Szereg Laurenta - Ćwiczenia - Analiza zespolona, Notatki'z Analiza zespolona. University of Bialystok
chomik_82
chomik_8215 March 2013

Szereg Laurenta - Ćwiczenia - Analiza zespolona, Notatki'z Analiza zespolona. University of Bialystok

PDF (85.6 KB)
1 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy zespolonej: szereg Laurenta.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Analiza zespolona

Lista 7

Zad 1. Wyznaczy¢ homotopi¦ w C dla nast¦puj¡cych krzywych:

a) C(0, R) i C(0, r), b) C(1, 2) i C(0, 1), c) póªokr¦gu i jego ±rednicy.

Zad 2. Wyznaczy¢ homotopi¦ w C \ {0} dla nast¦puj¡cych krzywych:

a) C(2, 1) i C(−2, 1),

b) C(2, 1) i C(−3, 2).

Zad 3. Zbiór G ⊂ C nazywamy gwia¹dzistym, je±li istnieje taki punkt a ∈ G, »e dla ka»dego z ∈ G odcinek ª¡cz¡cy a i z le»y w G. Pokaza¢, »e ka»da krzywa zamkni¦ta le»¡ca w zbiorze gwia¹dzistym G jest homotopijna w G z pewnym punktem.

Zad 4. Wyznaczy¢ rozwini¦cie Taylora funkcji 1 z wokóª punktów 1, i,−1 oraz znale¹¢ ich

promienie zbie»no±ci.

Zad 5. Rozwin¡¢ w szereg Laurenta funkcj¦ f(z) w s¡siedztwie punktu z0 i wyznaczy¢ pier±cie« zbie»no±ci:

a) f(z) = e z

z−πi , z0 = πi,

b) f(z) = z−2 z(z2+1)

, z0 = −i,

c) f(z) = 1 z2(z2+1)

, z0 = 0.

Zad 6. Rozwin¡¢ funkcj¦ f(z) = 1 1−z2 w szereg Laurenta w pier±cieniu:

a) P (−1; 0, 2), b) P (1; 0, 2), c) P (2; 1, 3),

d) P (0; 1,∞), e) P (0; 0, 1).

Zad 7. Rozwin¡¢ funkcj¦ f(z) w szereg Laurenta w pier±cieniu P (z0; r, R):

a) f(z) = z 2−2z

(z−1)(z+1) , P (1; 0, 2), b) f(z) = 1

z(z+4) , P (0; 4,∞),

c) f(z) = z (z+1)(z2+1)

, P (i; √

2, 2), d) f(z) = 1 z(z2+1)

, P (0; 0, 1),

e) f(z) = 1 z2(z2+4)

, P (0; 2,∞), f) f(z) = 1 z(z−1)(z−2) , P (0; 1, 2).

Zad 8. W ilu pier±cieniach o ±rodku w punktach osobliwych (i optymalnych promieniach) mo»na rozwin¡¢ funkcj¦ f(z) = 1

(2−z)(3−z)2 w szereg Laurenta?

Zad 9. Rozwin¡¢ funkcj¦ f(z) = 1 (1−z)n , gdzie n ∈ N, w szereg Laurenta w obszarze

|z| < 1 oraz |z| > 1.

Zad 10. Znale¹¢ zera funkcji f(z) oraz zbada¢ ich krotno±¢:

a) f(z) = (z3 + 1)2z4, b) f(z) = z(eiz − 1), c) f(z) = z sinh z.

Zad 11. Dowie±¢, »e gdy funkcja f jest holomorczna w zerze oraz f(0) = 0, to punkt z = 0 jest dla funkcji z−1f(z) pozornie osobliwy.

Zad 12. Wykaza¢, »e punkt z = 0 jest punktem istotnie osobliwym dla funkcji exp(1 z )

oraz sin(1 z ).

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome