Przestrzenie liniowe - Ćwiczenia - Analiza funkcjonalna, Notatki'z Analiza funkcjonalna. University of Bialystok
blondie85
blondie8515 March 2013

Przestrzenie liniowe - Ćwiczenia - Analiza funkcjonalna, Notatki'z Analiza funkcjonalna. University of Bialystok

PDF (90.1 KB)
1 strona
480Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy funkcjonalnej: przestrzenie liniowe.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Analiza funkcjonalna

Lista 1 (przestrzenie liniowe)

Zad 1. Sprawdzi¢, czy podany zbiór funkcji rzeczywistych F wraz z dziaªaniami okre±lo- nymi punktowo stanowi przestrze« liniow¡

a) F = {x : R → R : x(t) funkcja niemalej¡ca}, b) F = {x : [0, 7]→ R : x(1) = 0}

c) F = {x : [−4, 3]→ R : x(0) = 1}, d) F = {x : R → R : x(t+ 1) = x(t), t ∈ R} e) F = {x : R → R : x(t) funkcja okresowa}, f) F = {x : R → R : x(t) funkcja staªa}. Zad 2. Niech K oznacza ciaªo liczbowe R lub C. Pokaza¢, »e podane zbiory funkcji stanowi¡ przestrzenie liniowe nad K:

B(Ω) = {x : Ω→ K : supt∈X |x(t)| <∞}, gdzie Ω dowolny zbiór,

C(Ω) = {x : Ω→ K : x(t) funkcja ci¡gªa}, gdzie Ω przestrze« topologiczna,

BC(Ω) = {x : Ω→ K : x(t) funkcja ci¡gªa i ograniczona}, Ω prz. topologiczna,

Hα(Ω) = {x : Ω→ K : ∃L>0 ∀t,s∈Ω |x(t)− x(s)| ≤ L|t− s|α}, gdzie Ω ⊂ K, α > 0. Zad 3. Niech k ∈ N. Uzasadni¢, »e

C(k)([a, b]) = {x : [a, b]→ R : pochodne x′, x′′, ..., x(k) istniej¡ i x(k) jest ci¡gªa na [a, b]}

jest przestrzeni¡ wektorow¡ nad R. Zad 4. Niech Ω b¦dzie otwartym (niepustym) podzbiorem pªaszczyzny zespolonej C. Uzasadni¢, »e

H(Ω) = {x : Ω→ C : x jest funkcj¡ holomorczn¡ na Ω}

jest przestrzeni¡ wektorow¡ nad C. Zad 5. Wykaza¢, »e podane zbiory ciagów o wyrazach w ciele K, wraz z dziaªaniami okre±lonynmi po wspóªrzednych, stanowi¡ przestrzenie wektorowe nad K:

`∞ = {x = (x(1), x(2), x(3), ...) : supk∈N |x(k)|},

`p = {x = (x(1), x(2), x(3), ...) : ∑∞

k=1 |x(k)|p <∞}, p ∈ (0,∞),

c = {x = (x(1), x(2), x(3), ...) : limk→∞ x(k) istnieje},

c0 = {x = (x(1), x(2), x(3), ...) : limk→∞ x(k) = 0}. Zad 6. Udowodni¢, »e dla dowolnych 0 < p < q <∞ zachodz¡ inkluzje

lp ⊂ lq ⊂ c0 ⊂ c ⊂ l∞ oraz »adnej z nich nie mo»na zast¡pi¢ równo±ci¡.

Zad 7. Niech µ b¦dzie miar¡ dodatni¡ na σ-ciele Σ podzbiorów zbioru Ω oraz p ∈ (0,∞). Udowodni¢, »e przestrzeniami wektorowymi nad K s¡

Lp(Ω,Σ, µ) = {x : Ω→ K : x funkcja mierzalna i ∫ Ω

|x|p dµ < +∞},

oraz L∞(Ω,Σ, µ) = {x : Ω→ K : sup esst∈Ω |x(t)| < +∞},

gdzie

sup esst∈Ω |x(t)| = inf{M > 0 : |x(t)| ≤M dla prawie wszystkich t ∈ Ω}.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome