ podprzestrze« ortogo- naln¡ K⊥ do K:

a) K = {x ∈ `2 : x(1) + x(2) = 0} b) K = {x ∈ `2 : x(1) = x(2)}

c) K = {x ∈ `2 : x(2n) = 0, n ∈ N} d) K = {x ∈ `2 : x(1) = x(3) = x(5) = ...}.

Zad 13. Niech a : X → Y b¦dzie operatorem liniowym mi¦dzy dwoma przestrzeniami unormo- wanymi X, Y . Udowodni¢, »e nast¦pujace warunki sa równowa»ne

i) a jest operatorem ci¡gªym, iii) sup‖x‖≤1 ‖ax‖ <∞,

ii) a jest operatorem ci¡gªym w zerze, iv) a jest operatorem ograniczonym.

Zauwa»y¢ przy tym, »e je±li A jest ograniczony, to

‖a‖ = inf{C : ‖ax‖ ≤ C‖y‖ dla ka»dego x} = sup ‖x‖≤1

‖ax‖.

Zad 14. Pokaza¢, »e przestrze« operatorów ograniczonych B(X, Y ) wraz z dziaªaniami okre±lo- nymi punktowo i norm¡ operatorow¡ stanowi przestrze« unormowan¡, która jest przestrzeni¡ Ba- nacha, o ile Y jest przestrzeni¡ Banacha.

Zad 15. Wykaza¢, »e przestrze« Banacha B(X) operatorów ograniczonych na przestrzeni Banacha X wraz z mno»eniem zdeniowanym jako zªo»enie operatorów jest algebr¡ Banacha.

Zad 16. Niech H b¦dzie przestrzeni¡ Hilberta. Wykaza¢, »e sprz¦»enie hermitowskie okre±la na algebrze Banacha B(H) operacj¦ ∗ : B(H)→ B(H) posadaj¡c¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci

i) (a∗)∗ = a, (inwolutywno±¢) iii) (λa)∗ = λa∗ (anty-jednorodno±¢),

ii) (a+ b)∗ = a∗ + b∗ (addytywno±¢), iv) (ab)∗ = b∗a∗ (anty-multiplikatywno±¢),

gdzie a, b ∈ B(H), λ ∈ C, oraz zachodzi tak zwana C∗-równo±¢

‖a‖2 = ‖a∗a‖.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome