Równanie różniczkowe Bernoulliego - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza matematyczna. Opole University
Aleksy
Aleksy22 March 2013

Równanie różniczkowe Bernoulliego - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza matematyczna. Opole University

PDF (142.2 KB)
3 strony
411Liczba odwiedzin
Opis
Notatki obejmują tematy z obszaru analizy matematycznej: równanie różniczkowe Bernoulliego.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Równanie różniczkowe Bernoullego Równaniem różniczkowym Bernoullego nazywamy równanie:

(1) ,)()( ayxqyxp dx dy



gdzie funkcje f i g są ciągłe w pewnym wspólnym przedziale oraz gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Dla 0a równanie (1) jest równaniem różniczkowym niejednorodnym. Dla 0a równanie (1) jest równaniem różniczkowym jednorodnym. W dalszym ciągu zakładamy, że  .1,0a Równanie (1) rozwiązujemy przez podstawienie ,1 ayu  co wyjaśnimy na kilku przykładach.

W rachunkach towarzyszy nam kalkulator ClassPad 300. Przykład 1. Rozwiązać równanie:

23 xeyxy dx dy 

Dzielimy nasze równanie przez 3y przy założeniu, że :0y

(2) 223 xexy

dx dyy  

i podstawiamy .231   yyu Stąd

dx dyy

dx du 32 

gdyż u zależy od x. Stąd

dx du

dx dyy

2 13 

i po podstawieniu do (2) otrzymujemy: 2

2 1 xexu

dx du 

(3) 2

22 xexu dx du 

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego (niejednorodne). Sposób rozwiązywania takich równań omówiliśmy w części Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu.Równanie rozwiążemy szybko na ClassPadzie:

Wobec tego

2

)2( xexCu  czyli

2

)2(2 xexCy   Jest to całka ogólna równania (2) w postaci uwikłanej. Ponadto stwierdzamy, że funkcja 0y jest całką szczególną naszego równania. Sprawdźmy na ClassPadzie:

Wynik otrzymujemy błyskawicznie, choć różni się zapisem od znalezionego przez nas i brak całki szczególnej.

Przykład 2. Rozwiązać równanie: 2xyy

dx dy



Zauważmy, że funkcja 0y jest całką szczególną naszego równania. Możemy więc założyć, że :0y

22 yxyy dx dy



xy dx dyy   12

dx duy

dx duyu 21,  

xu dx du



xu dx du



Otrzymaliśmy równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego (niejednorodne). Sposób rozwiązywania takich równań omówiliśmy w części Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu.Równanie rozwiążemy szybko na ClassPadzie:

xCexu  1

xCexy  11

xCex y

 

1 1

To jest całka ogólna danego równania różniczkowego. Sprawdźmy na ClassPadzie:

Pamiętajmy o całce szczególnej!

Przykład 3. Rozwiązać równanie:

x xyy

xdx dy ln1 2

przy warunku początkowym .4)1( y Liczymy kolejno:

22 ln1 y x xyy

xdx dy



Ze względu na warunek początkowy widać, że :0y

x xy

xdx dyy ln1 12  

dx duy

dx duyu 21,  

x xu

xdx du ln1



x xu

xdx du ln1



Otrzymaliśmy równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego (niejednorodne). Sposób rozwiązywania takich równań omówiliśmy w części Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu.Równanie rozwiążemy szybko na ClassPadzie:

1ln  xCxu

1ln1  xCx y

1ln 1 

xCx

y

Uwzględniając warunek początkowy, dostajemy:

11ln 14 

C

4 3 C

Wobec tego rozwiązaniem naszego zadania jest funkcja:

43ln4 4

1ln 4 3

1 

 

xxxx

y

Sprawdźmy na ClassPadzie:

To samo !!!

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome