Ciągłość funkcji - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Ciągłość funkcji - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok

PDF (97.7 KB)
1 strona
623Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii miary i całki: ciągłość funkcji.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Ogólna teoria caªki

Lista 6

Zad 1. Niech G b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡, a X przestrzeni¡ z miara µ. Rozwa»my odwzorowanie f : G × X 7−→ R takie, »e dla ka»dego x ∈ X funkcja x 7→ f(t, x) jest mierzalna. Pokaza¢, »e warunki

1) dla prawie ka»dego x ∈ X funkcja t 7→ f(t, x) jest ci¡gªa,

2) istnieje funkcja h : X → R taka, »e ∫ X h(x) dµ(x) < +∞ oraz dla prawie ka»dego

x ∈ X i ka»dego t ∈ G mamy |f(t, x)| ≤ h(x),

implikuj¡, i» funkcja

g(t) :=

∫ X

f(t, x) dµ(x)

jest poprawnie okre±lona oraz ci¡gªa.

Zad 2. Sprawdzi¢, czy funkcja g jest ci¡gªa na (−1, 1), gdy

a) g(t) =

∫ 1 0

dx 3 √ x + |t|

, b) g(t) =

∫ 1 0

2xt2

x2 + t2x + 1 dx, c) g(t) =

∫ 1 0

2xt2

x2 + t2 dx.

Zad 3. Niech G = (a, b) b¦dzie odcinkiem, a X przestrzeni¡ z miara µ. Rozwa»my odwzo- rowanie f : G×X 7−→ R. Pokaza¢, »e warunki

1) dla prawie ka»dego x ∈ X funkcja t 7→ f(t, x) jest klasy C1 oraz dla ka»dego t ∈ G funkcja x 7→ ∂tf(t, x) jest mierzalna,

2) istnieje funkcja h : X → R taka, »e ∫ X h(x) dµ(x) < +∞ oraz dla prawie ka»dego

x ∈ X i ka»dego t ∈ G mamy |∂tf(t, x)| ≤ h(x),

implikuj¡, i» odwzorowanie

g(t) :=

∫ X

f(t, x) dµ(x)

jest poprawnie okre±lon¡ funkcj¡ klasy C1. Ile wynosi g′(t)?

Zad 4. Sprawdzi¢, czy funkcja g jest klasy C1 na R, gdy

a) g(t) =

∫ 1 0

x 3 2 ln(x2 + t2) dx, b) g(t) =

∫ 1 0

ln(x2 + t2) dx.

Denicja. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ µ. Dla p ∈ (0,∞) kªadziemy

‖f‖p = (∫

X

|f |p dx ) 1

p

,

a elementy rodziny Lpµ(X) := {f : X → R : ‖f‖p < +∞} nazywamy funkcjami caªkowal- nymi w p-tej pot¦dze. Dla p = ∞ kªadziemy

‖f‖∞ = inf{K > 0 : |x(t)| ≤ K dla prawie wszystkich t ∈ X},

co nazywamy supremum istotnym funkcji x, a elementy rodziny L∞µ (X) := {f : X → R : ‖f‖∞ < +∞} nazywamy funkcjami istotnie ograniczonymi.

Zad 5. Pokaza¢, »e dla ka»dego p ∈ (0,∞] zbiór Lpµ(X) wraz z naturalnymi dziaªaniami punktowymi stanowi przestrze« liniow¡.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome