Podstawowe wiadomości - Notatki - Mechanika - Część 1, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
guns_pistols
guns_pistols15 March 2013

Podstawowe wiadomości - Notatki - Mechanika - Część 1, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (416.7 KB)
12 strona
722Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach omawiane zostają zagadnienia z fizyki: podstawowe wiadomości; określenie i rodzaje wektorów. mnożenie wektora przez skalar, suma i różnica wektorów.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 12
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
podstawowe_wiadomosci cz1.pdf

2.1. Okre lenie i rodzaje wektorów. Mno!enie wektora przez skalar

Wielko ci fizyczne wyst!puj"ce w mechanice i innych dzia#ach fizyki mo$na

podzieli% na skalary i wektory. Aby okre li% wielko % skalarn", wystarczy poda%

tylko jedn" liczb!. Wielko ciami takimi s" masa, czas, temperatura, obj!to % i inne.

Do okre lenia wielko ci wektorowej nie wystarcza podanie jednej liczby.

Przyk#adem takiej wielko ci jest si#a. Aby j" okre li%, nale$y poda% warto %,

kierunek

w przestrzeni oraz zwrot. W ogólnym przypadku aby okre li% wektor, nale$y zna%:

a) warto % bezwzgl!dn" wektora, zwan" modu#em,

b) kierunek, czyli prost", na której le$y wektor (lini! dzia#ania),

c) zwrot,

d) punkt przy#o$enia.

Nie wszystkie wielko ci wektorowe wymagaj" dla swego okre lenia podania

wszystkich wymienionych cech. Z tego punktu widzenia rozró$niamy: wektory

zaczepione, wektory przesuwne lub lizgaj!ce si" oraz wektory swobodne.

Wektory zaczepione wymagaj" do ich okre lenia podania wszystkich czterech

cech. Wektorów takich nie mo$na przemieszcza% ani przesuwa%.

Wektory przesuwne s" okre lone za pomoc" modu#u, zwrotu oraz linii dzia#ania.

Takie wektory mog" by% jedynie przesuwane wzd#u$ prostych, na których le$".

Wektory swobodne s" okre lone przez modu#, zwrot oraz kierunek równoleg#y

do ich linii dzia#ania. Oznacza to, $e wektor swobodny mo$na dowolnie

przemieszcza%, równolegle do kierunku jego dzia#ania.

Graficznie wektory przedstawia si! za pomoc" odcinka skierowanego jak na

rys. 2.1. D#ugo % odcinka okre la modu# wektora, kierunek – kierunek wektora

(lini! dzia#ania), a strza#ka – zwrot wektora. Wektory b!dziemy oznacza%

pogrubionymi literami – jedn" liter" albo dwoma, oznaczaj"cymi pocz"tek i koniec

wektora:

.ABa

Modu# wektora b!dziemy oznacza% tak jak skalary albo za pomoc" symbolu

warto ci bezwzgl!dnej:

a AB a A .B

Modu# jest na ogó# wielko ci" mianowan" i jego warto % liczbowa zale$y od

przyj!tych jednostek fizycznych.

Dwa wektory swobodne przedstawiaj"ce t! sam" wielko % wektorow" s"

równe, je$eli maj" równe modu#y, kierunki i zwroty. Aby dwa wektory przesuwne

by#y

docsity.com

równe, musz" ponadto le$e% na jednej prostej, a wektory zaczepione musz" by%

przy#o$one w jednym punkcie. Równo % wektorów a i b zapisujemy tak jak

równo % liczb, czyli

a b .

W wyniku pomno$enia wektora a przez skalar k otrzymamy nowy wektor b

równoleg#y do wektora a o module k razy wi!kszym od modu#u wektora a. Zwrot

wektora b b!dzie zale$a# od znaku skalara k. Je$eli k > 0, to zwrot wektora b jest

zgodny ze zwrotem wektora a, a przeciwny, gdy k < 0 (rys. 2.2). Wektor b

b!dziemy zapisywa%:

b a k . (2.1)

A

B

a

ea

Rys. 2.1. Graficzne przedstawienie wektora

a b b

k 0 k!0

Rys. 2.2. Wektory równoleg#e

Rzutem wektora a = AB na dowoln" o l nazywamy odcinek , którego

pocz"tek i koniec s" rzutami pocz"tku i ko&ca wektora a na o l (rys. 2.3). ! !A B

Z rysunku 2.3 wynika, $e rzut wektora a na o l jest równy iloczynowi modu#u

wektora pomno$onemu przez kosinus k"ta zawartego mi!dzy kierunkiem wektora

a osi".

A

B

a

A! B!

l" . . el

Rys. 2.3. Rzut wektora na o

# $ .cosaRz=BA l " !! a (2.2)

'atwo spostrzec, $e je$eli zwrot wektora i zwrot osi s" zgodne oraz k"t " jest ostry,

to znak rzutu jest dodatni.

docsity.com

Cz!sto do okre lenia kierunku w przestrzeni u$ywamy tzw. wektora

jednostkowego, którego modu# jest równy jedno ci i jest liczb" bezwymiarow".

Maj"c dowolny wektor, mo$na utworzy% wektor jednostkowy o kierunku tego

wektora przez podzielenie wektora przez jego modu#. Wektor jednostkowy

b!dziemy oznacza% liter" e z indeksem dolnym oznaczaj"cym kierunek. Wektor

jednostkowy o kierunku i zwrocie wektora a, pokazany na rys. 2.1, otrzymamy ze

wzoru:

e a

a a . (2.3)

Po przekszta#ceniu powy$szego wzoru widzimy, $e ka$dy wektor mo$na

zapisa% w postaci iloczynu jego modu#u i wektora jednostkowego:

a e a a . (2.4)

W celu analitycznego przedstawiania wektorów nale$y wprowadzi% odpowiedni

uk#ad wspó#rz!dnych. Najcz! ciej przyjmujemy kartezja&ski prostok"tny uk#ad

wspó#rz!dnych o osiach x, y, z i wektorach jednostkowych i, j, k o kierunkach osi

wspó#rz!dnych zwanych wersorami. W dalszym ci"gu b!dziemy wy#"cznie

stosowa% prawoskr!tne uk#ady wspó#rz!dnych charakteryzuj"ce si! tym, $e je$eli

obrócimy o x w kierunku osi y, to o z jest skierowana zgodnie z regu#" ruby

prawoskr!tnej (rys. 2.4a). Na rysunku 2.4b przedstawiono uk#ad lewoskr!tny.

x

i k

0

z

y

x

i

j k

0

j

z

y

a) b)

Rys. 2.4. Prostok"tne uk#ady wspó#rz!dnych: a) prawoskr!tny, b) lewoskr!tny

docsity.com

0

z

x

y

ayj

azk

axi

a

Rys. 2.5. Sk#adowe wektora w kartezja&skim uk#adzie wspó#rz!dnych

W uk#adzie wspó#rz!dnych prostok"tnych o osiach x, y, z i wersorach

odpowiednio i, j, k dowolny wektor a mo$na roz#o$y% na trzy sk#adowe: axi,ayj,

azk o kierunkach osi uk#adu wspó#rz!dnych (rys. 2.5). Wektor a mo$emy zapisa%

analitycznie w postaci sumy trzech wektorów sk#adowych (por. p. 2.2):

a i j k % %a a ax y z . (2.5)

W powy$szym wzorze ax, ay, az s" wspó#rz!dnymi wektora równymi

rzutom wektora a na osie uk#adu wspó#rz!dnych x, y, z. Je$eli wektor a tworzy z

osiami x, y, z odpowiednio k"ty ", &, ', to jego wspó#rz!dne (rzuty) zgodnie ze

wzorem (2.2) wyrazimy nast!puj"co:

.cosaa,cosaa,cosaa zyx ' & " (2.6)

Gdy znane s" wspó#rz!dne wektora, to jego modu# okre la wzór:

a a a ax y z % % 2 2 2 , (2.7)

a kosinusy k"tów, zwane kosinusami kierunkowymi, wyznaczonymi przez kierunki,

jakie wektor a tworzy z osiami x, y, z, wyra$aj" zale$no ci:

. a

a cos,

a

a cos,

a

a =cos z

yx ' &" (2.8)

docsity.com

2.2. Suma i ró nica wektorów

Wektory swobodne mo na dodawa! i odejmowa! geometrycznie (wykre"lnie)

oraz analitycznie. Dodawanie geometryczne dwóch wektorów a i b polega na

O A

B C

a

b

b

a

c = a + b

d = a b

Rys. 2.6. Dodawanie i odejmowanie dwóch wektorów

zastosowaniu regu#y równoleg#oboku. Wektory przenosimy równolegle tak, aby

ich pocz$tki znalaz#y si% w dowolnym punkcie O, i budujemy na tych wektorach

równoleg#obok OACB pokazany na rys. 2.6. Sum$ dodawanych wektorów a i b

nazywamy wektor c równy przek$tnej równoleg#oboku:

.baOCc !""

Ró nic% dwóch wektorów ab otrzymamy przez dodanie do wektora a

wektora ró ni$cego si% od wektora b tylko zwrotem, czyli wektor przeciwny ( b):

# $d a b a b" ! " .

Odejmowanie dwóch wektorów przedstawiono na rys. 2.6 lini$ przerywan$.

Z rysunku wynika, e sum% dwóch wektorów przedstawia jedna przek$tna, a

ró nic% druga.

Wi%ksz$ liczb% wektorów mo na sumowa!, stosuj$c regu#% równoleg#oboku do

kolejnych wektorów. Jednak w tym przypadku wygodniej jest skorzysta! z metody

wieloboku wektorów.

Gdy mamy n wektorów a1, a2, ... , an, to do ko&ca pierwszego wektora

przyk#adamy pocz$tek drugiego, a do ko&ca drugiego pocz$tek trzeciego.

Post%puj$c w ten sposób z kolejnymi wektorami, otrzymujemy konstrukcj%

przedstawion$ na rys. 2.7. Sum$ n wektorów, zwan$ sum$ geometryczn$,

nazywamy wektor a #$cz$cy pocz$tek pierwszego wektora z ko&cem ostatniego:

a a a . . . a a" ! ! ! " "

%1 2 1

n k

n

.k (2.9)

docsity.com

O A

a1

a2

a3

an

a a1 a2

a3

an

Rys. 2.7. Dodawanie n wektorów

Omówion$ konstrukcj% nazywamy wielobokiem wektorów. Je eli koniec

ostatniego wektora pokrywa si% z pocz$tkiem pierwszego, to suma wektorów jest

równa zeru: a = 0. Mówimy wtedy, e wielobok jest zamkni%ty. W przeciwnym

razie, tj. gdy a 0, wielobok jest otwarty.

Czytelnikowi pozostawiamy wykazanie, e do dodawania wektorów stosuje si%

prawo przemienno"ci: abba !"!

oraz #$czno"ci

# $ # $ .cbacba !!"!!

Aby analitycznie doda! n wektorów, musimy je wyrazi! za pomoc$

wspó#rz%dnych z przyj%tego uk#adu wspó#rz%dnych:

# $.n21kaaa kzkykxk ...,,"!!" kjia

Po podstawieniu tego wzoru do równania (2.9) otrzymamy:

# $a a i j k i j" " ! ! " ! ! "" "

%% % %k kx ky kz k

n

k

n

kx

n

ky

k

n

kz

k

n

a a a a a a 11 1k=1

.k "

% 1

docsity.com

Po oznaczeniu w tym równaniu wspó#rz%dnych wektora a przez ax, ay, az mamy:

a a a a a ax y z kx k

n

ky k

n

kz k

n

i j k i j! ! " ! ! " " "

% % % 1 1 1

.k

Z obustronnego porównania wyrazów wyst%puj$cych przy odpowiednich

wersorach otrzymujemy wzory na wspó#rz%dne wektora b%d$cego sum$ wektorów:

.aa,aa,aa n

1k

n

1k

kzzkyy

n

1k

kxx % %% " ""

""" (2.10)

Otrzymane wyniki s$ zgodne z tre"ci$ znanego twierdzenia Charles’a, e rzut

sumy wektorów na dowoln$ o" jest równy sumie rzutów poszczególnych wektorów

na t% o".

docsity.com

2.3.1. Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym (skalarowym) dwóch wektorów a i b nazywamy skalar

równy iloczynowi modu ów obu wektorów przez kosinus k!ta zawartego mi"dzy

nimi.·

O a

b

Rys. 2.8. Ilustracja do definicji iloczynu skalarnego

Je eli k!t mi"dzy wektorami oznaczymy przez (rys. 2.8), a operacj" mno enia skalarnego przez a·b, to otrzymamy:

.cos !" baba (2.11)

Po uwzgl"dnieniu we wzorze (2.11) zale no#ci (2.2) iloczyn skalarny mo emy

przedstawi$ jako iloczyn rzutu jednego wektora na kierunek drugiego i modu%u

drugiego.

# $ # $ # $ # $a b" ! ! ! !a b b a a Rz b bRz aacos cos b . (2.12)

Iloczyn skalarny jest równy zeru (poza przypadkami, gdy a = 0 lub b = 0), gdy

cos = 0. Wynika st!d warunek prostopad o!ci (ortogonalno#ci) dwóch wektorów:

a b a b" ! %0, .gdy (2.13)

Z faktu, e funkcja kosinus jest funkcj! parzyst! [cos = cos(– )], wynika, e do iloczynu skalarnego stosuje si" prawo przemienno#ci:

.abba "!"

Iloczyn skalarny podlega równie prawu rozdzielno#ci mno enia skalarnego

wzgl"dem dodawania:

# $a b c a b a c" & ! " & " .

Dowód tej w%asno#ci wynika bezpo#rednio z przytoczonego w poprzednim punkcie

twierdzenia Charles’a oraz z zale no#ci (2.2):

docsity.com

# $ # $ # $ # $' ( # $ # $ .cabacb

cbcbcba

"&"!&!

!&!&!&"

aa

aaa

RzaRza

RzRzaRza

Je eli pomno ymy równanie (2.11) przez dowolny skalar k, to otrzymamy

prawo %!czno#ci mno enia iloczynu skalarnego przez skalar:

# $ # $ # $ # $ # $.kkcosbka=cosbakk bababa "!"! !"

Wektor pomno ony skalarnie przez siebie jest równy kwadratowi modu%u:

a a" ! a a cos0 = a .2 (2.14)

Z podanych wy ej rozwa a& wynika, e iloczyn skalarny – poza wzorem (2.13)

– ma takie same w%asno#ci jak iloczyn algebraiczny liczb.

Gdy mamy dowolny wektor a oraz o# l okre#lon! przez wektor jednostkowy el

(rys. 2.3), to na podstawie równania (2.12) rzut tego wektora na o# l wyra a wzór:

# $.Rz=cosa ll aea !" (2.15)

Z zale no#ci tej b"dziemy cz"sto korzysta$ przy obliczaniu wspó%rz"dnych wektora

w danym uk%adzie wspó%rz"dnych.

Obecnie podamy zale no#ci mi"dzy wersorami i, j, k prostok!tnego uk%adu

wspó%rz"dnych. Na podstawie wzorów (2.14) i (2.13) otrzymujemy:

) * +

!"!"!"

!"!"!"

.0

,1

ikkjji

kkjjii (2.16)

Gdy wektory a i b zapiszemy analitycznie za pomoc! ich wspó%rz"dnych

w prostok!tnym uk%adzie wspó%rz"dnych x, y, z:

) * +

&&!

&&!

,bbb

,aaa

zyx

zyx

kjib

kjia (2.17)

to ich iloczyn skalarny na podstawie wzorów (2.16) mo na wyrazi$ przez

wspó%rz"dne:

a b" ! & &a b a b a bx x y y z z . (2.18)

Porównanie wzorów (2.11) i (2.18) pozwala obliczy$ k!t mi"dzy wektorami:

docsity.com

. ba

ba+ba+ba =cos

zzyyxx (2.19)

Z tego wzoru wynika, e aby dwa wektory by%y ortogonalne, ich wspó%rz"dne

musz! spe%nia$ zale no#$:

a b a b a bx x y y z z& & ! 0. (2.20)

docsity.com

2.3.2. Iloczyn wektorowy

Iloczynem wektorowym ba dwóch wektorów a i b nazywamy wektorc prostopad y do p aszczyzny utworzonej przez te wektory, którego modu jest równy

iloczynowi modu ów tych wektorów pomno!onemu przez sinus k"ta zawartego

mi#dzy nimi (rys. 2.9)

! " #

$%

%

.sinbac

,bac (2.21)

O a

b

$

&c = b x a

c = a x b

Rys. 2.9. Ilustracja iloczynu wektorowego

Zwrot wektora c jest tak dobrany, e wektory a, b, c tworz! uk"ad

prawoskr#tny, czyli zwrot wektora c okre$la regu"a $ruby prawoskr#tnej.

Z okre$lenia modu"u iloczynu wektorowego oraz z rys. 2.9 wynika, e jest on

równy polu równoleg"oboku zbudowanego na wektorach a i b.

Z definicji iloczynu wektorowego wynika, e poza przypadkami, gdy

a = 0 lub b = 0, jest on równy zeru,

kiedy sin$ = 0, czyli dla $ = 0 albo $ = ', co oznacza, i wektor a jest równoleg"y do wektora b. Zatem warunek równoleg o$ci ma posta%:

.0ba % (2.22)

Je eli w iloczynie wektorowym wektory a i b zamienimy miejscami, to wektory

b, a, c b#d! tworzy"y uk"ad lewoskr#tny. Aby ponownie otrzyma% uk"ad

docsity.com

prawoskr#tny, nale y zmieni% zwrot wektora c na przeciwny, jak na rys. 2.9, czyli

gdy

.to, cabcba &% %

Widzimy zatem, e do iloczynu wektorowego nie stosuje si# prawo przemienno$ci:

.abba &% (2.23)

Mo na wykaza% [6, 9], e iloczyn wektorowy podlega prawu rozdzielno$ci

mno enia wektorowego wzgl#dem dodawania:

( ) .dabadba * %* (2.24)

Do iloczynu wektorowego stosuje si# równie prawo "!czno$ci mno enia przez

dowolny skalar k:

( ) ( ) ( ).kkk bababa % % (2.25)

Powy sza równo$% wynika bezpo$rednio z porównania modu"ów powy szych

iloczynów wektorowych.

Iloczyny wektorowe wersorów i, j, k prostok!tnego prawoskr#tnego uk"adu

wspó"rz#dnych x, y, z wynikaj! bezpo$rednio ze wzoru (2.22) oraz z definicji

iloczynu wektorowego

+ !

+ "

#

&% &% &%

% % %

% % %

.

,

,0

jkii,jkk,ij

jiki,kjk,ji

kkjjii

(2.26)

Obecnie wyrazimy iloczyn wektorowy dwóch dowolnych wektorów a i b za

pomoc! ich wspó"rz#dnych w prostok!tnym uk"adzie wspó"rz#dnych x, y, z. Po

podstawieniu zale no$ci (2.17) do wzoru na iloczyn wektorowy mamy:

( ) ( ).bbbaaa zyxzyx kjikjibac ** **% %

Po wykonaniu dzia"a&, wykorzystaniu zale no$ci (2.26) oraz pogrupowaniu

wyrazów przy poszczególnych wersorach powy szy wzór przyjmie posta%:

( ) ( ) ( ) .babababababa xyyxzxxzyzzy kjic &*&*&% (2.27)

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome