Przestrzenie unormowane - Ćwiczenia - Analiza funkcjonalna, Notatki'z Analiza funkcjonalna. University of Bialystok
blondie85
blondie8515 March 2013

Przestrzenie unormowane - Ćwiczenia - Analiza funkcjonalna, Notatki'z Analiza funkcjonalna. University of Bialystok

PDF (114.9 KB)
1 strona
351Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy funkcjonalnej: przestrzenie unormowane.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Analiza funkcjonalna

Lista 2 (przestrzenie unormowane)

Zad 1. Wykaza¢, »e przestrzenie B(Ω), dla dowolnego zbioru Ω, BC(Ω), gdy Ω jest przestrzeni¡ topologiczn¡, oraz C(Ω), gdy Ω jest przestrzeni¡ zwarta, wraz z funkcj¡ okre±lon¡ wzorem ‖x‖∞ = supt∈Ω |x(t)| s¡ przestrzeniami Banacha. Zad 2. Pokaza¢, »e przestrzeniami Banacha s¡ przestrzenie `∞, c oraz c0 wraz z funkcj¡ ‖x‖∞ = supn∈N |x(n)|.

Zad 3. Pokaza¢, »e dla p ∈ [1,∞) przestrze« `p wraz z funkcj¡ ‖x‖p = ( ∑∞

n=1 |x(n)|p) 1 p

jest przestrzeni¡ unormowan¡.

Zad 4. Niech (Ω,Σ, µ) b¦dzie przestrzenia z miar¡. Uzasadni¢, »e dla p ∈ [1,∞] przestrze« ilorazowa

Lp(Ω,Σ, µ) := Lp(Ω,Σ, µ)/L0(Ω,Σ, µ), gdzie L0(Ω,Σ, µ) := {x : Ω→ K : x funkcja mierzalna i

∫ Ω |x| dµ = 0}, wraz z funkcj¡

‖[x]‖p =

{(∫ Ω |x|p dx

) 1 p gdy p <∞,

sup esst∈Ω |x(t)| gdy p =∞,

gdzie [x] = x+ L0(Ω,Σ, µ),1 jest przestrzeni¡ unormowan¡. Zad 5. Wyznaczy¢ odlegªo±¢ wektorów x, y w przestrzeni X:

N X x y N X x y a) c x(n) = (1 + 1

n )n (1, 0, 0, ...) e) C([−1, 1]) x(t) = 1− t y(t) = 1 + t

b) `1 (1, 1 3 , 1 32 , ...) (1, 1

2 , 1 22 , ...) f) C([0, 1]) x(t) =

√ t y(t) = 1 + t

c) c0 x(n) = n

n2+1 y(n) = 1

n2+1 g) L2([0, 1]) x(t) = t y(t) = t

2

d) ` 3 2

(1 4 , 1 16 , 1 64 , ...) (0, 0, ...) h) L1([−π, π]) x(t) = 1 y(t) = sin t

Zad 6. Sprawdzi¢, które spo±ród funkcji N : X → R s¡ normami w przestrzeni X: X N(x) X N(x)

a) `∞ ∑∞

n=1 |x(n)| 2n

e) C([−1, 1]) ∫ 1 0 |x(t)|dt

b) `1 | ∑∞

n=1 x(n)| f) C([0, 1]) ∫ 1 0 |x(t)|dt

c) `1 supn≥2 |x(n)|+ | ∑∞

n=1 x(n)| g) C([0, 1]) ( ∫ 1 0 |x(t)| 12 dt)2

d) `π supm∈N | ∑m

n=1 x(n)| h) C(1)([a, b]) | ∫ b a x(t)dt|+ (

∫ b a |x′(t)|2 dt) 12

Zad 7. Pokaza¢, »e przestrzenie (C(1)[a, b], ‖ · ‖∞) oraz (C[a, b], ‖ · ‖1), gdzie ‖x‖∞ = maxt∈[a,b] |x(t)| oraz ‖x‖1 =

∫ b a |x(t)| dt s¡ przestrzeniami unormowanymi, nie b¦d¡cymi

przestrzeniami Banacha.

Zad 8. W przestrzeni C[a, b] okre±lone s¡ dwie normy ‖x‖∞ = supt∈[a,b] |x(t)| oraz ‖x‖1 =∫ b a |x(t)| dt. Czy normy te s¡ równowa»ne?

Zad 9. Pokaza¢, »e nast¦pujace funkcje

N1(x) = max

{ max t∈[0,1]

|x(t)|, max t∈[0,1]

|x′(t)| } , N2(x) = max

t∈[0,1] |x(t)|+ max

t∈[0,1] |x′(t)|,

N3(x) = |x(0)|+ max t∈[0,1]

|x′(t)|, N4(x) = ∫ 1 0

|x(t)|dt+ max t∈[0,1]

|x′(t)|,

s¡ parami równowa»nymi normami w przestrzeni C(1)([0, 1]).

1u»ywaj¡c skrótu my±lowego zwyczajowo pisze si¦ (nie±ci±le) [x] = x

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome