Ruch złożony - Notatki - Mechanika, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
dlugie_nogi
dlugie_nogi15 March 2013

Ruch złożony - Notatki - Mechanika, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (430.7 KB)
8 strona
3Liczba pobrań
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z mechaniki: ruch złożony; ruch unoszenia, względny i bezwzględny, prędkość i przyśpieszenie w ruchu złożonym punktu
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 8
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny Przy omawianiu ruchu punktu lub bryły zakładaliśmy, że punkt lub bryła poruszały się względem układu odniesienia x, y, z uważanego za nieruchomy.

Można rozpatrzyć taki przypadek, że wspomniany układ odniesienia będzie się poruszał względem innego układu, uważanego wtedy za nieruchomy. Wówczas ruch punktu lub bryły nazywamy ruchem złożonym.

Ruch punktu lub bryły względem układu nieruchomego nazywamy ruchem bezwzględnym, a ruch tego samego punktu lub bryły względem układu ruchomego ruchem względnym.

R u p o b n k p b t z n

x

z

x′

z′

y′

y

rO′

r O

r

L Lw

M

O′

Rys. 5.24. Ruch złożony punktu

uch ruchomego układu odniesienia względem nieruchomego nazywamyruchem noszenia.

W dalszej części rozpatrzymy jedynie ruch złożony punktu. Niech punkt M orusza się w sposób dowolny, nie związany ani z nieruchomym układem dniesienia x, y, z, ani z ruchomym ′ ′ ′x y z, , (rys. 5.24). Jeżeli ruch tego punktu ędzie obserwowany przez dwóch obserwatorów − jednego związanego z układem ieruchomym x, y, z, a drugiego związanego z układem ruchomym − to ażdy z obserwatorów będzie „widział” ruch punktu M w inny sposób (inny tor, rędkość, przyśpieszenie).

′ ′ ′x y z, ,

Tor, jaki zakreśli punkt M w układzie nieruchomym, nazywamy torem ezwzględnym L, a w układzie ruchomym torem względnym Lw. Każdy z punktów oru względnego, zatem i punkt znajdujący się w tym samym miejscu co punkt M, akreśli pewien tor Lu. Ruch tego punktu względem układu nieruchomego azywamy ruchem unoszenia punktu M w rozważanej chwili.

docsity.com

5.4.2. Prędkość i przyśpieszenie w ruchu złożonym punktu W celu wyprowadzenia wzorów na prędkość i przyśpieszenie punktu M postąpimy podobnie jak podczas rozpatrywania kinematyki dowolnego punktu bryły w ruchu ogólnym, ale teraz punkt ten będzie się poruszał względem bryły. Zatem wektor wodzący punktu M w układzie ruchomym ′r ′ ′ ′x y z, , nie będzie stały, będzie się zmieniał zarówno jego kierunek, jak i moduł:

′ = ′ ≠r constr . (a)

Wektor wodzący punktu M, zgodnie z rys. 5.24, jest sumą dwóch wektorów:

r r r= + ′′O . (5.76) Podobnie jak w ruchu ogólnym bryły (p. 5.3.2) wektor jest wektorem łączącym początki obu układów współrzędnych. Zapiszemy go analitycznie w nieruchomym układzie współrzędnych x, y, z:

r ′O

r i j′ ′ ′ ′ k= + +O O O Ox y z . (5.77)

Wektor jest wektorem wodzącym punktu M w układzie ′r ′ ′ ′x y z, , . Można go wyrazić za pomocą współrzędnych w tym układzie:

′ = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′r i jx y z k . (5.78)

Współrzędne tego wektora na podstawie wzoru (a) będą się zmieniać wraz z ruchem punktu M względem układu ruchomego ′ ′ ′x y z, , . Można je zatem zapisać w postaci funkcji czasu, które będą równaniami ruchu względnego punktu M:

( ) ( ) ( )′ = ′ ′ ′ ′ ′x x t , y = y t , z = z t . (5.79) Prędkość punktu M jest pochodną wektora wodzącego (5.76) względem czasu:

v r r= + ′′d d d t

O

d t . (5.80)

Pochodna wektora jest znaną z p. 5.3.2 prędkością początku ruchomego układu współrzędnych:

r ′O ′O

v r

i j′ ′ ′ ′ ′= = + +O

O O O Od dt

dx dt

dy dt

dz dt

k . (b)

Pochodna wektora po zróżniczkowaniu wzoru (5.78) ma postać: ′r

docsity.com

d dt

dx dt

dy dt

dz dt

x d dt

y d dt

z d dt

′ = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′+ ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ r i j k i j k . (c)

Pierwsze trzy wyrazy w powyższym wzorze przedstawiają prędkość względną punktu M:

v w

v i jw = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′

dx dt

dy dt

dz dt

k . (5.81)

Po podstawieniu do trzech pozostałych wyrazów wzorów (5.31) na pochodne wersorów ′ ′ ′i j k, , otrzymamy:

( ) ( ) ( )

( ).zyx

zyx td

d

w

w

kjiωv

kωjωiωvr

′′+′′+′′×+=

=′×′+′×′+′×′+= ′

Wyrażenie występujące w nawiasie, zgodnie ze wzorem (5.80), jest wektorem wodzącym punktu M. Zatem powyższy wzór upraszcza się do postaci:

rωvr ′×+= ′

wtd d

. (d)

Po podstawieniu do wzoru (5.80) oznaczenia (b) oraz wzoru (d) otrzymamy zależność na prędkość punktu M w ruchu złożonym względem nieruchomego układu odniesienia (prędkość bezwzględną):

wO vrωvv +′×+= ′ . (5.82) Po porównaniu ze wzorem (5.32) widzimy, że pierwsze dwa wyrazy w tym wzorze przedstawiają prędkość punktu bryły znajdującego się w tym samym miejscu co punkt M, zatem jest to prędkość unoszenia:

rωvv ′×+= ′Ou . (5.83) Po uwzględnieniu tego oznaczenia we wzorze (5.82) zauważymy, że prędkość bezwzględna v w ruchu złożonym punktu jest sumą prędkości unoszenia i prędkości względnej :

v u v w

v v v= +u w . (5.84) Przyśpieszenie bezwzględne a otrzymamy, obliczając pochodną względem czasu prędkości bezwzględnej w postaci (5.82):

docsity.com

td d

td d

td d

td d

td d wO vrωrω

vva + ′

×+′×+== ′ . (e)

Pochodna

a v

′ ′=O

Od dt

(f)

jest przyśpieszeniem punktu ′O , a pochodna

εω = td

d (g)

przyśpieszeniem kątowym bryły. Występującą we wzorze (e) pochodną wektora ′r względem czasu obliczyliśmy już przy wyprowadzaniu wzoru na prędkość punktu M. Jest ona dana wzorem (d). W celu obliczenia pochodnej prędkości względnej względem czasu zróżniczkujemy wzór (5.81) oraz wykorzystamy zależności (5.31):

v w

( ) ( ) ( ) =′×′+′×′+′×′+=

= ′′

+ ′′

+ ′′

+′ ′

+′ ′

+′ ′

=

kωjωiωa

kjikji v w

td zd

td yd

td xd

td d

td zd

td d

td yd

td d

td xd

td zd

td yd

td xd

td d

w

2

2

2

2

2

2

www dt zd

dt yd

dt xd vωakjiωa ×+=⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ ′

′ +′

′ +′

′ ×+= , (h)

gdzie aw jest przyśpieszeniem względnym punktu M:

a i jw = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′

d x dt

d y dt

d z dt

2

2

2

2

2

2 k . (5.85)

Po uwzględnieniu we wzorze (e) oznaczeń (f) i (g) oraz wzoru (h) otrzymamy przyśpieszenie a punktu M.

( ) =×+++′××+′×+= ′ wwwO vωavrωωrεaa ( ) wwO 2 vωarωωrεa ×++′××+′×+= ′ . (5.86)

Pierwsze trzy wyrazy w tym wzorze znamy z ruchu ogólnego bryły jako przyśpieszenie dowolnego punktu bryły (wzór 5.33), a więc jest to przyśpieszenie unoszenia a : u

( )rωωrεaa ′××+′×+= ′Ou . (5.87)

docsity.com

Z kolei podwojony iloczyn wektorowy prędkości kątowej i prędkości względnej jest przyśpieszeniem znanym jako przyśpieszenie Coriolisa: v w

wC 2 vωa ×= . (5.88) Tak więc przyśpieszenie bezwzględne a punktu M w ruchu złożonym jest równe sumie trzech przyśpieszeń: unoszenia , względnego a i Coriolisa : a u w aC

a a a a= + +u w C . (5.89) Przyśpieszenie Coriolisa jest dodatkowym przyśpieszeniem wynikającym z ruchu obrotowego układu unoszenia. Można udowodnić [9], że jest ono wywołane zmianą wektora prędkości względnej wskutek jego obrotu z prędkością kątową

oraz zmianą wektora prędkości unoszenia spowodowaną przemieszczaniem się punktu M z prędkością względną .

v w v u

v w Z własności iloczynu wektorowego wynika, że przyśpieszenie Coriolisa będzie równe zeru w trzech przypadkach:

a) gdy ω = 0, wtedy ruch unoszenia jest ruchem postępowym, b) gdy wektory prędkości kątowej ω i prędkości względnej punktu M są v w równoległe, c) gdy prędkość względna punktu M w pewnej chwili jest równa zeru. v w

W zagadnieniach technicznych najczęściej przyjmujemy, że układ odniesienia związany z Ziemią jest nieruchomy. Tym samym pomijamy przyśpieszenie Coriolisa działające na obiekty poruszające się względem Ziemi, np. pojazdy, a wywołane jej obrotem wokół własnej osi. Takie postępowanie jest usprawiedliwione, ponieważ przyśpieszenie to jest bardzo małe [11]. Jednak przyśpieszenie Coriolisa towarzyszy wielu zjawiskom występującym w przyrodzie, wywołanym obrotem kuli ziemskiej. Do zjawisk tych należą przykładowo kierunki prądów morskich i wiatrów. Przykład 5.7. Pozioma rurka obraca się wokół pionowej osi z, przechodzącej przez jej środek (rys. 5.25a), zgodnie z równaniem ruchu: , gdzie czas t jest wyrażony w sekundach, a kąt ϕ w radianach. Wewnątrz rurki porusza się punkt M zgodnie równaniem:

2t1t10 −=ϕ

[ ]cm3tsin15sOM /π== . Obliczyć prędkość i przyśpieszenie bezwzględne punktu M dla czasu t s1 1= .

docsity.com

M

x

y

x

y

y

s

ϕ

O M

z

vM

vw s

ω

O

M

vu

ω

s

ε O

au s

au naw

ac

a) b)

c)

Rys. 5.25. Wyznaczenie prędkości i przyśpieszenia punktu M w ruchu złożonym Rozwiązanie. Punkt M porusza się ruchem złożonym z ruchu unoszenia wywołanego obrotem rurki i ruchu względnego względem rurki. Prędkość bezwzględną punktu M obliczymy ze wzoru (5.84):

v v vM u w= + . (a) Wartość prędkości unoszenia punktu M wynikająca z ruchu obrotowego rurki

( ) ( ) t 3

sint30150t 3

sin15t210svu π

−= π

−=ω= ,

gdzie ω jest wartością prędkości kątowej rurki:

[ ]1st210 dt d −−=ϕ=ω .

Wartość prędkości względnej punktu M

t 3

cos5t 3

cos 3

15 dt dsv w

π π=

ππ ⋅== .

Wektory prędkości unoszenia i prędkości względnej zaznaczono na rys. 5.25b przedstawiającym rurkę w rzucie z góry. Dla czasu t s1 1= otrzymujemy:

docsity.com

( )

.scm8575,2 3

cos5v

,scm9,103360 3

sin30150v

w

u

/

/

,=π=ππ=

== π

−=

Ponieważ wektory tych prędkości są prostopadłe, wartość prędkości bezwzględnej punktu M

scm2010485,79,103vvv 222w 2 uM /,=+=+= .

Przyśpieszenie bezwzględne punktu M obliczymy ze wzoru (5.89):

a a a a a a a a= + + = + + +u w C u s

u n

w c . (b) Wartości przyśpieszeń w ruchu unoszenia są następujące:

( )

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪

−= ω

π −=ω=

π −=

π ⋅−=ε=

− .s2 dt d

,t 3

sint21015sa

,t 3

sin30t 3

cos152sa

2

22n u

s u

(c)

Wartość przyśpieszenia względnego punktu M obliczymy ze wzoru:

t 3

sin 3 5

dt dv

a 2ww π

π−== . (d)

Z kolei przyśpieszenie Coriolisa wyraża wzór (5.88):

wC 2 vωa ×= , a jego wartość

( ) ( ) t 3

cost20100t 3

cost21010 2

sinv2a wc π

π−= π

π−= π

ω= . (e)

Wektory składowych przyśpieszeń występujące we wzorze (b) przedstawiono na rys. 2.25c. Wartości tych przyśpieszeń w chwili otrzymamy po podstawieniu do wzorów (c), (d) i (e)

t1 t t s= =1 1 :

docsity.com

.scm66,12540 3

cos80a

scm25,14 6

35 3

sin 3 5a

scm38,8313480 3

sin158a

,scm98,25315 3

sin30a

2 c

222 w

22n u

2s u

/

/

/

/

=π= π

π=

−=π−= π

π−=

== π

⋅=

−=−= π

=

,

,

Na podstawie rys. 5.25c wartość przyśpieszenia bezwzględnego punktu M obliczymy ze wzoru:

( ) ( )a a a a a cmM w un c us= + + − = + =2 2 2 2845 63 99 68 851 48, , , / s2 .

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome