Ruch drgajacy - Notatki - Fizyka, Notatki'z Fizyka. Warsaw University of Technology
alien85
alien8514 March 2013

Ruch drgajacy - Notatki - Fizyka, Notatki'z Fizyka. Warsaw University of Technology

PDF (661.9 KB)
14 strona
1Liczba pobrań
962Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z fizyki: ruch drgajacy; siła harmoniczna, okres drgań, wahadła.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 14
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Wyk³ad 13

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 13

13. Ruch drgający

Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okre- sowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus i cosinus. Ruch sinusoidalny jest powszechną formą ruchu ob- serwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.

13.1 Siła harmoniczna

Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą sprężystości. Jeżeli obierzemy oś x wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona równaniem F = – kx (13.1) gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywiera- ną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości. To jest prawo Hooke'a.

Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m (zaczepiona do sprężyny) zna- lazła się w położeniu x = A, a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu będzie dane równaniem

x = Acosωt Sprawdźmy czy to jest dobry opis ruchu. Dla t = 0, x = A tzn. opis zgadza się z założe- niami. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że

– kx = ma czyli

– kx = m(dv/dt) wreszcie – kx = m(d2x/dt2) (13.2) Równanie takie nazywa się równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Staramy się "odgadnąć" rozwiązanie i następnie sprawdzić nasze przypuszczenia. Zwróćmy uwagę, że rozwiązaniem jest funkcja x(t), która ma tę właściwość, że jej druga pochodna jest równa funkcji ale ze znakiem "–". Zgadujemy, że może to być funkcja x = Acosωt i sprawdzamy dx/dt = v = – Aωsinωt (13.3) d2x/dt2 = a = – Aω2cosωt (13.4)

13-1

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Podstawiamy ten wynik do równania (13.2)

(– kAcosωt) = m(– Aω2cosωt) i otrzymujemy ω2 = k/m (13.5) Widzimy, że x = Acosωt jest rozwiązaniem równania (13.2) ale tylko gdy mk /=ω . Zwróćmy uwagę, że funkcja x = Asinωt jest również rozwiązaniem równania ale nie spełnia warunku początkowego bo gdy t = 0 to x = 0 (zamiast x = A). Najogólniejszym rozwiązaniem jest x = Asin(ωt + ϕ) (13.6) gdzie ϕ jest dowolną stałą fazową. Stałe A i ϕ są określone przez warunki początkowe. Wartości maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą: • dla wychylenia A • dla prędkości ωA (występuje gdy x = 0) • dla przyspieszenia ω2A (występuje gdy x = A)

13.2 Okres drgań

Funkcja cosωt lub sinωt powtarza się po czasie T dla którego ωT = 2π. Ta szczegól- na wartość czasu jest zdefiniowana jako okres T T = 2π/ω(13.7) Liczba drgań w czasie t jest równa

n = t/T Gdy podzielimy obie strony przez t, otrzymamy liczbę drgań w jednostce czasu

Tt n 1

=

Lewa strona równania jest z definicji częstotliwością drgań f

T f 1=

Dla ruchu harmonicznego ω = k m/ więc otrzymujemy

k mT π2= (13.8)

13-2

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Jest to okres drgań masy m przyczepionej do końca sprężyny o stałej sprężystości k.

Przykład 1 Dwie masy, m1 i m2, są przyczepione do przeciwnych końców sprężyny. Jaki będzie okres drgań, gdy rozciągniemy sprężynę, a następnie zwolnimy obie masy jednocze- śnie? Stała sprężyny wynosi k. Niech x1 będzie przesunięciem masy m1 od położenia równowagi, a x2 odpowiednim przesunięciem masy m2. Zauważmy, że środek masy musi pozostawać nieruchomy. Zatem

m1x1 = – m2x2, czyli 2 1

2 1 xm

mx −=

Zastosujmy teraz do wybranej masy np. m2 równanie Fwypadkowa = ma. Siłą wypadkową, działającą na m2 jest siła F = – k (x2 – x1) gdzie (x2 – x1) jest wypadkowym rozciągnię- ciem sprężyny.

2 2

2

212 d d)(

t xmxxk =−−

Podstawiamy teraz 2 1

2 1 xm

mx −= zamiast x1 i otrzymujemy

2 2

2

22 1

2 2 d

d t xmx

m mxk =

  

  

  

 −−−

czyli

2 21

21 2

2 2 )(

d d x

mm mmk

t x +

−=

więc

22 2

2

d d xk

t x

µ −=

gdzie µ = m1m2/(m1 + m2) jest z definicji masą zredukowaną. To jest równanie jakie już rozwiązywaliśmy, w którym zamiast x jest x2 a zamiast m jest µ. Tak więc µω /k= czyli

k T µπ2=

Zwróćmy uwagę, że okres drgań harmonicznychTjest niezależny od amplitudy drgańA (o ile jest spełnione prawo Hooke'a). Tę właściwość drgań harmonicznych prostych za- uważył Galileusz i wykorzystał ją do skonstruowania zegara wahadłowego.

13-3

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

13.3 Wahadła

13.3.1 Wahadło proste

Wahadło proste jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej, zawieszone na cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi to za- czyna się ono wahać w płaszczyźnie poziomej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy. Znajdźmy okres tego ruchu.

θ

l N

mg mgcosθ

mgsinθ x=lθ

θ

m

Rysunek przedstawia wahadło o długości l i masie m, odchylone o kąt θ od pionu.

Na masę m działają: siła przyciągania grawitacyjnego mg i naprężenia nici N. Siłę mg rozkładamy na składową radialną i styczną. Składowa styczna jest siłą przywracającą równowagę układu i sprowadza masę m do położenia równowagi. Siła ta wynosi

F = mgsinθ Podkreślmy, że siła jest proporcjonalna do sinθ, a nie do θ, więc nie jest to ruch prosty harmoniczny. Jeżeli jednak kąt θ jest mały (mniejszy niż 10°) to sinθ jest bardzo bliski θ (różnica mniejsza niż 0.5%). Przemieszczenie wzdłuż łuku (z miary łukowej kąta) wynosi x = lθ. Przyjmując zatem, że sinθ ≅ θ otrzymujemy

x l

mg l xmgmgF −=−=−= θ

F jest więc proporcjonalna do przemieszczenia (ze znakiem "–"). Jest to kryterium ru- chu harmonicznego. Stała mg/l określa stałą k w równaniu F = – kx. Przy małej ampli- tudzie okres wahadła prostego wynosi więc

g l

k mT ππ 22 == (13.9)

Zauważmy, że okres wahadła nie zależy od amplitudy i od masy wahadła.

13-4

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

13.3.2 Wahadło fizyczne

Dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać wokół pewnej osi prze- chodzącej przez to ciało nazywamy wahadłem fizycznym.

l

mg

P

S θ

P jest punktem zawieszenia ciała, a punkt S, znajdujący się w odległości l od punkt P, jest środkiem masy. Moment siły τ działający na ciało wynosi

τ = – mglsinθ Korzystając ze związku

τ = Iα =I(d2θ/dt2) otrzymujemy

2

2

d dsin

t Imgl θθ =−

Dla małych wychyleń, dla których sinθ ≅ θ dostajemy równanie

θθ   

  −=

I mgl

t 2 2

d d

To równanie ma tę samą postać co równanie dla ruchu harmonicznego więc

I mgl

lub

mgl

IT π2= (13.10)

Jako przypadek szczególny rozpatrzmy masę punktową zawieszoną na nici o długości l. Wówczas I = ml2 i otrzymujemy znany wzór dla wahadła prostego

13-5

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

g lT π2=

Wahadło fizyczne stosuje się do precyzyjnych pomiarów przyspieszenia g.

13.4 Energia ruchu harmonicznego prostego

Energią potencjalną sprężyny zajmowaliśmy się na wykładzie 6 przy okazji dyskusji o pracy wykonywanej przez siły zmienne. Pokazaliśmy wtedy, że energia potencjalna (nagromadzona) sprężyny

2

2kxE p = (13.11)

Jeżeli masę przymocowaną do sprężyny pociągniemy na odległość x = A to energia

układu (nagromadzona w układzie) jest równa (1/2)kA2 (Ek = 0). Jeżeli teraz zwolnimy sprężynę, to przy założeniu, że nie ma tarcia ani sił oporu, zgodnie z zasadą zachowania energii w dowolnej chwili suma energii kinetycznej i potencjalnej równa się (1/2)kA2

222 2 1

2 1

2 1 kAkxm =+v (13.12)

stąd

( )222 xA m k

−=v

Ponieważ k/m = ω2 więc 22 xA −= ωv

Obliczmy teraz wartości średnie czasowe) energii potencjalnej i kinetycznej. (Wartości średnie oznaczamy kreską umieszczoną ponad symbolem.)

2

2 1 xkE p =

czyli

tkAE p ω 22 cos

2 1

=

Natomiast 2

2 1 vmEk =

czyli

tkAtAkEk ωωωω 222

2 sin2 1)sin(

2 1

=−  

  =

13-6

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wartość średnia tω2sin jest taka sama jak tω2cos i wynosi 1/2. Oba wykresy są takie same (tylko przesunięte). Poza tym sin2ωt + cos2ωt = 1 i średnia każdego składnika jest taka sama. Widać, że

kp EE = (Ważne gdy będziemy omawiać ciepło właściwe.) Przykład 2 Obliczmy jaką część energii całkowitej stanowi energia potencjalna, a jaką energia ki- netyczna ciała, kiedy znajduje się ono w połowie drogi między położeniem początko- wym, a położeniem równowagi?

x = A/2 więc

Ep = kx2/2 = kA2/8 Ponieważ energia całkowita

E = kA2/2 więc

Ep/E = 1/4 Ponieważ

E = Ep + Ek więc

Ek/E = 3/4

13.5 Oscylator harmoniczny tłumiony

Dotychczas pomijaliśmy fakt ewentualnego tłumienia oscylatora tzn. strat energii układu oscylatora. W przypadku drgań mechanicznych siłą hamującą (tłumiącą) ruch cząstki jest siła oporu Fop ośrodka. Siła oporu ma zwrot przeciwny do prędkości i w najprostszej postaci jest wprost proporcjonalna do prędkości Fopv czyli Fop = γ dx/dt (13.13) Gdy działa tylko siła tłumienia to

t x

t xM

d d

d d

2

2

γ−=

lub

13-7

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

vv γ−= t

M d d

Jeżeli wprowadzimy zmienną (o wymiarze czasu)

τ = M/γ to otrzymamy równanie

dv/dt = – (1/τ)v co można przepisać w postaci

dv/v = – dt/τ Całkujemy to równanie obustronnie

∫∫ −= tv

v

t 0

d1d

0 τv

v

Skąd otrzymujemy

lnv - lnv0 = – (t/τ) lub

ln(v/v0) = – (t/τ) a po przekształceniu (13.14) τ/0)(

tet −= vv Prędkość maleje wykładniczo z czasem czyli prędkość jest tłumiona ze stałą czasową τ (rysunek).

v

t

Jeżeli włączymy siłę hamującą do oscylatora to wówczas równanie ruchu przyjmie po- stać

t xkx

t xM

d d

d d

2

2

γ−−=

Wprowadzając τ = M/γ oraz oznaczając częstość drgań nietłumionych ω02 = (k/M) otrzymujemy

13-8

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

0 d d1

d d 2

02

2

=++ x t x

t x ω

τ (13.15)

Szukamy rozwiązania w postaci drgań okresowo zmiennych tłumionych np. teAx t ωβ cos−= (13.16) Rozwiązanie zawiera czynnik oscylacyjny (cosωt) i tłumiący (exp(-βt)) i jest pokazane na rysunku poniżej. Współczynnik β = 1/2τ określający wielkość tłumienia nazywamy współczynnikiem tłumienia.

Teraz obliczamy odpowiednie pochodne (13.16) i podstawiamy do równania (13.15). W wyniku rozwiązania dostajemy warunek na częstość drgań tłumionych 220 βωω −= (13.17) Opór zmniejsza więc (oprócz amplitudy) również i częstość

Funkcja (13.16) jest rozwiązaniem równania opisującego ruch harmoniczny tłumio- ny przy warunku (13.17). Widzimy, że opór zmniejsza zarówno amplitudę jak i częstość drgań, czyli powoduje spowolnienie ruchu. Wielkość tłumienia określa współczynnik tłumienia β (lub stała czasowa τ). Wykres ruchu harmonicznego tłumionego w zależno- ści od czasu jest pokazany na rysunku

0

-Ae-β t

Ae-β t

Ae-β tcosω t

-A

A

t

x

Powyższe rozważania dotyczą sytuacji "słabego tłumienia" tj. β < ω0. Gdy tłumienie wzrośnie powyżej pewnej krytycznej wartości (β = ω0) ruch nie jest ruchem drgającym ale obserwujemy, że ciało wychylone z położenia równowagi powraca do niego asymp- totycznie. Takich ruch nazywamy ruchem pełzającym (aperiodycznym). Zależności wy-

13-9

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

chylenia od czasu dla ruchu tłumionego krytycznie (β = ω0) i ruchu pełzającego (β > ω0) są pokazane na wykresie poniżej.

β = ω 0

β > ω 0

t

X

13.5.1 Straty mocy, współczynnik dobroci

Współczynnik dobroci Q jest definiowany jako

ω

ππ //

22 1 P

E vP

E E E

Q okresiewstracona

anazmagazynow === (13.18)

gdzie P jest średnią stratą mocy, a v częstotliwością. Dla przypadku słabo tłumionego oscylatora harmonicznego (β << ω0) współczynnik Q ma w przybliżeniu wartość ω0/2β. Kilka typowych wartości Q podano w tabeli

Oscylator Q Ziemia dla fali sejsmicznej Struna fortepianu lub skrzypiec Atom wzbudzony Jądro wzbudzone

250-400 1000 107 1012

13.6 Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego

Jeżeli oprócz tarcia istnieje siła zewnętrzna F(t) (która ma za zadanie podtrzymywać gasnące drgania) przyłożona do oscylatora to równanie ruchu ma postać

)( d d

d d

2

2

tFkx t x

t xM =++ γ (13.19)

albo po podstawieniu

τ = M/γ oraz ω02 = k/M

13-10

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

otrzymujemy

M

tFx t x

t x )(

d d1

d d 2

02

2

=++ ω τ

(2.20)

Ponownie ω0 jest częstością własną układu, to jest częstością drgań swobodnych gdy nie działa siła zewnętrzna i nie ma tarcia ani innych sił oporu, a τ stałą czasową związa- ną ze współczynnikiem tłumienia β relacją β = 1/2τ. Zauważmy ponadto, że układ jest zasilany z częstością ω różną od częstości własnej ω0.

Gdy układ jest zasilany częstością ω różną od ω0 wówczas drgania będą odbywały się z częstością siły zewnętrznej a nie z częstością własną. Siłę taką nazywamy siłą wy- muszającą. Załóżmy, że siła wymuszająca ma postać

t M

tF M

tF ωα ω

sin sin)(

0 0 == (13.21)

gdzie α0 = F0/M. Mamy teraz w równaniu dwie wielkości okresowo zmienne położenie x oraz siłę wymuszającą F. W najogólniejszym przypadku suma (złożenie) dwóch funkcji okreso- wych daje w wyniku też funkcję okresową (rysunek).

A1cosω t + A2sinω t

A2sinω t A1cosω t

A1cosωt + A2sinωt = Asin(ωt + ϕ)

Szukamy więc rozwiązania postaci Asin(ωt + ϕ). Musimy znaleźć amplitudę A oraz przesunięcie fazowe ϕ. Najpierw zdefiniujmy jednak przesunięcie fazowe ϕ. Zarówno siła wymuszająca jak i wychylenie zmieniają się cyklicznie (harmonicznie) tzn. pełny cykl np. od maksimum do maksimum obejmuje 360° czyli 2π. Przesunięcie fazowe ϕ mówi nam o jaki kąt maksimum przemieszczenia wyprzedza mak- simum siły (o ile przesunięte są wykresy x(t) i F(t)). Np. siła osiąga swoje maksimum gdy przemieszczenie jest równe zeru (i rośnie w kie- runku dodatnim). Oznacza to, że x opóźnia się względem siły o π/2. Poszukiwanie rozwiązania zaczynamy od obliczenia pochodnych

13-11

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

dx/dt= ωAcos(ωt + ϕ), oraz d2x/dt2 = -ω2Asin(ωt + ϕ) Równanie ruchu ma teraz postać

(ω02 - ω2) Asin(ωt + ϕ) + (ω/τ)Acos(ωt + ϕ) = α0sinωt Równanie to przekształcamy korzystając ze związków

sin(ωt + ϕ) = sinωt cosϕ + cosωt sinϕ cos(ωt + ϕ) = cosωt cosϕ − sinωt sinϕ

Wtedy otrzymujemy [(ω02 − ω2)cosϕ − (ω/τ)sinϕ] Asinωt + [(ω02 − ω2)sinϕ − (ω/τ)cosϕ] Acosωt = α0sinωt

Równanie to może być tylko spełnione gdy czynniki przy sinωt będą sobie równe, a czynnik przy cosωt będzie równy zeru. Ten ostatni warunek można zapisać jako

22 0

22 0

2/ cos sin

ωω βω

ωω τωϕ

ϕ ϕ

− =

− == tg (13.22)

Z tego warunku znam już ϕ. Teraz możemy wyznaczyć amplitudę

2/122222 0

0 2/12222

0

0

]4)[(])/()[( ωβωω α

τωωω α

+− =

+− =A (13.23)

gdzie już podstawiono za cosϕ i sinϕ. Łącząc wzory (13.22) i (13.23) otrzymujemy rozwiązanie

 

  

 −

+ +−

= 22 0

2/122222 0

0 2sin ]4)[( ωω

βωω ωβωω

α arctgtx (13.24)

(Wygląda skomplikowanie ale to jest rozwiązanie postaci x = Asin(ωt + ϕ)).

13.6.1 Rezonans Zauważmy, że chociaż drgania odbywają się z częstością w siły wymuszającej to amplituda i faza zależą od relacji pomiędzy częstością wymuszającą ω, a częstością własną ω0. W szczególności gdy częstość siły wymuszającej osiągnie odpowiednią czę- stotliwość, to amplituda drgań może wzrosnąć gwałtownie nawet przy niewielkiej war- tości siły wymuszającej. Zjawisko to nazywamy rezonansem. Wykres przedstawiający rezonansowy wzrost amplitudy drgań w funkcji częstości siły wymuszającej pokazany jest na rysunku poniżej dla różnych wartości współczynnika tłumienia β (β0<β1<β2<β3<β4).

13-12

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

ω 0

A

ω

β 4

β 3

β 2

β 1

β 0 = 0

Częstość rezonansową ωr i amplitudę rezonansową Ar możemy obliczyć z warunku na maksimum amplitudy drgań danej wzorem (13.23). Funkcja A(ω) osiąga maksimum

22 0

0

2 βωβ α

− =A

dla częstości rezonansowej

22 0 2βωω −=r

Widać, że im mniejsze tłumienie β (dłuższy czas τ) tym większa amplituda A. Jeżeli tłumienie jest słabe (β << ω0) to wówczas maksymalna amplituda odpowiada częstości drgań własnych ωr = ω0. Jednocześnie, ten warunek odpowiada przesunięciu fazowemu ϕ= π/2 pomiędzy siłą a wychyleniem. Siła nie jest zgodna w fazie z wychyleniem. Za- uważmy jednak, że moc pochłaniana przez oscylator zasilany siłą wymuszającą F zale- ży od prędkości

P = Fv

Trzeba więc, żeby to prędkość (a nie wychylenie) była zgodna w fazie z siłą, a to ozna- cza, że siła musi wyprzedzać wychylenie o π/2. Gdy x = 0 to v = vmax i wtedy siła też ma być maksymalna. W punktach zwrotnych, gdzie prędkość zmienia swój kierunek, siła też musi zmienić swój kierunek (siła działa cały czas to nie są impulsy tak jak np. przy popychaniu huśtawki).

Skutki rezonansu mogą być zarówno pozytywne jak i negatywne. Z jednej strony staramy się wyeliminować przenoszenie drgań np. z silnika na elementy nadwozia w samochodzie, a z drugiej strony działanie odbiorników radiowych i telewizyjnych jest

13-13

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

możliwe dzięki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego. Dostrajając odbiornik do czę- stości nadajnika spełniamy właśnie warunek rezonansu. Zjawisko rezonansu jest bardzo rozpowszechnione w przyrodzie.

13.6.2 Moc absorbowana

Średnia moc absorbowana jest dana wyrażeniem

t xFFP

d d

v ==

Korzystając ze wzoru (13.21), (13.22) i (13.24) otrzymujemy

2222 0

2 2 0 )2()(

2 2 1

βωωω βωα

+− = MP (13.25)

Zależność mocy absorbowanej od częstości drgań wymuszających jest przedstawiona na rysunku poniżej.

0 1 2 3 4 5 6 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ω/ω0

P /P

m ax

Dla rezonansu P = (1/2) Mα02τ . Natomiast dobroć Q = ω0/2β jest miarą dostrojenia układu do częstości wymuszającej.

13-14

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome