Ciągi liczbowe - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 1, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok
komik86
komik8615 March 2013

Ciągi liczbowe - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 1, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok

PDF (162.5 KB)
2 strony
233Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy matematycznej: ciągi liczbowe.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

ANALIZA MATEMATYCZNA I, Matematyka Finansowa rok I Lista 3: Ciągi liczbowe

1. Zbadaj ograniczoność ciągu o wyrazie ogólnym:

a) an = √ n− √ n+ 2 b) an =

n∑ k=1

1 n+k

c) an = n √

2n + 3n

2. Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym: a) an =

√ n+ 1−

√ n b) an = 2

n+1+3n+1

2n+3n

c) an = n √

2n + 3n d) an = ( 1 + 1

n

)n 3. Korzystając z definicji granicy ciągu uzasadnij, że:

a) lim n→∞

2n2−1 (n+1)2

= 2 b) lim n→∞

2n n3+1

= 0

c) lim n→∞

n √

7 = 1 d) lim n→∞

(−n2 − 7) = −∞

4. Wykaż, że a) lim

n→∞ n √ a = 1, gdzie a > 0 b) lim

n→∞ n √ n = 1

5. Wykaż zbieżność i oblicz granicę ciągu danego wzorem rekurencyjnym:

(a) a1 = √

2, an+1 = √

2 + an

(b) a1 = λ2 , an+1 = 1 2

( λ 2

+ a2n ) , gdzie λ ∈ ]0, 1[

6. Czy można powiedzieć ile wynosi lim n→∞

an + lim n→∞

bn wiedząc, że lim n→∞

(an + bn) = 0?

7. Niech lim n→∞

an · bn = 0. Czy można stąd wnioskować, że lim n→∞

an = 0 lub lim n→∞

bn = 0?

8. Ciągi (an) i (bn) są rozbieżne. Co można powiedzieć o zbieżności sumy i iloczynu tych ciągów?

9. Wykaż, że jeśli ciąg (an) jest ograniczony i lim n→∞

bn = 0 to lim n→∞

(an · bn) = 0.

10. Wykaż:

(a) Jeżeli dla ciągu (an) istnieje granica lim n→∞

∣∣∣an+1an ∣∣∣ = g < 1, to limn→∞ an = 0. (b) Jeżeli dla ciągu (an) istnieje granica lim

n→∞

∣∣∣an+1an ∣∣∣ = g > 1, to limn→∞ |an| = +∞. 11. Udowodnij

(a) Jeżeli ciąg (an) jest niemalejący i ograniczony z góry, to lim n→∞

an = sup n an.

(b) Jeżeli ciąg (an) jest nierosnący i ograniczony z dołu, to lim n→∞

an = inf n an.

Przez sup n an oraz inf

n an rozumiemy tu kres górny i dolny zbioru {a1, a2, . . .} wszystkich wyrazów

ciągu (an).

12. Udowodnij, że jeżeli ciąg (an) jest zbieżny i ma granicę równą zero oraz spełnia jeden z warun- ków: ∃n∈N ∀k≥n ak > 0 lub ∃n∈N ∀k≥n ak < 0, to lim

n→∞ 1 |an| = +∞.

13. Udowodnij, że jeżeli ciąg (an) jest rozbieżny do +∞ oraz ciąg (bn) jest taki, że od pewnego miejsca zachodzi nierówność an ≤ bn, to ciąg (bn) jest rozbieżny do +∞.

1

docsity.com

14. Udowodnij, że jeżeli ciąg (an) jest rozbieżny do +∞ oraz ciąg (bn) od pewnego miejsca jest dodatni, to ciąg (an · bn) jest rozbieżny do +∞.

15. Udowodnij, że dla dowolnego ciągu (an) liczb dodatnich prawdziwe są nierówności:

lim inf n→∞

an+1 an ≤ lim inf

n→∞ n √ an ≤ lim sup

n→∞ n √ an ≤ lim sup

n→∞

an+1 an

16. Oblicz granice ciągów:

a) an = (−1) n

3n+2 b) an = n

√ 2n + πn + 3n

c) an = √

4n+1 3√8n+1 d) an = 2

−n cosnπ

e) an = √ n2+5−n√ n2+2−n f) an =

(n+1)!−n! (n+1)!+n!

g) an = ( n2+1 n2

)(n2) , n ≥ 2 h) an =

( 1 + 1

n2

)n i) an =

( 1− 1

n2

)n j) an = 1−n2n−sinn k) an = (n!)

2

(2n) ! l) an = 1√n2+1 +

1√ n2+2

+ . . .+ 1√ n2+n

m) an = ln (1+ 3n)

1 n

n) an = nn√2·4·6·...·2n

o) an = cos (n!)n p) an = ( n2+1 n2

)2n2+1 q) an =

√ 2 · 4 √

2 · . . . · 2n √

2 r) an = 1n√n! s) an = (n+ 1)α − nα, α ∈]0, 1[ t) an = n

√ 1 2

+ 2 3

+ . . .+ n n+1

u) an = 1n n∑ k=1

k(k+1) (k+2)(k+3)

v) an = (−5 + 2 cosn)n2

17. Sprawdź, które z następujących ciągów spełniają warunek Cauchy’ego: a) an = 1 + 1n b) an = (−1)

n · n

c) an = 2 n+(−2)n

3n

18. Posługując się warunkiem Cauchy’ego dowiedź rozbieżności ciągu o wyrazie ogólnym an = 1 +

1 2

+ 1 3

+ . . . 1 n .

19. Zbadaj istnienie granic ciągów: a) an = n3 −

[ n 3

] b) an =

n √

1 + 2n(−1)n

c) an = ( cos 2nπ

3

)n 20. Wyznacz granicę dolną i górną następujących ciągów:

a) an = (−1)n[(−1)n + 1] b) an = ( 1 + 1

n

)n · (−1)n + sin nπ 4

21. Wykaż twierdzenie o granicy średnich arytmetycznych: Jeśli lim

n→∞ an = g to lim

n→∞ a1+...+an

n = g.

Twierdzenie to zachodzi również dla g = +∞ oraz g = −∞.

22. Wykaż twierdzenie: Jeśli lim n→∞

(an+1 − an) = g to lim n→∞

an n

= g.

23. Jeżeli an > 0 i lim n→∞

an+1 an

= g, to lim n→∞

n √ an = g.

2

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome