Funkcje charakterystyczne - Ćwiczenia - Probabilistyka, Notatki'z Probabilistyka. University of Bialystok
panna_ania
panna_ania15 March 2013

Funkcje charakterystyczne - Ćwiczenia - Probabilistyka, Notatki'z Probabilistyka. University of Bialystok

PDF (126.9 KB)
2 strony
491Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu probabilistyki: funkcje charakterystyczne.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

probabilistyka matematyka, II stopień

lista 8

1. Policzyć funkcje charakterystyczne rozkładów:

a) rozkładu Bernoulliego;

b) rozkładu Poissona;

c) rozkładu dwupunktowego ( 1 > p > 0, P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1− p); d) rozkładu geometrycznego;

e) zmiennej lososwej, która przyjmuje wartości równe ilości wyrzuconych oczek kostką do gry;

f) rozkładu jednostajnego na odcinku (−1, 1); g) rozkładu trójkątnego równoramiennego na odcinku [−1, 1]; h) rozkładu wykładniczego;

j) rozkładu Laplace’a;

k) rozkładu Cauchy’ego;

l) rozkładu N(0, 1);

m) rozkładu N(m,σ).

2. Sprawdzić, że funkcja charakterystyczna ϕ rozkładu zmiennej losowej posiada własności:

a) |ϕ(t)| ≤ ϕ(0) = 1; b) dla dowolnej liczby naturalnej n, dowolnych liczb zespolonych z1, . . . , zn oraz dowolnych t1, . . . , tn, spełniona

jest nierówność n∑

k,l=1

ϕ(tk − tl)zkzl ≥ 0

c) ϕ(−t) = ϕ(t)

3. Czy funkcja

a) f(t) = exp(−|t|i); b) φ(t) = 11+i|t|

może być funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu?

4. Wiedząc, że funkcja φ jest funkcją charakterystyczną udowodnić, że funkcja sprzężona jest również funkcją charak- terystyczną.

5. Mając daną funkcję charakterystyczną znaleźć rozkład zmiennej losowej:

a) φ(t) = 14 (exp(−it) + exp(it)) 2;

b) φ(t) = 14 (1 + exp(it)) 2;

c) φ(t) = cos(t);

d) φ(t) = ∑∞

k=0 ak cos(kt), ak > 0, ∑∞

k=0 ak = 1;

e) φ(t) = 12−eit .

6. Mając daną funkcję charakterystyczną znaleźć rozkład zmiennej losowej:

a) φ(t) = e−a|t|, a > 0;

b) φ(t) = 1+it1+t2 ;

c) φ(t) = 1−it1+t2 ;

d) φ(t) = e− 1 2 t

2 ;

e) φ(t) = 11+t2 .

docsity.com

7. Obliczyć momenty zmiennej losowej X z ostaniego przykładu zadania 8.

8. Korzystając z funkcji charakterystycznej policzyć:

a) wartość oczekiwaną dla rozkładu Poissona;

b) k-ty moment zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ;

c) k-ty moment zmiennej losowej o rozkladzie Poissona.

9. Danych jest n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach równomiernych na odcinku (−1, 1). Obliczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej będącej sumą danych zmiennych.

10. Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X ma postać φ(t) = e−|t|. Czy istnieje E(X)?

11. Niech X1, . . . , Xn będą zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładzie Poissona z parametrami odpowiednio λ1, . . . , λn. Korzystając z własności funkcji charakterystycznych pokazać, że zmienna losowa Y = X1 + · · · +Xn ma rozkład Poissona.

12. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych standaryzowanych. Znaleźć rozkład zmiennej losowej Z = X − Y .

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome